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没有真正的理由可以用来反对这个系统。
我们也将看到，这个系统排斥了所有关于模态逻辑所引出的错
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５０。必然性和模态逻辑的四值系统A ７３２
误推论，解释了亚里士多德模态三段论中的困难，并且揭示了一系列意外的、对于哲学具有重大意义的逻辑事实。
５０。必然性和模态逻辑的四值系统A在第六章结尾时指出过两个重大的困难：第一个是与亚里士多德承认有断定的必然命题相联系，第二个是与他承认有断定的偶然命题相联系，现在让我们解决第一个困难。
如果将所有分析命题都看作是必然真的命题，那末，最典型的分析命题——同一性原则Ｆｘ——也应当看作是必然真的命题。
正如我们已经看到的那样，这就会导致这样错误的结论，即任何两个个体，如果它们是同一的，它们就必然是同一的。
这个结论是不能从我们的模态逻辑系统推论出来的，因为可以证明：在这个系统中任何一个必然命题都不是真的。
由于这个证明是建立在扩展定律ＣＣｐｑＣＬｐＬｑ的基础上的，我们必须首先证明，这个定律是从我们的系统推出的。
公理５１的结果要这样表述：６。
ＣδＣｐｑＣδｐδｑ。
从６式通过替代δＭ‘推出公式：＇６７。
ＣＭＣｐｑＣＭｐＭｑ，而从６７式通过ＣＣｐｑＭＣｐｑ，公理４的替代，和借助于假言三段论，我们得出较强的Ｍ－扩展定律：１９。
ＣｐｑＣＭｐＭｑ。
较强的Ｌ－扩展定律ＣＣｐｑＣＬｐＬｑ是通过易位从１９式推出的。
在第４２节中所遗留下未获解决的问题，即亚里士多德的扩
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８３２第七章 模态逻辑系统
展定律的较强的或较弱的解释应该容许哪一个的问题，这样得到了有利于较强的解释的解决。
任何必然命题都不是真的，这个证明现在将以充分精确的形式作出；前提：
P６。
ＣｐＬｐ１８。
ＣｐｑＣＬｐＬｑ３。
ＣｐＣｑｒＣｑＣｐｒ６８。
ＣｐｑｒＣｑｒ推演：
６８。
ｒＣＬｐＬｑ×Ｃ１８—６９＇６９。
ＣｑＣＬｐＬｑ
３。
ｐｑ，ｑＬｐ，ｒＬｑ×Ｃ６９—７０＇７０。
ＣＬｐＣｑＬｑ
７０。
ｐα，ｑｐ×ＣP７１—P６＇ ＇ P７１。
Ｌα希腊字母的变项α需要作些解释。
公式７０的后件ＣｑＬｑ，它与排斥的表达式ＣｐＬｐ同义，按照我们的规则，允许排斥前件Ｌｐ以及对Ｌｐ的任何替代。
但是，这不能依靠PＬｐ来表达，因为从一个排斥的表达式通过替代不能得出任何东西。
例如，Ｍｐ是被排斥的，但是ＭＣｐ——一个Ｍｐ的替代式——却是被断定的。
为了表达７０式的前件对于Ｌ的任何主目都是被排斥的，我使用希腊字母（称之为“解释变项”）以便与用拉丁字母标志的“替代变项”相区别。
因为命题α可以给予任何解释，PＬα代表一个一般的定律，并且表示，任何以Ｌ起始的表达式，即任何必然命题，都是应当被排斥的。
…… 251
５０。必然性和模态逻辑的四值系统A ９３２
这个结果，PＬα通过Ｌ的真值表得到证明，这个Ｌ真值表是由Ｎ和Ｍ的真值表按照Ｌ的定义建立起来的。
每个人在看到Ｍ９表之后都可以发现，Ｌ只以２和０作为自己的真值，而从来不以１为自己的真值。
由于运用模态逻辑于同一性原理而得出错误结果的问题，现在就容易得到解决了。
因为ＬＦｘｘ作为一个必然命题，不能被断定，它就不能用分离法从前提（ｔ）ＣＦＸｙＣＬＦｘＬＦｘｙ或
ＣＬＦｘＣＦｘｙＬＦｘｙ引伸出结论：（ｖ）
ＣＦｘｙＬＦｘｙ。
用真值表的方法的确可以证明（ｔ）应予断定，因为它永远得１，但（ｖ）却应当是被排斥的。
由于同一性原则Ｆｘｘ是真的，即Ｆｘ＝１，因此，我们就得出ＬＦｘ＝２，和ＣＦｘｙＣＬＦｘＬＦｘｙ＝ＣＦｘｙＣ２ＬＦｘｙ。
表达式Ｆｘｙ可以具有１，２，３或０四个值中的任何一个值。
如果Ｆｘｙ＝１，那末，ＣＦｘｙＣ２ＬＦｘｙ
＝Ｃ１Ｃ２Ｌ１＝Ｃ１Ｃ２＝Ｃ１＝１，如果Ｆｘｙ＝２，那末，ＣＦｘｙＣ２ＬＦｘｙ
＝Ｃ２Ｃ２Ｌ２＝Ｃ２Ｃ２＝Ｃ２１＝１，如果Ｆｘｙ＝３，那末，ＣＦｘｙＣ２ＬＦｘｙ
＝Ｃ３Ｃ２Ｌ３＝Ｃ３Ｃ２０＝Ｃ３＝１，如果Ｆｘｙ＝０，那末，ＣＦｘｙＣ２ＬＦｘｙ
＝Ｃ０Ｃ２Ｌ０＝Ｃ０Ｃ２０＝Ｃ０３＝１。
可见，（ｔ）
是被证明的，因为它的真值化归的最后结果总是１。
相反，（ｖ）
是被否证的，因为我们有：当Ｆｘｙ＝１时，ＣＦｘｙＬＦｘｙ＝Ｃ１Ｌ１＝Ｃ１２＝２。
…… 252
０４２第七章 模态逻辑系统
当奎因问到什么是下面推理中的错误时①，提供了上述困难的有趣并且有益的例子：（ａ）晨星必然和晨星同一。
（ｂ）
但是昏星并不必然和晨星同一（只是事实上与它同一）。
（ｃ）但是同样一个客体不能具有矛盾的属性（不能是Ａ又不是Ａ）。
（ｄ）所以，晨星和昏星是不同的客体。
由我们的系统对这个困难所提供的解决是非常简单的。
这个推理是错误的，因为前提（ａ）和（ｂ）不是真的，而不能被断定，因此结论（ｄ）不能从（ａ）和（ｂ）推出，虽然事实上，蕴涵式Ｃ（ａ）
Ｃ（ｂ）
（ｄ）是正确的（第三个前提作为真的前提可以省去）。
上述蕴涵式可以用下述方式证明：用ｘ表示晨星，而用ｙ表示昏星，那末，（ａ）是ＬＦｘ，（ｂ）是ＮＬＦｙｘ，它与ＮＬＦｘｙ等值，（因为同一是一种对称关系）
，而（ｄ）是ＮＦｘｙ。
这样，我们就得出公式ＣＬＦｘＣCＮＬＦｘｙＮＦｘｙ，它是真的断定命题（ｔ）的一个正确的变形。
奎因所提出的例子现在可以借助我们的四值真值表用下述方式来验证：如果“ｘ”和“ｙ”的意义同上，那末，Ｆｘ＝Ｆｘｙ＝１；从而ＬＦｘ＝ＬＦＸｙ＝Ｌ１＝２，ＮＬＦＸｙ＝Ｎ２＝３和ＮＦＸｙ＝Ｎ１＝０，因此，按照ＣＬＦｘＣＮＬＦｘｙＮＦｘｙ，我们有Ｃ２Ｃ３０＝Ｃ２＝１。
这个蕴涵式是真的，但由于它的两个前提并
①我从坎特伯雷大学学院（新西兰，克赖斯彻奇）哲学系复写出版的“逻辑注释”
（Ｌｏｇｉｃ
Ｎｏｔｅｓ）
（１６０）
中找到这个例子，这本书是由普莱奥尔（Ａ。
Ｎ。
AＰｒｉｏｒ）教授寄给我的。
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５１。成对的可能性A １４２
非都是真的，所以，结论可能是假的。
我们将在下面一章看到，类似的困难是亚里士多德与他的朋友德奥弗拉斯特斯和欧德谟斯之间展开争论的主要原因。
关于“任何一个必然命题都不是真的”
这个重要发现的哲学涵义，将在第６２节中阐述。
５１。成对的可能性A我在第４９节中提到，有两个函子，它们都可以代表可能性。
我用Ｍ标志其中的一个，并且用等式将它定义为（α）Ｍ（ａ，ｂ）＝（Ｓａ，Ｖｂ）＝（ａ，Ｃｂ）
，我用等式将另一个函子定义为（β）Ｗ（ａ，ｂ）＝（Ｖａ，Ｓｂ）＝（Ｃａ，ｂ）
，我用Ｗ标志它，这个Ｗ看起来好象反过来的Ｍ。
按照这个定义，Ｗ的真值表是Ｍ１０，并且可以简化为Ｍ１１。
虽然Ｗ与Ｍ有区别，但它证实了与Ｍ所证实的同样结构的公理，因为ＣｐＷｐ用Ｍ１１得到证明，正如ＣｐＭｐ用Ｍ８得到证明一样，而PＣＷｐｐ和PＷｐ用Ｍ１１被否证，正如PＣＭｐｐ和PＭｐ用Ｍ８而被否证一样。
我可以用Ｍ去标志Ｗ的真值表：
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２４２第七章 模态逻辑系统
还可以表明，Ｍ和Ｗ之间的区别不是一种真正的区别，而只是由于不同的标志而产生的区别。
可以回忆一下，我是通过用２来标志（１，０）和用３标志（０，１）这成对的值，而从Ｍ２得出Ｍ３的。
由于这种标志完全是任意的，因而我有同样的权利用３表示（１，０）和用２表示（０，１）
，或者选择别的任何数字和记号。
让我交换Ｍ９中的值２和值３，在写２的地方记上３，而在写３的地方记上２。
我们从Ｍ９得出真值表Ｍ１２，而通过重新分配Ｍ１２中的中间各行和各栏，就得出真值表Ｍ１３：
如果我们将Ｍ９和Ｍ１３进行比较，那末就看到Ｃ和Ｎ的真值表保持不变，而相当于Ｍ和Ｌ的真值表却变得不同了，因而我不能用Ｍ和Ｌ去标志它们。
在Ｍ１３中的、对应于Ｍ９中的
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５１。成对的可能性A ３４２
Ｍ的真值表正是Ｗ的真值表。
Ｍ１３仍然是与Ｍ９相同的真值表，只是用另一种标志书写出来而已。
Ｗ代表与Ｍ相同的函子，应当具有与Ｍ相同的性质。
如果Ｍ表示可能性，那末，Ｗ也同样表示可能性，并且在这两个可能性之间不可能有任何区别。
虽然Ｍ和Ｗ是同一的，但当他们在同一公式中出现的时候，他们就显出差别。
它们类似于一对样子非常相像的孪生子，当分别地遇到他们的时候，不能加以区别，而当看到他们在一起时，就能立即将他们识别出来。
为了了解这一点，让我们考察一下表达式ＭＷｐ，ＷＭｐ，ＭＭｐ和ＷＷｐ。
如果Ｍ和Ｗ是同一的，那末，这四个表达式也应当彼此同一。
但是，它们并不同一。
用我们的真值表可以证明，下述公式是被断定的：７２。
ＭＷｐ和７３。
ＷＭｐ，因为Ｗｐ只有１或者２作为它的真值，而Ｍ１正如Ｍ２＝１；同样，Ｍｐ只有１或者３作为它的真值，而两者Ｗ１＝１和Ｗ＝３１。
另一方面，可以证明，公式７４。
ＣＭＭｐＭｐ和７５。
ＷＷｐＷｐ是被断定的，而因为不论是Ｍｐ还是Ｗｐ，都是被排斥的，那末ＭＭｐ和ＷＷｐ也应当是被排斥的，因而我们有
P７６。
ＭＭｐ和P７７。
ＷＷｐ，所以，我们不能在７２或７３式中用Ｍ代替Ｗ或用Ｗ代替Ｍ，因为这样我们会从一个断定的公式得出一个排斥的公式。
至今还没有任何人注意到存在成对的可能性（与此相联系也存在成对的必然性）这个有趣的逻辑事实，它是由我的
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４２第七章 模态逻辑系统
四值模态系统而得出的另一个重大的发现。
这个事实非常精密并且要求为古代逻辑学家已经知道的形式逻辑有一个很大的发展。
存在这对孪生子既说明了亚里士多德或然三段论理论中的错误和困难，也证明了他关于偶然性直觉观念的正确。
５２。偶然性和模态逻辑的四值系统A我们已经知道，亚里士多德模态逻辑中的第二个巨大困难是与他关于某些偶然命题为真这个假设有关。
根据断定命题５２（它是我们的公理５１的变形）
５２。
ＣＫδｐδＮｐδｑ，我们得出下述结果：
５２：δＭ，ｐα，ｑｐ×７８＇ ＇ ＇７８。
ＣＫＭαＭＮαＭｐ
７８。
ＣP７９—P７P７９。
ＫＭαＭＮα这表示：表达式７９对于任一命题α，都是被排斥的，因为α在这里是一个“解释变项”。
因而，不存在这样的α，它能验证两个命题“α是可能的”和“非α是可能的”
，也就是说，不存在真的偶然命题Ｔα，如果Ｔｐ是像亚里士多德所作的那样，定义为Ｍｐ和ＭＮｐ的合取，即８０。
ＣδＫＭｐＭＮｐδＴｐ。
这个结果用真值表的方法得到证实。
采用Ｋｐｑ号的通常定义：８１。
ＣδＮＣｐＮｑδＫｐｑ，我们得出关于Ｋ的真值表Ｍ１４，并且我们有：
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５２。偶然性和模态逻辑的四值系统A ５４２
当ｐ＝１：ＫＭｐＭＮｐ＝ＫＭ１ＭＮ１＝Ｋ１Ｍ０＝Ｋ１３＝３当ｐ＝２：ＫＭｐＭＮｐ＝ＫＭ２ＭＮ２＝Ｋ１Ｍ３＝Ｋ１３＝３当ｐ＝３：ＫＭｐＭＮｐ＝ＫＭ３ＭＮ３＝Ｋ３Ｍ２＝Ｋ３１＝３当ｐ＝０：ＫＭｐＭＮｐ＝ＫＭ０ＭＮ０＝Ｋ３Ｍ１＝Ｋ３１＝３。
我们看到，合取式ＫＭｐＭＮｐ具有恒值３，因而永远都不是真的。
因此，Ｔｐ＝３，也就是说，不存在在定义８０所指意义上的真的偶然命题。
然而，亚里士多德认为“明天可能发生海战”和“明天可能不发生海战”
两个命题今天可以都是真的。
因此，按照他的偶然性观点，是可以有真的偶然命题的。
有两个方法可以避免亚里士多德的观点和我们的模态逻辑系统之间的这种矛盾：我们应当或者否定命题可以同时既是偶然的又是真的，或者修改亚里士多德的偶然性定义。
我选择了第二个方法，使用了上面所揭示的可能性成对的形态。
抛掷一个钱币，可以落下或者钱币的正面或者钱币的反面，换句话说，可能落下正面，也可能不落下正面。
我们倾向于将两个命题都看作是真的。
但是，如果第一个“可能性”用与第二个可能性相同的函子去标志的话，它们就不能两个都
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６４２第七章 模态逻辑系统
真。
第一个可能性是与第二个可能性完全相同的，但是，从这里不应得出，它就应该用同样的方式去标志。
落下正面的可能性与不落下正面的可能性是有区别的。
我们可以用Ｍ标志一个可能性，而用Ｗ标志另一个可能性。
带有肯定主目的命题“ｐ是可能的”
可以表达为Ｍｐ；带有否定主目的命题“非ｐ是可能的”可以表达为ＷＮｐ；或者第一个作为Ｗｐ，第二个作为ＭＮｐ。
这样，我们就获得两个偶然性函子，譬如说是Ｘ和，它们的定义如下：e８２。
ＣδＫＭｐＷＮｐδＸｐ和８３。
ＣδＫＷｐＭＮｐδｐ。
e不可能将这些定义译成日常的语言，因为我们没有两类可能性和偶然性的名称。
我们就将它们称为“Ｍ－可能的”和“Ｗ－可能的”
，“Ｘ－偶然的”和“－偶然的”。
这样，我们就e可以概略地说：“ｐ是Ｘ－偶然的”表示“ｐ是Ｍ－可能的并且Ｎｐ是Ｗ－可能的”
，而“ｐ是－偶然的”表示“ｐ是Ｗe－可能的并且Ｎｐ是Ｍ－可能的”。
从定义８２和８３，我们可以推出Ｘ和γ的真值表。
我们得出：当ｐ＝１：Ｘ１＝ＫＭ１ＷＮ１＝Ｋ１Ｗ０＝Ｋ１２＝２；１＝ＫＷ１ＭＮ１＝Ｋ１Ｍ０＝Ｋ１３＝３。
e当ｐ＝２：Ｘ２＝ＫＭ２ＷＮ２＝Ｋ１Ｗ３＝Ｋ１＝１；２＝ＫＷ２ＭＮ２＝Ｋ２Ｍ３＝Ｋ２３＝０。
e当ｐ＝３：Ｘ３＝ＫＭ３ＷＮ３＝Ｋ３Ｗ２＝Ｋ３２＝０；
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５２。偶然性和模态逻辑的四值系统A ７４２
３＝ＫＷ３ＭＮ３＝Ｋ１Ｍ２＝Ｋ１＝１。
e当ｐ＝０：Ｘ０＝ＫＭ０ＷＮ０＝Ｋ３Ｗ１＝Ｋ３１＝３；０＝ＫＷ０ＭＮ０＝Ｋ２Ｍ１＝Ｋ２１＝２。
e真值表Ｍ１５表明，不论是Ｘｐ还是ｐ，对于ｐ的某些值证明是e真的（Ｘｐ，当ｐ＝２；ｐ，当ｐ＝３）。
现在已经证明，ＫＭｐＭＮｐe具有恒值３；同样可以表明，ＫＷｐＷＮｐ具有恒值２。