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处，他为什么不肯借给我？”“假如他向我借东西．我一定会很高兴地借给他。”
“可是他不肯借斧头给我，我对他也不应该太客气” ·
这人一路上越想越生气，于是等到敲开邻居的门后，他没有说“请把你
的斧子借给我用一下吧”，却张嘴说道：“留着你的破斧子吧，我才不稀罕你
的东西！”
从上面这个笑话中，可以想像一些喜欢以己度人者在生活中遇到的尴尬=
但是笺过之后，我们却发现．这个借斧头的人所运用的思维方法．居然有着
倒推法的影子。
难道倒推法真的有什么问题吗？答案是肯定的，这种悖论在博弈论中被
称为“蜈蚣博弈悖论”。很多学者已经用科学的方法推导出：倒推法是分析完
全且完美信息下的动态博奔的有用工具，也符合人们的直觉，但是在某种情
况下却存在着无法解释的缺陷。
如下面这样一个博弈。两个博弈方A、B轮流进行策略选择．可供选择的
策略有“台作”和“不合作”两种。规则是：A、B两次决策为一组，第一次
若A决策结束，A、B都得n，第二次若B决策结束．A得Ⅱ…1而B得n＋2：
下一轮则从A、B都得n＋I开始。假定A先选，然后是B。接着是A．如此
交替进行。A、B之间的博弈欢数为一有限次，比如198次。如图13一l所示。
由于这个博弈的扩展形很像一条蜈蚣，因此被称为“蜈蚣博弈”。
现在的问题是：A、B是如何进行策略进择的？我们用一对情侣之间的爱
。9 I
博彝论的i学舻
情博弈来说明。
合作合作 台作合作
A——B——A…·A——B——【100，100】
背叛f背叛 l 背叛 背叛
（n，n） （n—l，Ⅱ＋2）
围13．1螟蚣博奔
爱情就其本质来说是一种交往．人交往的目的在于个人效用最大化，不
管这个效用是金钱．还是愉快的感觉、幸福的感觉。只要追求个人效用，就
必定存在利益博弈。因而，我们的爱情交往是一个典型的双人动态博弈过程，
不过爱情的效用随着交往程度的加深和时间推移有上升趋势。
假定小丽（女）和小冬（男）是这个蜈蚣博弈的主角．这个博弈中他们
每人都有两个战略选择．一是继续，一是分手。他们的博弈展开式如图13—2
所示。
小丽——小冬——…·——小丽——小冬——小丽——小冬——『10，10】
『0．3
【8，8】 ＇7，10】 【9．卅 【8，10】
瞄13．2爱情博弈
在图中，博奔从左到右进行，横向连杆代表继续交往战略．竖向连杆代
表离开她（他）战略。每个人下面对应的括号代表相应的人与对方分手，导
致爱情结束后各自的爱情效用收益。括号内左边的数字代表小丽的收益，右
边代表小冬的收益。
可以看到．小冬和小丽的分手战略分别对应的括号数字每个都不同．这
是因为爱情效用在不断增加．这里假设爱情每继续一次总效用增加l，如第一
个括号中总效用为1＋l=2，第二个括号则为。十3=3，只是由于选择分手战略的
人不同，而在两人之间进行分配。由于男女生理结构和现实因素不同，小丽
分手战略只能使效用在二人之间平分．即两败俱伤；小冬选择分手战略则能
占到3个便宜。显然，分手对于被甩的一方来说是一种欺骗行为。
请看，首先，交往初期小丽如果甩了小冬，则两人各得1的收益，小丽
如果选择继续，则轮到小冬选择。小冬如果选择分手，则小丽属受骗，收益
为0．小冬占了便宜收益为3．这样完成一个阶殷的博弈。可以看到每一轮交
1190
蜈蚣博奔；从终点出发的思维
往之后．双方了解程度加深，两人爱情总效用在不断增长。这样一直博弈下
去，直到最后两人都得到10的圆满收益，为大团圆的结局——总体效益最大。
遗憾的是这个圆满结局很难达到！因为蜈蚣博弈的特别之处是：当A决
策时，他考虑博弈的母后一步即第＇00步；B在“合作”和“背叛”之间做出
选择时，因“合作”给B带来｜00的收益，而“不合作”带来101的收益．
根据理性人的假定，B会选择“背叛”。但是，要经过第99步才到第100步，
在第99步．A的收益是98，A考虑到B在第100步时会选择“背叛”，那么
在第99步时。A的是优策略是“背叛”——因为“背叛”的收益99大于“合
作”的收益98……按这样的逻辑推论下去，最后的结论是令人悲伤的：在第
一步A将选择“不合作”，此时各自的收益为1 1
把这种分析代人上面的爱情博弈当中，我们可以发现．当双方博弈到达
如果分手小丽可得收益为10的阶段，小冬是很难有动力继续交往下去，继续
下去不但收益不会增长，而且有被小丽甩掉反而减少收益的风险。小丽则更
不利，因为她从来就没有占先的机会．她无论哪次选择分手策略．都是两败
俱伤．而且还有可能被小冬欺骗而减少收益。在爱情过程中，女人总体来讲
处于不利地位。因此．每一次交往，无论小冬还是小丽都有选择分手来中止
爱情的动机，更详细的数学可以证明．爱情圆满的结局不可能达到。当然．
我们在生活中会发现，踏入婚姻殿堂的情侣数量，并不像上面的推论得出的
那样令人绝望。这是怎么回事呢？
从逻辑推理来看，倒推法是严密的，但结论是违反直觉的。直觉告诉我
们，一开始就采取不合作的策略获取的收益只能为1，而采取合作性策略有可
能获取的收益为100。当然，A一开始栗取合作性策略的收益有可能为0，但
1或者0与100相比实在是太小了。直觉告诉我们采取合作策珞是好的。而从
逻辑的角度看，一开始A应取不合作的策略。我们不禁要问：是倒推法错了．
还是直觉错了，这就是蜈蚣博弈的悖论。
对于蜈蚣悖论，许多博弈专家都在寻求它的解答。西方博弈论专家通过
实验发现，不会出现一开始选择“不合作”策略而双方获得收益1的情况。
双方会自动选择合作性策略。这种做法违反倒推法，但实际上双方这样做，
要优于一开始就采取不合作的策略。
倒推法似乎是不正确的。然而我们会发现，即使双方开始能走向合作，
舻
即双方均采取合作策略，这种合作也不会坚持到最后一步。理性的人出于自
身利益的考虑，肯定会在某一步采取不合作策略。倒推法肯定在某一步．要
起作用。只要倒推法在起作用．合作便不能进行下去。
也许下面这个观点显得更为公允：倒推法悖论的产生其实是源于其适用
范围的问题．即倒推法只是在一定的条件下和一定的范围内有效。忽略了这
一点，笼统去谈论倒推法的有效性是不科学的。
饲推法的成立是有条件的，在一定的条件下它成立的概率比较高。由于
倒推法在逻辑上和现实性方面都是有条件成立的．因此它的分析预测能力就
有局限性，它就不可能适用于分析所有动态博弈；如果不恰当地运用了倒推
法，就会造成矛盾和悖论。同时．我们也不能因为例推法的预测与实际有一
些不符，就否定它在分析和预测行为中的可靠性。只要分析的问题符合它能
够成立的条件和要求。倒推法仍然是一种分析动态博弈的有效方法。
1192
第1 4章
分蛋糕博弈：革命就是讨价还价
明白吗谁亦想跻身这童话
无奈代价还是夹杂太多其他
给你感情的升华
全部为你没意识讨价还价
——《我在乎》歌词
创造生活的艺术
在熙熙攘攘上的集市上，我们经常会看到这样的场景。买家看中了一件
东西，而卖家也看出买家对这件东西感兴趣。于是．一讨价还价开始了。
“多少钱？…‘18元！…‘你想抢钱啊。2元！…‘16元！…‘还是太贵了。4
元！．’“我让一点，14元！…‘我加一点，6元！…‘最低12元．不然没钱赚了。”
“最高8元，不然我到别家去买。…‘算了．成本价给你，10元！…‘那就10元
吧．让你赚就赚吧！”
看着他们的价位像钟摆一样，摆过来．摆过去，最后停在10元上，有人
也许会想：“为何不一开始就卖10元？两下省事。”而实际上，10元是双方博
弈后的结果．事前准叉知道10元是双方的最佳成交价呢？除非上帝现身，只
有通过讨价还价j换句话说，讨价还价具有与上帝一样神奇的力量，能够让
最佳成交价在买家与卖家之间出现。
1960年．谢林发表了其经典著作《冲突的战略》，对讨价还价和冲突管理
理论做了非常细致的分析。
从博弈论的角度来看．讨价还价是一个零和博弈。博弈当事人的利益是
对立的．一方效用的增加都会损害另外一方的利益。但当事人的利益也有一致
的地方．那就是都希望避免两败俱伤，希望至少达成某种协议，这样．双方就
需要在达成协议的底线和争取较优结果中进行权衡：
通过对讨价还价现象进行分析，谢林认为：“在讨价还价的过程中．限制
自己的选择往往引致对手让步：”对此可以这样理解．当限制自己的选择后，
对方认为自己不可能做出进一步的让步时，协议就达成了。谢林还进一步描
述了能够获得和保持有利地位的三个策略．即不可逆转的约束、威胁和承诺，
同时．让步是运用这三个策略的必不可少的基础．任何一方的过于强势都不
是最优策略，
以两国军事对抗为例。若一国先动员军队进人战备，另一国不动员战备，
则先动员一方得益为a．不动员的国家得益为c；若两国都动员军队．双方剑
拔弩张．则每国得益都为0；若两国都休战．则双方各得b。这里．a》b》c》0．
显然，如写成“2×2”矩阵．这里有三个纳什均衡：【c．a】．＇a，c】与混合策
略均衡（见表14—1）。
两国军事对抗博弈矩阵
c是对方在我方先发制人时的得益，但这里．为了让先发制人方降低动武
的概率．也需要提高对方的得益c。而提高c就是先发制人一方对对方的让步！
理论是枯燥的．但放到生活中却是活色生香的。从买菜到买房子，讨价
还价都进行得如火如萘。在深圳等地．还出现了房屋导购人士．他们利用自
己对房地产市场的熟悉．专门帮人在买卖房产时讨价还价以牟利．
讨价还价不仅限于商品买卖．恋爱婚姻也不能例外。
恋爱本身具有讨价还价机制．可以形成连续博弈．如果双方能产生一个
r
一
《施
分蛋糕博奔：革命就是讨价还价
一致点，那就可以结婚了；反之，则可能是分手。所眦自由恋爱要比包办婚
姻进步，因为可以讨价还价。而婚姻因为已经形成契约，尘埃落定，没有了
讨价还价的机制。古训“男怕人错行，女怕嫁错郎”说的就是这种后果的严
重性。
恋爱博弈的重要性还在于离婚的交易费用往往惊人。比如．有些国家只
允许男人提出离婚．但同时规定结婚时就应明确如果离婚丈夫必须付给妻子
的补偿数额；中国东北有种习俗叫“净身出户”，即在离婚时所有财产留给女
方。这些制度习俗的设计，保护了婚姻中的弱势一方，使离婚失去讨价还价
的机制，更显得结婚是一次性博弈，抉择的重要性可见一斑。
父母和珐子之间也存在着讨价还价机制。任何一个父母都会引导孩子向
他们期望的方向前进。但孩子在父母的过分关爱之下，反而被约束，没有自
己的选择。这时讨价还价机制开始起作用，孩子通过哭泣等方式影响父母的
决定。
萧伯纳曾经说，经济学是一门最大限度创造生活的艺术。而在很多情况
下．这种创造的基础就是讨价还价，或者说，讨价还价本身是创造生活艺术
的一种具体方法。
蛋糕在不断融化
我们来看一个讨价还价博弈的基本模型。
假设两个孩子商议分吃一块蛋糕．很简单的一个方法，就是一方将蛋糕
一切两半．另一方则选择自己分得哪一块蛋糕。不妨假设切蛋糕这种累活分
配蛤A．B则在两块蛋糕中选择一块。显然，A在这种切蛋糕的规则下，一定
会努力让两块蛋糕切得尽量相同大小。
设想桌子上放着的是一个冰淇淋蛋糕，两个菝子在就分配方式讨价还价
的时候．蛋糕在不停地融化。我们假设每提出一个建议或反建议，蛋糕都会
朝零的方向缩小同样大小。
这时，讨价还价的第一轮由A提出要求．B接受条件则谈判成功，若B
不接收条件进人第二轮；第二轮由B提出分蛋糕的条件，A接受则谈判成功，
95 I
飘翟翟型
A不接受，于是蛋糕融化，谈判失败。
对于A来说，刚开始提出的要求非常重要，如果他所提的条件，B完全
不能接受的话，蛋糕就会融化一半，即使第二轮谈判成功了，也有可能还不
如第一轮降低条件来得收益大。因此A第一轮提出要求要考虑两点：首先要
考虑是否可以阻止谈判进入第二阶段；其次，考虑B是如何考虑这个问题的。
首先看最后一轮，蛋糕在第二阶段只有原先的1／2的大小．因此．A在第
二阶段即使谈判大获全胜．也不过只得到l／2蛋糕，而谈判失败则什么都得不
到。从最后一轮再反推到第一轮，B知道A在第二轮时所能得到的蛋糕最多
为1／2，因此当A在第一轮时只要占据的蛋糕大于112．他都可以表示反对，
将这个谈判延续到第二轮。
A对B的如意算盘也很清楚，经过再三考虑．他在第一阶段的初始要求
一定不会超过1／2的蛋糕大小。因此A在初始要求得到1／2个蛋糕时该谈判顺
利结束，这个讨价还价的结果则是二人双方各吃一半大小的蛋糕。
这种具有成本的博弈最明显的特征就是，谈判者整体来说应该尽量缩短
谈判的过程．减少耗费的成本。
我们再来看看当谈判有三个阶段时会是什么样的结果。为了便于论述，
不妨假设这个时候．蛋糕每过一个讨价还价的轮次就融化1，3大小．到最后一
轮结束时，蛋糕全部融化。
动态博弈一般都是采用倒推法．从最后一个阶段看，即使谈判成功．A
最多只能得到剩下的1／3个蛋糕。B知道这一点，因此在第二阶段轮到自己提
要求时要求两人平分第一轮剩下的2／3个蛋糕。A在第一轮时就知道B第二轮
的想法．于是在第一阶段刚开始提要求时．直接答应给B蛋糕的1／3大小，B
知道即使不同这个条件，进人第二轮也一样是最多得到113个蛋糕．到了第三
轮几乎就分不到蛋糕，因此B一定会接受这个初始条件。这个三阶段的分蛋
糕谈判最终的结果是B分得113的蛋糕．A分得2／3个蛋糕。
更为普遍的情况是，假如步骤数目是偶数，各得一半；假如步骤数目n
是奇数．A得到（n十1），（2n）而B得到（n_I），（2n）。等到步骤数目达到
101．A可以先行提出条件的优势使他可以得到51／101个蛋糕，而B得到50／101
个。
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飘翟翟型
A不接受，于是蛋糕融化，谈判失败。
对于A来说，刚开始提出的要求非常重要，如果他所提的条件，B完全
不能接受的话，蛋糕就会融化一半，即使第二轮谈判成功了，也有可能还不
如第一轮降低条件来得收益大。因此A第一轮提出要求要考虑两点：首先要
考虑是否可以阻止谈判进入第二阶段；其次，考虑B是如何考虑这个问题的。
首先看最后一轮，蛋糕在第二阶段只有原先的1／2的大小．因此．A在第
二阶段即使谈判大获全胜．也不过只得到l／2蛋糕，而谈判失败则什么都得不
到。从最后一轮再反推到第一轮，B知道A在第二轮时所能得到的蛋糕最多
为1／2，因此当A在第一轮时只要占据的蛋糕大于112．他都可以表示反对，
将这个谈判延续到第二轮。
A对B的如意算盘也很清楚，经过再三考虑．他在第一阶段的初始要求
一定不会超过1／2的蛋糕大小。因此A在初始要求得到1／2个蛋糕时该谈判顺
利结束，这个讨价还价的结果则是二人双方各吃一半大小的蛋糕。
这种具有成本的博弈最明显的特征就是，谈判者整体来说应该尽量缩短
谈判的过程．减少耗费的成本。
我们再来看看当谈判有三个阶段时会是什么样的结果。为了便于论述，
不妨假设这个时候．蛋糕每过一个讨价还价的轮次就融化1，3大小．到最后一
轮结束时，蛋糕全部融化。
动态博弈一般都是采用倒推法．从最后一个阶段看，即使谈判成功．A
最多只能得到剩下的1／3个蛋糕。B知道这一点，因此在第二阶段轮到自己提
要求时要求两人平分第一轮剩下的2／3个蛋糕。A在第一轮时就知道B第二轮
的想法．于是在第一阶段刚开始提要求时．直接答应给B蛋糕的1／3大小，B
知道即使不同这个条件，进人第二轮也一样是最�