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又承天法，每月朔望及弦，皆定大小余，于推交会时刻虽审，皆用盈缩，则月有频三大、频二小，比旧法殊为异。旧日蚀不唯在朔，亦有在晦及二日。《公羊传》所谓“或失之前，或失之后”。愚谓此一条自宜仍旧。
员外散骑郎皮延宗又难承天：“若晦朔定大小余，纪首值盈，则退一日，便应以故岁之晦，为新纪之首。”承天乃改新法依旧术，不复每月定大小余，如延宗所难，太史所上。
有司奏：“治历改宪，经国盛典，爰及汉、魏，屡有变革。良由术无常是，取协当时。方今皇猷载晖，旧域光被，诚应综核晷度，以播维新。承天历术，合可施用。宋二十二年，普用《元嘉历》。”诏可。
志第三 历下
《元嘉历法》：
上元庚辰甲子纪首至太甲元年癸亥，三千五百二十三年，至元嘉二十年癸未，五千七百三年，算外。
元法，三千六百四十八。
章岁，十九。
纪法，六百八。
章月，二百三十五。
纪月，七千五百二十。
章闰，七。
纪日，二十二万二千七十。
度分，七十五。
度法，三百四。
气法，二十四。
余数，一千五百九十五。
岁中，十二。
日法，七百五十二。
没余，三十六。
通数，二万二千二百七。
通法，四十七。
没法，三百一十九。
月周，四千六十四。
周天，十一万一千二十五。
通周，二万七百二十一。
周日日余，四百一十七。
周虚，三百三十五。
会数，一百六十。
交限数，八百五十九。
会月，九百二十九。
朔望合数，八十。
甲子纪第一 迟疾差一万七千六百六十三，交会差八百七十七
甲戌纪第二 迟疾差三千四十三，交会差二百七十九
甲申纪第三 迟疾差九千一百四十四，交会差六百二十
甲午纪第四 迟疾差一万五千二百四十五，交会差二十二
甲辰纪第五 迟疾差六百二十五，交会差三百六十三
甲寅纪第六 迟疾差六千七百二十六，交会差七百四
推入纪法：置上元庚辰尽所求年，以元法除之，不满元法，以纪法除之，余不满纪法，入纪年也。满法去之，得后纪。入甲午纪壬辰岁来，至今元嘉二十年岁在癸末，二百三十一年，算外。
推积月术：置入纪年数算外，以章月乘之，如章岁为积月，不尽为闰余。闰余十二以上，其年闰。
推朔术：以通数乘积分，为朔积分，满日法为积日，不尽为小余。以六旬去积日，不尽为大余，命以纪，算外，所求年正月朔日也。
求次月，加大余二十九，小余三百九十九，小余满日法从大余，即次月朔也。小余三百五十三以上，其月大也。
推弦望法：加朔大余七，小余二百八十七，小分三，小分满四从小余，小余满日法从大余，命如前，上弦日也。又加之得望，又加之得下弦。
推二十四气术：置入纪年算外，以余数乘之，满度法三百四为积没，不尽为小余。以六旬去积没，不尽为大余，命以纪，算外，所求年雨水日也。求次气，加大余十五，小余六十六，小分十一，小分满气法从小余，小余满度法从大余，次气日也。雨水在十六日以后者，如法减之，得立春。
推闰月法：以闰余减章岁，余以岁中乘之，满章闰得一，数从正月起，闰所在也。闰有进退，以无中气御之。
立春正月节 限数一百九十四，间数一百九十
雨水正月中 限数一百八十六，间数一百八十二
惊蛰二月节 限数一百七十七，间数一百七十二
春分二月中 限数一百六十七，间数一百六十二
清明三月节 限数一百五十八，间数一百五十四
谷雨三月中 限数一百四十九，间数一百四十五
立夏四月节 限数一百四十二，间数一百三十九
小满四月中 限数一百三十六，间数一百三十四
芒种五月节 限数一百三十三，间数一百三十二
夏至五月中 限数一百三十一，间数一百三十二
小暑六月节 限数一百三十三，间数一百三十四
大暑六月中 限数一百三十六，间数一百三十九
立秋七月节 限数一百四十二，间数一百四十五
处暑七月中 限数一百四十九，间数一百五十三
白露八月节 限数一百五十七，间数一百六十二
秋分八月中 限数一百六十七，间数一百七十二
寒露九月节 限数一百七十七，间数一百八十二
霜降九月中 限数一百八十六，间数一百九十
立冬十月节 限数一百九十四，间数一百九十七
小雪十月中 限数二百，间数二百三
大雪十一月节限数二百五，间数二百六
冬至十一月中限数二百七，间数二百六
小寒十二月节限数二百五，间数二百三
大寒十二月中限数二百，间数一百九十七
推没灭术：因雨水积，以没余乘之，满没法为大余，不尽为小余，如前，所求年为雨水前没日也。求次没，加大余六十九，小余一百九十六，满没法从大余，命如前，雨水后没日也。雨水前没多在故岁，常有五没，官以没正之，一年常有五没或六没。小余尽为灭日也。雨水小余三十九以还，雨水六旬后乃有。
推土用事法：置立春大小余小分之数，减大余十八，小余七十九，小分十八，命以纪，算外，立春前土用事日也。大余不足加六十，小余不足减，减大余一，加度法而后减之。立夏、立冬求土用事皆如上法。
推日所在度法：以度法乘朔积度，不尽为分。命度起室二，次宿除之，算外，正月朔夜半日在度及分也。求次日，日加一度，经室去度分。
推月所在度法：以月周乘朔积日，周天去之，余满度法为积度，不尽为分，命度如前，正月朔夜半月所在度及分。求次月，小月加度二十二，分一百三十三，大月加度三十五，分二百四十五，分满度法成一度，命如前，次月朔月所在度及分也。历先月法：以十六除月行分为大分，如所入迟疾加之，经室去度分。
推合朔月食术：置所求年积月，以会数一百六十乘之，以所入交会纪差二十二加之，满会月去之，余则其年正月朔去交分也。求次月，以会数加之，满会月去之。求望，加合数。朔望去交分如合数以下，交限数以上，朔则交会，望则月食。
推入迟疾历法：置所求年朔积分，所入迟疾差一万五千二百四十五加之，满通周去之，余满日法得一日，不尽为日余，命日算外，所求年正月朔入历。求次月，加一日，日余七百三十四。求望，加十四日，日余五百七十五半。余满日法成一日，日满二十七去之，除日余如周日日余，不足减，减一日，加周虚。日满二十七而日余不满周日日余，为损。周日满去之，为入历一日。
推合朔月食定大小余法：以入历日余乘入历下损益率，入一日，益二十五是也。以损益盈缩积分，值损则损之，值益则益之。为定积分。以入历日余乘列差，满日法盈减缩加差法，为定差法。以除定积分，所得减加本朔望小余，值盈则减，缩则加之。为定小余。加之满日法，合朔月食进一日；减之不足减者，加日法而后减之，则退一日。值周日者，用周日定数。
推加时：以十二乘定小余，满日法得一辰，数从子起，算外，则朔望加时所在辰也。有余者四之，满日法得一为少，二为半，三为太半。又有余者三之，满日法得一为强，半法以上排成一，不满半法弃之。以强并少为少强，并半为半强，并太为太强。得二者为小弱，以并少为半弱，以并半为太弱，以并太为一辰弱。以所在辰名之。
推合朔月食加时满刻法：各以百刻乘定小余，如日法而一；不尽什之，求分。先除夜漏之半，即昼漏加时刻及分也。昼漏尽，又入夜漏。在中节前后四日以还者，视限数。在中节前后五日以上者，视间限数。月食加时定小余不满限数、间数者，皆以算上为日。
月行迟疾度 损益率 盈缩积分 列差 差法一日 十四度十三分 益二十五 盈 二 二百六十二日 十四度十一分 益二十三 盈万八千八百 三 二百五十八三日 十四度八分 益二十 盈三万六千九十六 四 二百五十五四日 十四度四分 益十六 盈五万一千一百三十六 五 二百五十一五日 十三度十八分 益十一 盈六万三千一百六十八 五 二百四十六六日 十三度十三分 益六 盈七万一千四百四十 六 二百四十一七日 十三度七分 益 盈七万五千九百五十二 五 二百三十五八日 十三度二分 损五 盈七万五千九百五十二 四 二百三十九日 十二度十七分 损九 盈七万二千一百九十二 三 二百二十六十日 十二度十四分 损十二 盈六万五千四百二十四 三 二百二十三十一日 十二度十一分 损十五 盈五万六千四百 三 二百二十十二日 十二度八分 损十八 盈四万五千一百二十 二 二百一十七十三日 十二度六分 损二十 盈三万一千五百八十四 二 二百一十五十四日 十二度四分 损二十二 盈一万六千五百四十四 二 二百一十三十五日 十二度二分 益二十四 缩 二 二百一十一十六日 十二度四分 益二十二 缩一万八千四十八 二 二百一十三十七日 十二度六分 益二十 缩三万四千五百九十二 三 二百一十五十八日 十二度九分 益十七 缩四万九千六百三十二 五 二百一十八十九日 十二度十四分 益十二 缩六万二千四百一十六 六 二百二十三二十日 十三度一分 益六 缩七万一千四百四十 六 二百二十九廿一日 十三度七分 益 缩七万五千九百五十二 五 二百三十五廿二日 十三度十二分 损五 缩七万五千九百五十二 四 二百四十廿三日 十三度十六分 损九 缩七万二千一百九十二 四 二百四十四廿四日 十四度一分 损十三 缩六万五千四百二十四 四 二百四十八廿五日 十四度五分 损十七 缩五万五千六百四十八 三 二百五十二廿六日 十四度八分 损二十 缩四万二千八百六十四 三 二百五十五廿七日 十四度十一分 损二十三 缩二万七千八百二十四 二 二百五十八周日 十四度十三分 损二十五定 缩一万五百二十八定备 二百六十定
小分一百三 损二百二十四 九万三千四百八 意差法二千
三百九
推合朔度：以章岁乘朔小余，满通法为大分，不尽为小分。以大分从朔夜半日日分，满度命如前，正月朔日月合朔所在共合度也。
求次月，加度二十九，大分一百六十一，小分十四，小分满通法从大分，大分满度法从度。经室除度分。求望，加十四度，大分二百三十二，小分三十半。求望月所在度，加日度一百八十二，分一百八十九，小分二十三半。
推五星法：二十四气 日所在度 日中晷影 昼漏刻 夜漏刻雨水 室太强 八尺二寸二分 五十五分 四十九五分惊蛰 壁一强 六尺七寸二分 五十二九分 四十七一分春分 奎七少强 五尺三寸九分 五十五五分 四十四五分清明 娄六半 四尺二寸五分 五十八 四十二谷雨 胃九太弱 三尽二寸五分 六十三分 三十九七分立夏 昴十一弱 二尺五寸 六十二三分 三十七七分小满 毕十五少弱 一尺九寸七分 六十三九分 三十六一分芒种 井三半弱 一尺六寸九分 六十四八分 三十五二分夏至 井十八 一尺五寸 六十五 三十五小暑 鬼一弱 一尺六寸九分 六十四八分 三十五二分大暑 柳十二弱 一尺九寸七分 六十三九分 三十六一分立秋 张五半强 二尺五寸 六十二三分 三十七七分处暑 翼二半 三尺二寸五分 六十三分 三十九七分白露 翼十七太弱 四尺二寸五分 五十八 四十二秋分 轸十五 五尺三寸九分 五十五五分 四十四五分寒露 亢一少 六尺七寸二分 五十二九分 四十七一分霜降 氐七半 八尺二寸八分 五十五分 四十九五分立冬 心二半弱 九尺九寸一分 四十八四分 五十一六分小雪 尾十二太强 一丈一尺三寸四分四十六七分 五十三三分大雪 箕十 一丈二尺四寸八分四十五六分 五十四四分冬至 斗十四强 一丈三尺 四十五 五十五小寒 牛三半强 一丈二尺四寸八分四十五六分 五十四四分大寒 女十半强 一丈一尺三寸四分四十六七分 五十三三分立春 危四 九尺九寸一分 四十八四分 五十一六分二十四气 昏中星 明中星雨水 觜一少强 尾十一强惊蛰 井九半 箕四少弱春分 井二十九半强 斗四弱清明 柳十二太 斗十四半谷雨 张十 斗二十五半立夏 翼十太弱 女三少小满 轸十弱 虚二弱芒种 角十太弱 危七弱夏至 氐五少弱 室五少强小暑 房四太弱 壁六太弱大暑 尾八太弱 奎十二太弱立秋 箕三 胃二太弱处暑 斗三半 昴七太弱白露 斗十四半弱 毕十六半弱秋分 斗二十五少强 井九少强寒露 牛八半强 井二十九弱霜降 女十一半弱 柳十一半强立冬 危二弱 张八太弱小雪 危十三半强 翼八太强大雪 室九半强 轸八少强冬至 壁八太强 角七少强小寒 奎十五少 亢九大寒 胃四半强 氐十三太强立春 昴九少 心四强
推五星法：
合岁 合数 日度法 室分木 三百四十四 三百一十五 九万五千七百六十 二万三千六百二十五火 四百五十九 二百一十五 六万五千三百六十 一万六千一百二十五土 三百八十三 三百七十 一十一万二千四百八十 二万七千七百五十金 二百六十七 一百六十七 五万七百六十八 一万二千五百二十五水 七十九 二百四十九 七万五千六百九十六 一万八千六百七十五
木后元丙戌，晋咸和元年，至元嘉二十年癸未，百十八年算上。
火后元乙亥，元嘉十二年，至元嘉二十年癸未，九年算上。
土后元甲戌，元嘉十一年，至元嘉二十年癸未，十年算上。
金后元甲申，晋太元九年，至元嘉二十年癸未，六十年算上。
水后元乙丑，元嘉二年，至元嘉二十年癸未，十九年算上。
推五星法：各设其元至所求年算上，以合数乘之，满合岁为积合，不尽曰合余，多者以合数除之，得一，星合往年，得二，合前往年，不满合数，其年。木、土、金则有往年合，火有前往年合，水一年三合或四合也。以合余减合数为度分，水度分满合岁则去之也。以周天十一万一千三十五乘度分，满日度法为积度，不尽曰度余。命度以室二，算外，星合所在度也。以合数乘其年，内雨水小余，并度余为日余，满日度法从积度为日，命以雨水，算外，星合日也。求星见日法，以法伏日及余木则十六日及金是也。加星合日及余，满日度法成一日，命如前，星见日也。求星见度法，以法伏度及余木则二度及余是也。加星合度及余，满日度法成一度，命如前，所见度也。以星行分母木则二十三见也。乘见度余，满日度法得一，分乃日加所行分。木顺日行四分。分满其母成一度，逆顺母不同，木逆分母七也。当各乘度余，留者承前，逆则减之，伏不书度，经室去分，不足减者，破全度。五星室分各异，若在行分，各依室分去之。
木：初与日合，伏，十六日，日余四万一千七百八十，行二度，余七万七千八百四十七半，晨见东方。去日十三度半强。顺，日行二十三分之四，一百一十五日行二十度。留，不行，二十六日而逆。日行七分之一，八十四日退十二度。又留二十六日。顺，一百一十五日行二十度，夕伏西方，日度余如初，与日合。一终三百九十八日，日余八万三千五百六十，行星三十三度，余五万九千九百三十五。
火：初与日合，伏，七十一日，日余二万四千八百一十二半，行五十四度，度余四万九千四百三十，晨见东方。去日十七度半强。顺，疾，日行七分之五，一百八日半行七十七度半。小迟，日行七分之四，一百二十六日行七十二度而大迟。日行七分之二，四十二日行十二度。留，不行，十二日而迟。日行十分之三，六十日退十八度。又留十二日。顺，迟，四十二日行十二度。小疾，一百二十六日，行七十二度。一百八日半行七十七度半，夕伏西方，日度余如初，与日合。一终七百七十九日，日余四万九千六百二十五，行星四百一十四，度余三万三千五百。除一周，定四十九度，度余一万七千三百七十五。
土：初与日合，伏，十八日，日余四千四百八十二半，行二度，度余四万六千八百四十七半，晨见东方。去日十五度半强，顺，日行十二分之一，八十四日，行七度。留，不行，三十六日而逆。日行十七分之一，一百二日退六度。又留三十六日。顺，八十四日行七度，夕伏西方，日度余如初，与日合。一终三百七十八日，日余八千九百六十五，行星十二度，度余九万三千六百九十五。
金：初与日合，伏，�