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维根斯坦的影响５１
做此假定。可是如果他不做此假定，我就看不出有什么理由能象他所说：说两件事物的一切性质都为他们所共有，是有意义的。可是如果承认不同是有的，那么，如果ａ和ｂ是两个，ａ就有一种为ｂ所没有的性质，那就是，与ｂ不同那么一种性质。
所以，我想维根斯坦关于同一的那种主张是错误的。
果真如此，那就使他的系统的大部分归于无效。
请以２这个数的定义为例。我们说一个类有两项，如果这个类有ｘ和ｙ两项，并且ｘ和ｙ并不等同，并且，如果ｚ是这个类的一项，则ｚ和ｘ或ｙ等同。
很难使这个定义和维根斯坦的主张相调适，他的主张是要求：我们决不应该用辞句来表示“ｘ＝ｙ”或“ｘｙ”这个式子，而是应该用不同的字母D来代表不同的东西，并且决不应该用两个不同的字母来代表同一个东西。除了这种专门技术上的困难之外，显然，由于上面所讲的理由，如果两件东西的一切性质都为二者所共有，则这两件东西就不能算做两个，因为算做两个就不能不把它们区别开，因此也就给了它们以不同的性质。
还有一个结果，就是，我们不能制造一个为某一组列举的物件所共有和特有的内包。举例来说，假定我们有ａ、ｂ、ｃ三个物件，那么，和ａ等同、和ｂ等同、和ｃ等同的那个性质就是一个为这三个物件所共有和特有的性质。但是，在维根斯坦的系统中，这个方法是不合用的。
还有一点，是非常重要的，就是，维根斯坦对关于世界上一切物的任何陈述都不认可。在《数学原理》里，万物总体的定义是所有那些ｘ们的类，它们是ｘ＝ｘ那样的ｘ们，并且我们可以给这个类指定一个数，（正如可以给任何别的类指
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６１１第 十 章
定一个数）
，虽然我们当然不知道用来指定的那个正确的数是什么。维根斯坦对此不予承认。他说象“世界上有三件以上的东西”这样的一个命题是没有意义的。一九一九年我在海牙和他正在讨论《逻辑哲学论》的时候，我面前有一张白纸。
我在上面用墨水弄了三个点。
我请他承认：既然有这三个点，世界上一定至少有三件东西；但是他坚决拒绝。他倒承认在那张纸上有三个点，因为那是一个有限的断定，但他不承认关于世界总体能有任何陈说。这和他的神秘主义有关系，但是由于他拒绝承认等同，这是不足怪的。
另有一方面和这同一类问题有关，我称之为“无限公理”。
在一个只包含有限数目的东西的世界中，那个数目就是一批东西最大可能有的数目。在这样的一个世界中，所有高级数学就要垮台。世界上究竟有多少东西，在我看来，这纯粹是一个经验上的问题。我不认为一个单纯的逻辑学家关于这个问题应该发表什么意见。因此，所有需要一个无限数目东西的那些数学部分我都当成是假设的。所有这一切在维根斯坦看来都是极其荒谬的。在他看来，你可以问“伦敦有多少人？”或“太阳里有多少分子？”但是推论世界上至少有那个数目那么多的东西，在他看是没有意义的。据我想，他的学说的这一部分肯定是错误的。
维根斯坦发表了两个原理。这两个原理如其为真，是非常重要的。即，外延性原理和原子性原理。
外延性原理是说，关于一个ｐ命题的任何陈述的真或伪，完全有赖于ｐ的真或伪；包含一个命题函项的任何陈述的真或伪，完全有赖于这个函项的外延，那就是说，有赖于使这
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维根斯坦的影响７１
个命题函项之为真的价值范围。从表面来看，对这个论点显然可以有争议。请以“Ａ相信ｐ”为例。显而易见，一个人可以相信一些真命题，而不相信别的命题，所以“Ａ相信ｐ”之真伪并不完全有赖于ｐ的真或伪。关于这一个题目，维根斯坦有一段话，很神秘。他说，“在一般的命题形式中，一些命题只以真伪运算的基础出现在一个命题中。”
“乍一看来，一个命题出现在另一命题中似乎还有一个不同的方法”。
“特别是在心理学的一些命题形式中如‘Ａ认为，ｐ正是如此’，或‘Ａ认ｐ为真’，等等。”
“在这里，从表面上看，好象ｐ这个命题对Ａ这个对象具有一种关系。”
“〔现代认识论里（罗素、穆尔等）的那些命题就被认为是如此的〕。”
“但是很清楚，‘Ａ相信ｐ’、‘Ａ认ｐ为真’、‘Ａ说ｐ’是属于‘ｐ说ｐ’的形式；这里我们并没有事实和对象的对等关系，但是有事实之间由于他们的对象的对等关系而有的一种对等关系。”
“这表明，并没有象当代浅薄的心理学里那种想法的那种东西，如灵魂——主体等”
（《逻辑哲学论》，５。
５４以下）。
维根斯坦的论点是“Ａ相信ｐ”
并不是ｐ的一个函项，而是Ａ用以表示ｐ命题或身体状况的那些字的函项，这种身体状况（不管是什么）构成其相信。他这个人和往常一样，是独断的，他吐露他的意见象沙皇下谕旨一样。但是草野小民对这种办法是难以满意的。我在《对意义与真理的探讨》中
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（第２６７页以下）对这个问题曾详加检查，但是对得到的结论是有些拿不定的。
原子性原理维根斯坦是用下面的措辞来陈述的：“关于复合的每个陈述可以分析成关于它们的组成部分的一个陈述，并且可以分析成完全描述那些复合的一些命题”
（《逻辑哲学论》，２。
０２０１）。这个原理可以说是相信分析的具体表现。维根斯坦写《逻辑哲学论》的时候，他相信（据我的了解，他后来终归不相信）世界是由许多具有各种性质和关系的简单东西构成的。简单东西的简单性质和简单关系是“原子事实”
，关于它们的断定是“原子命题”。
这个原理的要点是，如果你知道所有的原子事实，并且也知道它们是所有的原子事实，再也没有别的，你就能只用逻辑来推论所有别的真命题，这个原理引起的重要难点也是和“Ａ相信ｐ”
这样一些命题有关，因为，这里ｐ是复杂的，算是一个复合。这种命题的特。
点是，它们包含两个动词，一个是主要的，另一个是附属的。
让我们举一个很简单的例子，比如说：“Ａ相信Ｂ是热的。”
这里“相信”是主要动词，“是”是附属动词。原子原理需要我们设法把这事实表示出来，而不提出“Ｂ是热的”
这个附属的复合来。这个原理我也在《对意义与真理的探讨》中（第２６２页以下）详细讨论过。
关于这两个原理，我所得到的结论是：“（１）如果严格地加以解释，分析象‘Ａ相信ｐ’这样的一些句子，外延原理不能证明是伪的；（２）同是这个分析不能证明原子原理是伪的，但是证明其为真，是不够的”《对意义与真理的探讨》（第２７３页）。
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维根斯坦的影响９１
对于维根斯坦这两个原理更通常的批评是，没有理由相信简单东西和原子事实。
据我的了解，他后来也终归这样想。
但是讨论这个问题就使我们离开《逻辑哲学论》太远了。在后边的一章里，我还要讲这个问题。
维根斯坦主张，逻辑完全是由重言式所构成。关于这一点，我想他是对的，虽然在我读到他关于这一问题所说的话之前我并不认为如此。还有和这个有关系的一点是非常重要的，就是，所有原子命题是各自独立的。从前以为，一个事实在逻辑上讲可以有赖于另一个事实。只有如果其中的一个事实其实是两个事实放到一起的时候，才是如此。在逻辑上讲，从“Ａ和Ｂ是人”推出的结果是，Ａ是一个人。但是那是因为“Ａ和Ｂ是人”其实是两个命题放到一起的。我们所讨论的这个原理的结果是，在实际世界中为真的那些选择出来的原子事实可以是逻辑所能证明的原子事实的全体，但是，显而易见，关于这一点，原子性原理是必不可少的，而且，如其不为真，我们就不能确信最简单、可能得到的事实有时在逻辑上也许是不相关的。
在《数学原理》的第二版中（１９２５）
，我考虑了维根斯坦的一些学说。
我在一篇新的《导言》里采用了外延性原理，并且在《附录》里考虑了对这个原理显然可非议之处，就全体来说，我断定这些非议是无效的。在这个新版中，我的主要目的是减少《可化归性公理》的使用。如果我们一方面要避免矛盾，另一方面保存平常认为无可争议的所有数学，这个公理（等一会儿我就要加以说明）好象是必需的。但是它是一个可议的公理，因为其为真是可以怀疑的，并且更重要的
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０２１第 十 章
是因为，如其为真，其为真是属于经验的，不是属于逻辑的。
怀特海和我认识到，这个公理是我们的系统的一个弱点，但是我至少认为它有类乎平行公理，这个平行公理一向被认为是欧几理德几何学的一个弱点。我认为迟早会找出一种方法把这个公理废除掉，同时把难点集中在一点上是一件好事。
在第二版的《数学原理》里，在许多情形中（这个公理原先看来好象是少不了的）
，特别是在所有数学归纳法的使用中，我成功地把这个公理废除了。
我现在必须说明这个公理是说什么，以及为什么它好象是不可缺的。我在前面已经说明过属于一些性质总体的性质和不属于性质总体的性质之间的差异。属于性质总体的性质往往引起麻烦。举例来说，假定你提出来这样的一个定义：“一个典型的英国人就是一个具有多数英国人所具有的性质的人”。
你就会很容易认识到，多数英国人并不具有多数英国人所具有的一切性质。所以，按照你的定义来说，一个典型。。
的英国人就是不典型。麻烦之发生是因为，“典型”这个字的界说是指一切性质。然后其本身被当做是一种性质。因此似乎是，如果正当来说“一切性质”
，你的意思不能是真指“一切性质”
，而只是指“不属于性质总体的一切性质”。正象我在前面说明的那样，我们把这样的性质说成是“断言的”。可化归性公理是说，一个不是断言的性质永远在形式上等于某个断言的性质。
（如果两个性质属于同一组东西，或者说得更确切一些，如果它们的真伪价值对每个主目来说都是一样，这两个性质在形式上就是相等的。）
在第一版的《数学原理》中我们把接受这个公理的理由
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维根斯坦的影响１２１
说明如下：“可化归性原理是自明的，这是一个难以让人支持的命题。但是，事实上，自明不过是接受一个公理的理由的一部分，绝不是必不可少的。接受一个公理的理由，正和接受任何别的命题一样，永远大部分是归纳性的，也就是说，许多几乎无可怀疑的命题可以从这个公理推演出来，没有同样讲得通的办法使这些命题可以为真，如果这个公理为伪，而且无任何可能是伪的东西能从它推演出来。如果这个公理表面看来是自明的，实际上那就是说，它几乎是无可怀疑的；因为有些东西原被认为是自明的，可是后来知道是伪的。如果这个公理本身几乎是无可怀疑的，那只增加了归纳证据，这种证据是从其结果几乎是无可怀疑这个事实来的，它并不能提供迥然不同的新证据。绝对正确是永远达不到的，所以每个公理和其所有结果总要有若干可疑成分。在形式逻辑里比多数科学里可疑成分为少，但是并不是没有。这从这件事就可以看出来：悖论是来自一些原来不知道需要加以限定的前提。
就可化归性公理来说，对它有利的归纳证据是很强的，因为它所容许的推理和从它引出来的结果都显然是有效的。但是，虽然这个公理竟然为伪象是很不可能，但是绝不是不可能居然发现它是从另外某一个更基本、更明显的公理推演出来的。很可能，使用循环论法原理（这种原理体现在前面讲过的层型中）是使用得过猛了，若是使用得不那么猛，这个公理的必要性也许就可以避免了。可是，这类变动并不使根据前面说明过的原理所断定的任何东西为伪，这类变动只不过为这些同一定理提供更容易得到的证据。因此，好象没有什么根据害怕使用可化归性公理会使我们有错误“
（《导言》，
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第Ⅱ章，第Ⅶ节）。
在第二版里我们说：“显然应该改进的一点是可化归性公理。这个公理只有一个纯乎是实用的理由作为根据：它导致所想望的结果，而无其他结果。但是它不是我们能满意的那类公理。但是，关于这一个问题，还不能说可以得到一个满意的解决。雷昂。崔斯泰克毅然把这个公理废除，而不采取任何代替的东西。从他的研究来看，很清楚，他的这种办法使我们不得不牺牲大量的普通数学。还有一个办法（由于哲学上的理由为维根斯坦所推荐）
，就是假定命题的函项永远是真伪函项，并且一个函项只能通过它的值出现在一个命题中。
象这种看法是有难点的，但是这些难点也许不是不能克服的。
这种看法会有这样的结果，就是，函项的所有函项都是外延性的。它需要我们主张“Ａ相信ｐ”不是ｐ的一个函项。在《逻辑哲学论》里（同上所引处，及第１９至２１页）证明这如何是可能的。我们不准备断定这个学说确是正确的，但是在以下的篇幅中把它的结果弄出来，看来是值得的。看来第一卷中的一切仍然是正确的（虽然常常需要新的证明）
；归纳基数和序数的学说继续存在；但是无限戴地钦德和良序级数的学说大部分是垮台了，所以无理数和一般的实数再也不能得到适当的解决。
而且坎特的２ｎ＞ｎ这个证明也瓦解了，除非ｎ是有限的。也许还有一个什么别的不象可化归性公理那么不满人意的公理会产生这些结果，但是我们还找不出这样的一个公理来（《导言》，第ＸＩＶ页）。
《数学原理》第二版出版不久之后，Ｆ。
Ｐ。
莱穆塞在两篇很重要的文章里捡起化归性公理这个问题来，一是《数学的
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维根斯坦的影响３２１
基础》，发表于一九二五年，还有《数理逻辑》，发表于一九二六年。不幸，莱穆塞的早亡使他的意见不能充分发展。但是他已有的成绩是很重要的，值得认真考虑。他的主要论点是，必须使数学成为纯然是外延性的，《数学原理》的麻烦是起自非法侵入了内包的观点。怀特海和我主张，一个类只能用一个命题函项来规定，这甚至可以用于好象为枚举所规定的那些类。举例来说，由ａ、ｂ和ｃ三个个体而成的这个类是被“ｘ＝ａ或ｘ＝ｂ或ｘ＝ｃ”这个命题函项所规定。维根斯坦拒绝等同（莱穆塞对此加以承认）
使这个方法成为不可能，但是，从另一方面来说，莱穆塞认为，对于用枚举来给一个无限的类下定义，并没有逻辑上的异议。我们不能这样来给一。。。。
个无限的类下定义，因为我们总是要死的，但是我们不免于死是一件经验上的事，这件经验上的事逻辑学家们是应该置之不顾的。
他认为，根据这一点，乘法公理是一个重言式。
例如，再回头讲那个有无限双袜子的百万富翁。
莱穆塞主张，没有必要定一个规则从每双袜子里挑一只。他认为，就逻辑来。。
说，一个无限数目的任意选择是和一个有限数目的选择一样可以容许的。
他把一个类似的观点应用于改变命题函项这个概念。怀特海和我认为一个命题函项是含有一个未定变项的一个表达法，一旦给这个变项指定一个值，就变成一个普通的句子。
例如“ｘ是有人性的”
，一旦我们用一个专名来代替“ｘ”
，就变成一个普通的句子。这样来看命题函项们，它们是由内包而成（关于变项或变项们除外）。
“是有人性的”这些字形成许多普通句子的一部分，命题函项是造若干这类句子的一个方
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法。函项的值因变项的不同的值而确定，变项由于语句内在的特性而有不同的值，莱穆塞关于命题函项的想法颇为不同。