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（4） f（Px，I，Po）＝f（λPx，λI，λPo），
此处的λ是一个任意数。这就等于说Px不是三个变量的函数，而仅仅是两个变量的函数。
上面所说的与一种非常普遍的认识十分接近，即认为影响个人对产品的需求量有两种力量：（1）个人可以利用的一般商品范围发生变化——在“实际”收入上的变动，或对商品和劳务的一般支付能力上的变动；（2）个人能以某一种商品代替另一种商品的条件的变动——相对价格的变动。
现在的问题是如何用需求曲线去描述这种区别，如何把三种变数Px，I，Po“分解”（似乎可以这样说）为两种，并且使当任何一个被简化后的变量保持不变，而另一个变量变动时能够得到一个有意义的结果。
通常的解决办法是，使（4）式中的y等于1/Po，这样需求函数就成为：
（5）q＝f（Px/Po；1/Po）
对该式一般地描述是，当考察价格变动的影响时，使货币收入和其他商品的价格保持不变。用这种方法把Px，I和Po化简为两个变数。在数学上很简单也很方便，但是，不幸的是，它不符合我们在前面对“实际”收入和相关价格所做出的区别。如果用这种特定的方式分解函数，则当我们沿需求曲线移动时，实际收入将发生变化。假定商品x的价格下降，由于货币收入和所有其他商品的平均价格保持不变，个人将能够买到原先购买的商品数量，并且仍有货币节余。这表明，商品x的价格下降，就意味着个人的实际收入的增加，也就是说，他的选择余地更大了。人们已经看到了这一点，并且已经对一种价格变动的影响做了更进一步的分类：归因于个人所面临的选择范围变化的影响，以及相关价格变动的影响——所谓的价格变动收入效应和所谓的替代效应。因此，用Px/Po和I/Po去替换Px，I，和Po这三个变量。对于消费量的影响力并未真正产生两分法式的分类。它仍然是一种三分法：（1）“替代”效应，（2）价格变动的收入效应，（3）货币收入变动的效应。不过，（2）和（3）在逻辑和概念上是相同的。它们二者的区别只能从分解三个变数为二个变数的偶然形式中产生。为了说明这一点，请参见表2．1。
表2。1
从第（1）行到第（2）行的变化是包括通常的需求曲线中的那种价格变动，这两点将落在通常那种单一需求曲线上。这种变动被认为包括两部分：一部分反映出个人面临的选择范围的扩大；第二部分反映出相对价格的变动。现在，考虑从第（1）行到第（3）行和第（4）行的变动。第（4）行的数字显然是与第（2）行相同的，这是因为第（4）行只不过是第（2）行的价格和收入被1．01相乘的积（I/Po和Px/Po是相同的）。因而，从第（1）行到第（2）行的移动等于从第（1）行移到第（3）行加上第（3）行移到第（4）行的和。从第（1）行到第（3）行的移动涉及到“实际”收入上的变动，这个变动大体等于从第（1）行到第（2）行移动中所涉及的收入上的变动。这因为，如果个人购买商品X的数量（即1O）同从前一样多，当商品X的价格降低时，就会有剩余的1美元可供该人使用。因此，从第（1）行到第（3）行的移动与从第（1）行到第（2）行的移动所涉及的部分是相同的，然而，它们的分类完全不同，也就是说，一个划分为收入变动的收入效应，一个划分为价格变动的收入效应。
有一种可供选择的把Px、I和Po三个变量分解为两个变量，并更合乎根据经济上的考虑所提出的双重划分法的方法。这种方法首先是用各种用途中的货币购买力替换Po，然后把购买力作为公式（4）中的y。较为准确的表达式为：
（6）P＝W1Px＋W2Po即P是Px和Po的加权平均数，此处的权数确定为是与最初状态下消费的X商品和其他商品的数量成比例的（所以，P在概念上等于通常的生活成本指数）。这样，我们就可以把公式（4）写为：
qx＝f（Px，I，Po）＝f（Px，I，P…W1Px/W2），或者 λ＝1/p，这时
qx＝f（Px/P，I/P，（1…W1［Px/P］）/W2），或者更为一般的写为：
（7） qx＝g（Px/P，I/P）。
很显然，在这种情况下，当I/P固定时，相对于所有商品价格X价格的变动并不涉及“实际”收入的任何明显变动。如果，为了明确说明我们的观点，我们设想I为（货币收入）固定的，那么，若要使P不变，则Px的降低一定会伴随其他价格的上升，这就意味着将花光因X价格的降低而释放出来的任何存款。我们可以用表2．1提供的简单数字作进一步的说明。我们增加了一些新计算结果，重新绘制了表2．2。按一般定义，第（1）行和第（2）行是在相同的需求曲线上，按照方程（7）的另一种定义，它们又不在相同的需求曲线上，因为，如最后的两列所示，第（1）行和第（2）行有两方面的不同：一是第（2）行的X价格比第（1）行低；二是用I/P度量的实际收入第（2）行比第（1）行高。实际收入I/P的变动从第（1）行到第（2）行与从第（1）行到第（3）行相同，价格变动（Px/Po）从第（1）到第（2）行与从第（3）行到第（4）行相同，第（3）和第（4）行按一般定义是在不同的需求曲线上，而按照另一种定义则是在同一条需求曲线上。
表2。2
qx Px Po I Px/Po I/Po P Px/P I/P
（1） 10 1。0 1 100 1。0 100 1 1 100
（2） 11 0。9 1 100 0。9 100 0。99 0。909 101
（3） 10。1 1。0 1 101 1。0 101 1 1 101
（4） 11 0。909 1。01 101 0。9 100 1 0．909 101
注：P＝0。1Px＋0。9Po，因为就第（1）行而言，qx是qo的1/9。
概括地讲，一般认为需要有两个函数。一个函数应定义为可以用于概括那些通过相对价格来影响商品需求的力量，在这个函数里，实际收入应保持不变。另一个函数应定义为可以用来概括那些通过实际收入影响商品需求的力量，在这个函数中，相对价格显然也应保持不变。后一种形态的函数就是恩格尔曲线，这种曲线联系着需求数量和实际收入。普遍需求函数本意在于表述前一种类型的函数，但是并非如此。因为，这种函数中的实际收入变化并没有被严格地排除掉。如果在一种需求函数中的实际收入（货币收入被收入购买力相除）保持不变，将能产生所希望得到的函数。
统计上的需求曲线
统计上估算需求曲线的目的是为获得指定的条件下相对于一种特定商品的马歇尔需求曲线。在获得统计上的需求曲线时必然遇到两类问题：第一类涉及资料数据本身，第二类是从数据资料转换为需求曲线的问题。
资料通常有两类：时间序列资料，即在不同时点上的价格和商品数量；跨部门资料，即在同一时点上不同单位或不同种类的价格和商品数量。
观察这些资料会发现下列一些问题：（1）差不多任何商品和劳务都存在着大量的价格。是用零售价还是用批发价呢？是用纽约价还是用芝加哥价呢？是用一月份的价格还是用十二月份的价格？是用农村价还是用城市价？不同质量商品的价格如何处理？如何使用平均价，这个平均价如何构成？（2）使用哪种数量？是用生产数量还是用可供国内消费的数量？即我们应如何处理进出口？库存如何处理？通常，供最终消费的销售数量被认为是适宜的数量。（3）价格和数量等各种数字所使用的时间单位是相同的吗？地理单位呢？
假设对所有这样或那样有关数据资料的问题都做出使用上的判断，下一个问题就是用这些数字推导出一条需求曲线。就形成而言，答案是相对明确的，即希望把这些数字安排得仅与一条单一的需求曲线有关。必须根据所有因观察的不同导出的不同因素对得到的数据加以校正，以使它们尽可能地接近于已给定的一组条件。但是，在这里有一个两难的困境。事实上，如果条件可以规定为同一的，那么，就只能观察到唯一的一种价格和唯一的一个数量。因此，真正希望的是影响需求的条件不变时，影响供给的力量有最大的变动。另一种情况是，如果影响需求的力量变化，而影响供给的力量保持不变，则这些数据可用以生成供给曲线。但是，通常影响需求和供给的力量都变化。如果这样的话，转换数字为需求曲线的唯一希望就在于假定影响需求和影响供给的力量是不同的。如果影响需求和供给的力量是相同的，那么，对变动的校正最终将只产生一个点，而不是一条曲线。
怎样校正影响需求力量的变动，可举例说明，通过计算人均的数量可以把人口上的变动考虑进来，通过一般价格指数除商品价格则可以把一般价格水平变动考虑进去。对于某些变量，如实际收入（用价格指数除货币收入）则需要更加复杂的技巧。
以图2．9为例，在根据人口和其他变动对数据进行调整以后，就得到一个散点图（a）。现在希望的是看一看是否可通过调整数据资料中的实际收入得到一个需求曲线，假设在图（a）中联结着与收入的每一点用＋表示，联结着中等收入的每一点用O表示，联结着低收入的每一点用－表示。那么，如果图（a）产生一个类似散点图（b）的点分布形式，就可以推知，试图保持实际收入不变可能产生一个点。在这个情形下，看来实际收入既影响到了需求也影响到了供给。但是，如果图（a）产生一个类似散点图（C）的点分布形式，那么，实际收入的变动就主要是影响了需求曲线，需求曲线可能根据对应于每一个收入水平散点群估计出来，这一切看起来都并不是不合情理的。用另一种方法来表述在图（C）上得到的结果就是，配合三群散点的曲线斜率表示着相对价格的效应，这三群点的位置则显示着收入的效应。在不同的收入水平上的相对价格的效应可能是大略相同的。在这里，需求弹性的情况可以从观察各种收入水平中得到。事实上，通过校正收入差异，在图（C）上的不同点群可能合为一个单一的点群。如果相对价格的效应在不同收入水平上是不相同的（即如果没有简单尺度使图（C）中的各群表示为近似的图形），情况就较复杂。事实上，这时价格弹性必须作为实际收入的函数来计算。实际上需要的技巧是来自于“复相关”，但在这里是不必考虑的。
在某些情况下，相同的数据资料既可用来导出需求曲线，也可用来导出供给曲线。当一些反应滞后时，这是有可能的。如在所谓的“蛛网”情形，在这里，假设当年的供给数量取决于上年的价格，上一年的价格将影响短期供给数量，但不影响需求，因此，需求曲线可以根据当年的价格和数量导出。导出供给曲线需要当年的价格和下年的数量，因为供给数量假定为上年价格的函数。
现在考虑使用同期资料的可能性。有一类同期资料包括一组特定家庭的收入和支出的预算数据资料。不幸的是，与所观察的这些家庭相应的供给条件没有变化，因此，也就没有价格上的差异可用来估算需求曲线。要想得到一个价格…数量曲线是不可能的。但是，如果给定一种在收入和购买数量或用于特定消费品的支出数量之间的关系，求得恩格尔曲线是可以的。
人们高度重视的这类统计结构之一是，在给定的时期（通常是一年）里消费总支出与同期总收入的关系。我们可以运用这种关系来说明解释这些数据资料的问题。
我们企求得到一项特定的变动在其环境中对家庭的影响的、可利用的是关于不同环境中的不同家庭的各种有差别的资料。这产生一个校正某些差异而不是直接参数（即货币收入上的不同）的问题。但是，对于我们的目的而言，更为重要的是如图2．10中的DE这样一条曲线的含义问题。在这个图中，一个特定年份的货币收入是沿水平轴线测定的，而货币支出是沿垂直轴线测定的。OC线把该象限一分为二，因而，OC线表示货币收入等于货币支出的各点。DE线代表在不同的收入阶层上家庭支出的平均值，这个平均值是根据特定的家庭预算研究资料计算的。DE线的位置大体上同这类研究实际得到的结果一致——它表示出低收入阶层的负储蓄和高收入阶层的储蓄；它还表示当收入增加时收入转为储蓄的百分比。对这些研究结果的天真的解释是：（1）富的越富、穷的越穷；（2）一个国家的人均收入越高，收入转为储蓄的百分比就倾向于越高。但另一些资料与这一结论相抵触：在这个国家中至少在过去五十年间收入的不平均并未随时间的推移而倾向于越来越大，而且收入转为储蓄的百分比大体保持不变。
对此的解释是，据以对家庭进行分类的货币收入并不代表或并未测定出它们的持久收入状况；这些资料仅仅是在一个特定年份中的收入量，因而，仅仅反映了各种随机和短期的影响。这就如图2．10所示，将一种偏差引入图中。请看最低收入阶层的例子。就这组人的收入范围可能受到了随机的影响而言，他们的收入明显低于平日——换句话说，没有一个人会在最低收入阶层，因为他的收入偶尔会比平时高一些。从平均上看，这一阶层人的“正常”收入比在特定的调查年份里的收入要高一些，在某种程度上，他们调整支出以适应正常的收入，因此，他们支出看上去要高于调查年份的平均收入。相反，在最高收入阶层里，那些拥有最高收入的人在特定年份的平均收入将超出他们的平均正常收入，因此，他们的支出相对于调查年份平均收入来看是低的。这种情况在中等收入阶层中显然也是在较轻的程度上存在着。收入低于中等水平的阶层在调查年份的平均收入低于其正常收入，反之，收入高于中等的阶层在调查年份的收入高于其正常收入。结果，即使支出占“正常”收入的百分比保持不变，对于按收入划分的家庭而言，一项调查也可能得到一种如图2．10中DE线那样的关于平均消费支出高于平均收入的关系。
但是，如果把家庭按消费支出划分，并画出这些类别的平均收入的点，相同的资料还完全可以产生另外非常不同的关系，如FG线。这又是一种相反的偏差。就具有最低支出的家庭平均而言，可能具有低于“正常”水平的支出，反之，就拥有最高支出家庭平均而言，将具有高于“正常”水平的支出。这个例子说明的就是众所周知的“回归偏差”。
另一类同朝资料包括不同的空间单位资料，如不同的州城市或国家。用这些空间资料构成需求曲线的问题与已经研究过的用时间序列资料构成曲线的问题是基本相同的。要构成一条需求曲线，最基本的是供给条件变动尽量大，而需求条件变动尽量小。但是，对于任何拥有国内市场的产品，除不同州和美国其他地区的运费不同外，供给条件大体相同。由此可知，那些只拥有地区市场的产品，意味着其供给条件是不同的，故其需求曲线的构成将是不困难的。然而，必须校正需求条件上的不同，这些在一定程度上都可以通过考虑诸如市场范围，城市化的程度，人均收入等因素来做到。
使用空间资料的可行性是非常有限的。同时，当使用这些资料时，会得到许多好处，如在时间上变动大的要素可以自动消除，为检验或完善任何研究结果所需的资料也很容易得到，等等。
人们已经做出巨大的努力从时间序列和空间资料上估算需求曲线，从家庭预算资料上估算恩格尔曲线。据我所知，到目前为止，没有人对这种努力的成败做过任何概括的评价。在一些或许许多多场合，这些努力显然是成功的，也就是说，来自某一资料的结果和另一资料的估算结果一致，并且，根据计算出的需求曲线所做的预测比其他方式的预测要准确。但在许多或许大多数场合，它们却是失败的。如果按成功的程度划分统计的结果，并尝试找出最可能成功的环境，这将是极有价值的。
当然，需求表概念的有用性并不取决于能否成功估算数量性需求曲线。其主要价值在于，用作组织知识和思考问题的工具，以及用作对各种影响的方向从性质上给予回答的向导。同时，通过将需求曲线的数量估算值用于各种变动的效应的数量估算，可以扩大需求曲线概念的应用范围。
需求的效用分析
这一节的目的在于深入到市场需求曲线的背后。首先，市场需求曲线可以通过两种不同的方式进行分解。（1）在任何既定的价格水平上，我们能够把总需求量再划分为单个消费者的需求量。在不同的价格水平上，通过这样的作法，我们能够将市场需求曲线表示为单个消费者需求曲线在水平方向上的加总。（2）另一种