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此外，即使它能够推出什么东西来，我也看不出怎样能从这原则推出同一律和Ｄａｔｉｓｉ式。
何况，很明显，它并非一个单独的原则而是两个。
必须强调指出，亚里士多德对于这个隐晦的原则是没有责任的。
像凯因斯那样断定说“全和零原则”是亚里士多德作为公理提出，所有三段论推论均以它为基础，①这是不真实的。
在《前分析篇》中它没有在任何地方作为一个三段论的原则而被陈述。
有时关于这个原则作为公式而引用，不过是对于“表述所有的”以及“表述无一
①《形式逻辑》，第３０１页。
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２７第三章 亚里士多德三段论系统
的“诸词的一个解释而已。
①
如果“原则”的意思与“公理”一样，那么在亚里士多德逻辑中寻找这样一条原则是一个徒劳的企图。
如果它有另外的意义，我就根本不懂这个问题了。
迈尔曾为这个题目在他的书中写了隐晦的另外一章。
②他讲了一大串哲学的玄想，而它们本身既无根据，也不能从《前分析篇》本文中找到根据。
从逻辑观点看，它们是无用的。
１６。词项逻辑与命题逻辑A直到今日还没有对亚里士多德提出的化不完全三段论为完全三段论的证明作出严格的逻辑分析。
旧的逻辑史学家，如普兰特尔与迈尔都是哲学家，并且只懂得“哲学逻辑”
，它在十九世纪时，除了极少的例外，是低于科学水平的。
普兰特尔与迈尔现在都已经死了，但说服活着的哲学家们在获得一种称为“数理逻辑”的坚实知识之前应当停止关于逻辑或它的历史的写作，也许不是不可能的。
否则，对于他们和他们的读者都将是浪费时间。
我认为这一点有不小的实际重要性。
那些不了解在亚里士多德系统之外、还有另外一个比三段论理论更根本的逻辑系统的人，不能完全地了解亚里士多德的证明。
那个系统就是命题逻辑。
让我们用一个例子来说明
①《前分析篇》ｉ。
１：２４ｂ２８，“当其不能找出那一〔主项〕（～ π∈ιμH J F J G D ，——被Ｗ。
Ｄ。
罗斯省去）不能被另一词项断定的任何情况时，我们也可以M F J F说，一个词项表述另一个的全部；表述无一的，也必须作同样的了解。“
②《亚里士多德的三段论》，卷ｉｉｂ，第１４９页。
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１６。词项逻辑与命题逻辑A ３７
词项逻辑与命题逻辑之间的区别（亚里士多德逻辑不过是词项逻辑的一个部分）。
在亚里士多德式的同一律“Ａ属于所有的Ａ”或“所有Ａ是Ａ”之外，还有另外一种形式的同一律：“如果ｐ，那么ｐ”。
让我们比较这两个最简单的逻辑公式：所有Ａ是Ａ 和 如果Ｐ，那么Ｐ。
它们在常项（我称为函子，Ｆｕｎｃｔｏｒｓ）方面不同：在第一个公式中，函子是“所有——是”
，在第二个公式中，则是：“如果——那么”。
二者都是在此处同一的两个变元的函子。
但是，主要区别在变元之中。
在两个公式中，变元都是变项，但属于不同的种类：可替代变项Ａ的值是词项，如“人”或“植物”。
这样，从第一个公式可得到命题：“所有人是人”
，“所有植物是植物”。
变项Ｐ的值不是词项而是命题，如“都柏林位于里费河畔”或“今天是星期五”
；因此，我们由第二个公式得到命题：“如果都柏林位于里费河畔，那么都柏林位于里费河畔”或“如果今天是星期五，那么今天是星期五”。
这个词项变项与命题变项之间的区别，是两个公式之间的，从而也是两个逻辑系统之间的主要区别，而且由于词项和命题属于不同的语义范畴，这个区别是一个根本的区别。
命题逻辑的第一个系统的建立约在亚里士多德之后的半个世纪：它是斯多亚派的逻辑。
这个逻辑不是一个断定命题的系统，而是一个推论规则的系统。
所谓肯定前件的假言推理，现在称为分离规则的：“如果α，则β；但α；所以β”就是斯多亚派逻辑的最重要的原始推论规则中的一条。
变项α和β
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４７第三章 亚里士多德三段论系统
都是命题变项，因为仅仅命题能有意义地替代它们。
①命题逻辑的现代系统是１８７９年由德国大逻辑学家弗莱格创造的。
另一位十九世纪卓越的逻辑学家，美国人查尔士山德尔斯皮W尔士以他的逻辑矩阵P的发现（１８５年）对这个逻辑作了重大贡献。
《数学原理》的作者，怀特海与罗素后来在“演绎理论”的名义下把这个逻辑系统置于全部数学之首。
所有这些都是十九世纪的哲学家所不知道的。
直到当时，哲学家们也似乎没有命题逻辑的概念。
斯多亚派逻辑实际上是与亚里士多德逻辑媲美的杰作。
迈尔却说它产生了一幅形式主义的－语法的不固定性与缺乏原则的贫乏不毛的图画，并且在脚注中加上这种看法：普兰特尔与蔡勒对于这个逻辑的不利的评价必须维护②。
１９１年的《英国百科全书》简短地谈到斯多亚派逻辑：“它们对亚里士多德逻辑的修正与幻想的改进，大多是无用与迂腐的。”
③
似乎亚里士多德并没有想到在他的三段论理论之外还有另外一个逻辑系统的存在。
然而他直观地在其不完全三段论的证明中运用命题逻辑的定律，并且，甚至于在《前分析篇》第二卷中明显地提出了三个属于这个逻辑的命题。
它们的
①参看卢卡西维茨：“命题演算史”（ＺｕｒＧｅｓｃｈｉｃｈｔｅｄｅｓＡｕｓａｇｅｎｋａｌｋｕZｌｓ）
，《认识》杂志第Ⅴ卷，来比锡，１９３５年出版，第１—１３１页。
即现今通称的“真值表”。
——译者注P②迈尔《亚里士多德的三段论》第３８４页，“但是斯多亚派逻辑实际上是贫乏的、不毛的、形式主义的－语法的不固定与缺乏原则的图画。”同上，注①“实际上，即使普兰特尔与蔡勒对斯多亚派逻辑所作的那些不利的评价也应当保留。”
③１１版，剑桥１９１年出版，第２５卷第９４６页（“斯多亚”条）。
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１６。词项逻辑与命题逻辑A ５７
第一个是一条“易位律”
（ｌａｗ
ｏｆ
ｔｒａｎｓｐｏｓｉｔｉｏｎ）。
他说：“当两事物如此相互关联着：如果一个是，则另一个必然是，那么如果后者不是，则前者也应不是”。
①用现代逻辑的术语，这就是说，任何时候，一个“如果α则β”
形式的蕴涵式是真的，那么另一个“如果非β则非α”形式的蕴涵式也必真。
第二个是假言三段论定律。
亚里士多德用一个例子来解释：“每当如果Ａ是白的，则Ｂ应必然是大的，并且如果Ｂ是大的，则Ｃ应不是白的，那么这是必然的：如果Ａ是白的，则Ｃ应不是白的。”
②这就是说：每当“如果α，则β”和“如果β，则γ”
这两个形式的蕴涵式都真时，则第三个蕴涵式“如果α，则γ”亦必真。
第三个命题是把前两条定律应用于一个新的例子，并且，奇怪极了，它是假的。
这个非常有趣的段落是这样的：“同一个事物应由另外的同一个事物的存在或不存在使之成为必然的，这是不可能的。
我是指，例如，如果Ａ是白的则Ｂ应必然是大的，而且如果Ａ不是白的，则Ｂ应必然是大的，这是不可能的，因为如果Ｂ不是大的，则Ａ不能是白的。
但如果当Ａ不是白的的时候，Ｂ应是大的是必然的，它必然得出如果Ｂ不是大的，Ｂ本身就是大的了。
而这是不可能的。“
③
尽管亚里士多德所挑选的这个例子是不合适的，他的论
①《前分析篇》ｉ。
４，５７ｂ１。
②《前分析篇》ｉ。
４，５７ｂ６。
③《前分析篇》：ｉ。
４，５７ｂ３。
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６７第三章 亚里士多德三段论系统
证的意思是清楚的。
依据现代逻辑，它可以这样陈述：“如果α，则β”和“如果非α，则β”形式的两个蕴涵式不能同真。
因为从易位律我们由第一个蕴涵式得到前提“如果非β，则非α”
而这个前提与第二个蕴涵式一起由假言三段论定律产生结论“如果非β，则β”。
根据亚里士多德的意见这个结论是不可能的。
亚里士多德的最后一点说明是错的。
前件是后件的否定的蕴涵式“如果非β，则β”
不是不可能的；它可以是真的，并且根据命题逻辑的定律“如果（如果非ｐ，则ｐ）
，那么ｐ“
①
得出后件β作为结论。
迈尔在注释这一段的时候说，在这里会得出一个与矛盾律相反的组合，因而是荒谬的。
②这个注释又一次地显露了迈尔在逻辑上的无知。
违反矛盾律的不是蕴涵式“如果非β，则β”而仅仅是合取式“β并且非β”。
亚里士多德之后若干年，数学家欧几里德作出了一个数学定理的证明。
这个数学定理蕴涵着断定命题“如果（如果非ｐ，则ｐ）
，那么ｐ。“
③他首先说：“如果两个正整数ａ与ｂ的积
①见，Ａ。
Ｎ。
怀特海与Ｂ。
罗素：《数学原理》卷ｉ，剑桥１９１０年版，第１０８页，断定命题P２。
１８。
②《亚里士多德的三段论》，卷ｉｉａ，第３１页：“由于这样会得到一个与矛盾律相对立的组合，所以它乃是荒谬的。”
③见《Ｇ瓦拉第文集》（Ｓｃｒｉｔｉ
ｄｉ
Ｇｖａｉｌａｔｉ）
，来比锡－佛罗伦萨，ＣＸＶ，W《关于特第托的一段书与欧几里德的证明》，第５１６—５２７页；参看卢卡西维茨“对于多值命题演算系统的哲学考察”
（ＰｈｉｌｏｓｏｐｈｉｓｃｈｅＢｅｍｅｒｋｕｎｇｅｎｚｕｍｅｈｒｗｅｒｔｉｇｅｎｓｙｓｅｍｅｎｄｅｓＡｕｓａｇｅｎｋａｌｋｕZｌｓ）
，《华沙科学与文学会会刊》ｘｉ卷（１９３０年）
，第Ⅲ类，第６７页。
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１７。换位法证明A ７７
是可以被素数ｎ整除的，则如果ａ是不能被ｎ整除的，则ｂ应当被ｎ整除。“让我们假定ａ＝ｂ，并且它们的积ａ×ａ（ａ２）能被ｎ整除。
由这个假定得出：“如果ａ是不能被ｎ整除的，则ａ是可被ｎ整除的。”这里我们就有了一个前件为其后件否定的真蕴涵式的例子。
从这个蕴涵式中欧几里德导出定理：“如果ａ２可被一素数ｎ整除，则ａ可被ｎ整除。”
１７。换位法证明A用一个前提换位来证明不完全的三段论，既是最简单的也是亚里士多德最经常使用的。
让我们分析两个例子。
第二格Ｆｅｓｔｉｎｏ式的证明是这样：“如果Ｍ属于无一Ｎ，但属于有些Ｘ，则Ｎ必不属有些Ｘ也是必然的了。
因为否定前提是可换位的，Ｎ属于无一Ｍ，但已认定Ｍ属于有些Ｘ；所以Ｎ不属于有些Ｘ。
达到这个结论是借助于第一格。“
①
这个证明基于两个前提：其一是Ｅ命题的换位律：（１）如果Ｍ属于无一Ｎ，那么Ｎ属于无一Ｍ，另一个是第一格的Ｆｅｒｉｏ式：（２）如果Ｎ属于无一Ｍ并且Ｍ属于有些Ｘ，那么Ｎ不属于有些Ｘ。
从这些前提我们必定导出Ｆｅｓｔｉｎｏ式：（３）如果Ｍ属于无一Ｎ并且Ｍ属于有些Ｘ，那么Ｎ不属于有些Ｘ。
亚里士多德直观地进行这个证明。
在分析他的直观时，我们发
①《前分析篇》ｉ。
５，２７ａ３２。
…… 90
８７第三章 亚里士多德三段论系统
现两条命题演算的断定命题：其一是上面已提到的假言三段论定律，它可以陈述为下列形式：（４）如果（如果ｐ，则ｑ）
，那么［如果（如果ｑ，则ｒ）
，则（如果ｐ，则ｒ）
］，①
另一断定命题读作：（５）如果（如果ｐ，则ｑ）
，那么（如果ｐ并且ｒ，则ｑ并且ｒ）。
这个断定命题在《数学原理》中，根据皮亚诺的主张，把它叫做因子原则（ｐｒｉｎｃｉｐｌｅ
ｏｆ
Ｆａｃｔｏｒ）。
它表明我们可用一个公因子“乘”蕴涵式的两边，即，我们可借助于“并且”这个词，把一个新命题ｒ加于ｐ和加于ｑ，②
我们从断定命题（５）
开始。
因为ｐ，ｑ和ｒ都是命题变项。
我们可以用亚里士多德逻辑的前提去代替它们。
以“Ｍ属于无一Ｎ”代ｐ，“Ｎ属于无一Ｍ”代ｑ，以“Ｍ属于有些Ｘ”代ｒ，我们从（５）的前件可得出换位律（１）
，并且我们可把（５）
的后件分离出来作为一个新的断定命题。
这个新断定命题有形式：（６）如果Ｍ属于无一Ｎ并且Ｍ属于有些Ｘ，那么Ｎ属于无一Ｍ并且Ｍ属于有些Ｘ。
这个断定命题的后件与断定命题（２）的前件等同，因此，我们可对（６）与（２）应用假言三段论规则，以合取式“Ｍ属于无一Ｎ并且Ｍ属于有些Ｘ”代ｐ，以合取式“Ｎ属于无一
①见《数学原理》第１０４页，断定命题P２。
０６。
②见《数学原理》第１９页，断定命题P３。
４５。
合取式“ｐ并且ｒ”在《数学原理》中被称为“逻辑积”。
…… 91
１７。换位法证明A ９７
Ｍ并且Ｍ属于有些Ｘ“
代ｑ，而以命题“Ｎ不属于有些Ｘ”
代ｒ。
两次运用分离规则，我们就从这个新断定命题得到Ｆｅｓｔｉｎｏ式。
我想分析的第二个例子稍有不同。
它就是上面提到过的Ｄｉｓａｍｉｓ式的证明。
①我们要证明以下的不完全三段论：（７）如果Ｒ属于所有Ｓ并且Ｐ属于有些Ｓ，那么Ｐ属于有些Ｒ。
这个证明基于第一格的Ｄａｒｉ式：（８）如果Ｒ属于所有Ｓ并且Ｓ属于有些Ｐ，那么Ｒ属于有些Ｐ。
而且基于Ⅰ命题换位律的两次应用，第一次应用于以下形式：（９）如果Ｐ属于有些Ｓ，则Ｓ属于有些Ｐ，而第二次应用于以下形式：（１０）如果Ｒ属于有些Ｐ，则Ｐ属于有些Ｒ。
我们以假言三段论的定律和下列断定命题作为命题逻辑的辅助命题。
下面的断定命题与（５）略有不同，但还可以叫做因子原则：（１）如果（如果ｐ，则ｑ）
，那么（如果ｒ并且ｐ，则ｒ并且ｑ）。
（５）与（１）之间的差别在于：公因子ｒ不是象在（５）
之中那样在第二个位置上，而是在第一个位置上。
由于合取式是可交换的，而且“ｐ并且ｒ”与“ｒ并且ｐ”是等价的，所以这个差别不影响这个断定命题的正确性。
亚里士多德所作的证明由前提“ｐ属于有些Ｓ”
的换位开
①见第３７页注①。
…… 92
０８第三章 亚里士多德三段论系统
始。
在这个处理之后，让我们把（１）中的ｐ代之以前提“ｐ属于有些Ｓ”
，把ｑ代之以前提“Ｓ属于有些Ｐ”
，而把ｒ代之以前提“Ｒ属于所有Ｓ”。
用这个替换，我们从（１）的前件得到换位律（９）
，并且我们因而可以分离出（１）的后件，即：（１２）
如果Ｒ属于所有Ｓ并且Ｐ属于有些Ｓ，那么Ｒ属于所有Ｓ并且Ｓ属于有些ｐ。
（１２）的后件与（８）的前件是等同的。
应用假言三段论定律，我们能从（１２）和（８）得到三段论：（１３）