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在运用公式（2。14）决定一股普通股票的内在价值方面存在着一个困难，即投资者必须预测所有未来时期支付的股利。由于普通股票没有一个固定的生命周期，因此通常使用无穷大时期的股利流要加上一些假定。
这些假定始终围绕着股利增长率，一般来说，在时点t 的股利为：
Dt=Dt…1（1＋gt） （2。19）
或 （2。20）
例如，若预期在t=3 时每股股利是4 美元，在t=4 时每股股利是4。2 美
元，那么
不同类型的贴现现金流模型反映了不同的股利增长率的假定。
（二）零增长模型
1。公式
零增长模型假定股利增长率等于0，即g=0，也就是说未来的股利按一个固定数量支付。
根据这个假定，我们用D0 来改换方程（2。14）中的Dt，
（2。21）
因为k＞0，按照数学中无穷级数的性质，可知
（2。22）
例如，假定某公司在未来无限时期支付的每股股利为8 元，必要收益率为10％，运用公式（2。22），可知1 股该公司股票的价值等于8/0。10=80（元），而当时1 股股票价格为65 元，每股股票净现值等于80…65=15（元），说明该股股票被低估15 元，因此建议可以购买该种股票。
2。内部收益率
公式（2。22）也可用于计算投资于零增长证券的内部收益率。首先，用证券的当前价格P 代替V，用k*（内部收益率）代表k，代入公式（2。18），其结果是：
（2。23a）
进行转换，可得
（2。23b）
利用这一公式，计算上述例子中的公司股票的内部收益率，其结果是k*=8/65=12。3％。由于该股票的内部收益率大于其必要收益率（12。3％＞10％），表明该公司股票价格被低估了。
3。应用
零增长模型的应用似乎受到相当的限制，毕竟假定对某一种股票永远支付固定的股利是不合理的。但在特定的情况下，对于决定普通股票的价值，仍然是有用的。而在决定优先股的内在价值时，这种模型相当有用，因为大多数优先股支付的股利是固定的。
（三）不变增长模型
1。一般形式
如果我们假设股利永远按不变的增长率增长，那么就会建立不变增长模型。T 时点的股利为：Dt=Dt…1（1＋g）=D0（1＋g）t （2。24）
用Dt=D0（1＋g）t 置换公式（2。14）中的分子Dt，得出：
（2。25）
运用数学中无穷级数的性质，如果k＞g，可知：
（2。26）
把公式（2。26）代入公式（2。25）中，得出不变增长模型的价值公式：
（2。27）
又因为D1=D0（1＋g），有时把公式（2。23）写成如下形式：
V=D1/（k…g） （2。28）
假如去年某公司支付每股股利为1。80 元，预计在未来日子里该公司股票的股利按每年5％的速率增长。因此，预期下一年股利等于1。80 ×（1＋0。05）=1。89（元）。假定必要收益率是11％，根据公式（2。27）可知，该公司的股票等于1。80 × （1＋0。05）/（0。11…0。05）=1。89/（0。11…0。05）=31。50（元）。而当今每股股票价格是40 元，因此股票被高估8。50 元，建议当前持有该股票的投资者出售其股票。
2。内部收益率
方程（2。27）可用于解出不变增长证券的内部收益率。首先，用股票的当今价格代替V，其次，用k*代替k，其结果是：
（2。29）
经过变换，可得：
（2。30）
用上述公式来计算上例公司股票的内部收益率，得出：
（2。31）
由于该公司股票的内在收益率小于其必要收益率，显示出该公司股票价格被高估。
3。与零增长模型的关系
零增长模型实际上是不变增长模型的一个特例。假定增长率g 等于0，股利将永远按固定数量支付，这时，不变增长模型就是零增长模型。
从这两种模型来看，虽然不变增长的假设比零增长的假设有较小的应用限制，但是在许多情况下仍然被认为是不现实的。由于不变增长模型是多元增长模型的基础，因此这种模型极为重要。
（四）多元增长模型
1。公式
多元增长模型是被最普遍用来确定普通股票内在价值的贴现现金流模型。这一模型假设股利的变动在一段时间T 内并没有特定的模式可以预测，在此段时间以后，股利按不变增长模型进行变动。因此，股利流可以分为两个部分。
第一部分包括在股利无规则变化时期的所有预期股利的现值。用VT…表示这一部分的现值，它等于：
（2。31）
第二部分包括从时点T 来看的股利不变增长率时期的所有预期股利的现值。因此，该种股票在时间T 的价值（VT），可通过不变增长模型的方程（2。28）求出：
（2。32）
但目前投资者是在t=0 时刻，而不是t=T 时刻来决定股票现金流的现值。
于是，在T 时刻以后t=0 时的所有股利的贴现值 VT＋：
（2。33）
根据方程（2。31），我们得出直到T 时刻为止的所有股利的现值，根据方程（2。33），得出T 时刻以后的所有股利的现值，于是这两部分现值的总和即是这种股票的内在价值。用公式表示如下：
（2。34）
例如，假定A 公司上年支付的每股股利为0。75 元，下一年预期支付的每
股股利为2 元，因而
再下一年预期支付的每股股利为3 元，即
从 T=2 时，预期在未来无限时期，股利按每年10％的速度增长，即
D3=D2（1＋0。10）=3×1。1=3。3（元）。假定必要收益率为15％，可按下面式子分
别计算VT…和VT＋：
该价格与目前每股股票价格55 元相比较，似乎股票的定价相当公平，即可以说，该股票没有被错误定价。
2。内部收益率
零增长模型和不变增长模型都有一个简单的关于内部收益率的公式，而对于多元增长模型而言，不可能得到如此简洁的表达式。在方程（2。34）中，用P 代替V，用k*代替k，可得到：
（2。35）
虽然我们不能得到一个简洁的内部收益率的表达式，但是仍可以运用试错方法，计算出多元增长模型的内部收益率。即说，在建立方程（2。35）之后估计k*，当代入一个假定的k*后，如果方程右边的值大于P，说明假定的k*太小；相反，如果代入一个选定的k*值，方程右边的值小于P，说明选定的k*太大。继续试选k*，最终能找到使等式成立的k*。
按照这种试错方法，我们可以得出A 公司股票的内部收益率是14。9％。把给定的必要收益15％和该近似的内部收益率14。9％相比较，可知，该公司股票的定价相当公平。
3。与不变增长模型的关系
不变增长模型是多元增长模型的特例。如果假定开始时T=0，那么
（3。36）
多元增长模型表述为V=VT…＋VT＋，可知，当T=0 时，V=D1/（k…g），这个公式实际上就是不变增长模型。
4。二元模型和三元模型
有时投资者会使用二元模型和三元模型。二元模型假定在时间T 以前存
一个g1 的不变增长速度，在时间T 以后，假定有另一个不变增长速度g2。
三元模型假定在T 时间前，不变增长速度为g1，在T1 和T2 时间之间，不变增长速度为g2，在T2 时间以后，不变增长速度为g3。设VT＋表示在最后一个增长速度开始后的所有股利的现值，VT…表示这以前所有股利的现值，可知这些模型实际上是多元增长模型的特例。
（五）有限期持有股票条件下股票内在价值的决定
无论是零增长模型、不变增长模型还是多元增长模型，它们都是对所有未来的股利进行贴现，即假设投资者接受未来的所有股利流。如果投资者只计划在一定期限内持有该种股票，该股票的内在价值该如何变化呢？
如果投资者计划在一年后出售这种股票，他所接受的现金流等于从现在起的一年内预期的股利（假定普通股每年支付一次股利）再加上预期的出售股票价格。因此，该股票的内在价值的决定是用必要收益率对这两种现金流进行贴现，其表达式如下：
（3。37）
式中：D1——t=1 时的预期股利；
P1——t=1 时的股票出售价格。
在t=1 时股票出售价格的决定是基于出售以后预期支付的股利，即：
（2。38）
把方程（2。38）代入方程（2。37），得到
（2。39）
方程（2。39）与方程（2。14）完全相同，说明对未来某一时刻的股利和这一时刻原股票出售价格进行贴现所得到的普通股票的价值，等于对所有未来预期股利贴现后所得的股票价值，这是因为股票的预期出售价格本身也是基于出售之后的股利的贴现。
因此，在有限期持有股票的条件下，股票内在价值的决定等同于无限期持有股票条件下的股票内在价值的决定。或者说，贴现现金流模型可以在不考虑投资者计划持有股票时间长短的条件下来决定一普通股股票的内在价值。
三、简单的股票内在价值的估计模型
（一）公式
虽然贴现现金流模型存在固有的灵敏性，但许多证券分析家仍愿意使用简单的方法估计普通股票的内在价值。这种模型被称为基于价格—收益比率的模型。该模型通过股利支付率（Pt）这个概念，把每股收益（Et）与每股股利（Dt）联系在一起，其公式如下：Dt=PtEt （2。40）
把方程（2。40）与方程（2。14）相联系，即在方程（2。14）等式右边用PtEt 代替Dt，从而在决定股票内在价值的一般公式中包含了对收益的贴现：
（2。41）
在贴现现金流模型中，邻近的股利是通过股利增长率相联系的。同样，通过每股收益增长率，时刻t 的每股收益与t…1 时刻的每股收益也存在着一定联系：
Et=Et…1（1＋get） （2。42）
即 E1=E0（1＋get）
E2=E1（1＋ge2）=E0（1＋ge1）（1＋ge2）
E3=E2（1＋ge3）=E0（1＋ge1）（1＋ge2）（1＋ge3）
？？
式中：E0——去年每股的实际收益水平；
E1 ——今年预期的每股收益水平；
E2 ——下一年预期的每股收益水平。
把方程（2。42）代入方程（2。41），得到
（2。43）
两边同除以E0，得到
（2。44）
由于V 是一般股票的内在价值，V/E0 就代表着股票的“正常的”或者说“公平的”价格收益。如果V/E0＞P/E0，即正常的价格收益比率大于实际价格收益比率时，股票价格被低估，建议购买这种股票；如果V/E0＞P/E0，即
正常的价格收益比率小于实际的价格收益比率时，股票价格被高估，建议不要购买这种股票。
遗憾的是，方程（2。40）的运用并不可行，它不能用来估计任何一种股票的正常的价格收益比率。但是，如果作出一些假设，就可以使问题简化，从而能够使用该方程来估计正常的价格收益比率。
（二）零增长模型
零增长模型假定在未来无限长时期里每股股利保持固定，也就是假定在未来无限长时期里如果公司保持100％的股利支付率，那么每股收益也会保持固定。
根据该假定， 在未来无限长时期内：Pt=1（Pt 为股利支付率） ，
E0=E1=E2=E3，get=0，这也就意味着D0=E1=D1=D2=E2 ？？（因为Dt= PtEt）。因此，方程（2。44）变为：
（2。45）
根据无穷级数的性质
得出，在零增长模型下，一种股票的正常的价格收益比率公式为：
V/E0=1/k （2．46）
例如，有一A 公司，处于零增长模型下，其每年支付的每股股利为8 元，实际股票价格为65 元，必要收益率为10％。这也就意味着它将保持 100％的股利支付率，即E0=8（元）。该公司正常的股利收益比率为1/10％= 10，而实际的价格收益比率为65/8= 8。1，可见该公司股票价格被低估。
（三）不变增长模型
不变增长模型假定在未来的时期里，每股股利增长率保持不变，也就是说可以假定在股利支付率保持不变的水平下，未来时期每股收益增长率ge 保持不变，即：
E1= E0（1＋ge ）
E2= E1（1＋ge）=E0 （1＋ge）2
E3=E2（1＋ge）=E0（1＋ge）3
？？
得出，在t 年与E0 相联系的每股收益的表达式：
Et=E0（1＋ge）t （2。47）
把方程（2。47）代入方程（2。45），令Pt=P，得出如下结果：
（2。48）
根据无穷极数的性质
（2。49）
得出在不变增长模型下，股票的正常价格收益比率公式：
（2。50）
根据不变增长模型的假定：Et=Et…1（1＋gt），同时，股利支付率Pt 保持不变，在方程两边同乘上股利支付率，得到：PtEt=PtEt…1（1＋ge）
由于PtEt=Dt，PtEt…1=Dt…1，方程可简化为：Dt=Dt…1（1＋ge） （2．51）
从上述方程可以看出，在任何t…1 时间内，股利是按收益增长率ge 的速度增长，也就是说，在不变增长模型下，股利增长率和收益增长率必然相等。
例如，A 公司在上一年支付的每股股利为1。80 元，预计股利每年增长率为 5％，公司股票的收益率为 11％，目前股票市价为40 元，上一年的每股收益为2。70 元。于是，可知该公司的股利支付率等于 1。8/2。7= 66。67％。
可知，该公司正常的价格收益比率应该是：0。6667×（1＋ 0。05）/（0。11…0。05）=
11。67，而其实际的价格收益比率为40/2。7=14。81，可知，该公司的股票价
格被高估。
第三节 投资基金的价格决定
为了阐明投资基金的价格决定原理，有一个重要的概念，即基金的单位资产净值。单位资产净值是基金经营业绩的指示器，也是基金在发行期满后基金单位买卖价格的计算依据。基金的单位资产净值可用下面的公式来表示： （2。52）
基金资产总值，是指一个基金所拥有的资产（包括现金、股票、债券和其他有价证券及其他资产）于每个营业日收市后，根据收盘价格计算出来的总资产价值。
应该注意的是，基金的单位资产净值是经常发生变化的，它与基金单位的价格从总体上看趋向是一致的，成正比例关系。基金的资产净值越高，其基金单位的价格也就越高；基金的资产净值越低，其基金单位的价格也就越低。但这种情形也不绝对成立，一般来说，这种关系在开放式基金中得到较好体现。
一、开放式基金的价格决定
开放式基金由于经常不断地按客户要求购回或者卖出基金单位， 因此，开放式基金的价格分为两种，即申购价格和赎回价格。
（一）申购价格
开放式基金一般不进入证券交易所流通买卖，而是主要在场外进行交易，投资者在购入开放式基金单位时，除了支付资产净值之外，还要支付一定的销售附加费用。也就是说，开放式基金单位的申购价格包括资产净值和一定的销售费用。
但是，对于一般投资者来说，该附加费是一笔不小的成本，增加了投资者的风险，因此，国外出现了一些不计费的开放式基金，其销售价格直接等于资产净值，投资者在购买该种基金时，不须交纳销售费用。
（二）赎回价格
开放式基金承诺可以在任何时候根据投资者的个人意愿赎回其所持基金单位。对于赎回时不收取任何费用的开放式基金来说，赎回价格=资产净值
有些开放式基金赎回时是收取费用的，费用的收取是按照基金投资年数不同而设立不同的赎回费率。持有该基金单位时间愈长，费率越低�