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中的元素，这个约群就称为原来那个群的不变约群。
一个群可以看作是它自己的约群，但不是真约群，一个真约群必须比原
来的群小。但如果H是G的不变约群，假如G中没有包含H而较H大的不变
真约群存在时，H就称为G的一个极大不变真约群。
假设G是一个群，H是G的一个极大不变真约群，K是H的一个极大不变
真的约群，……若将G的元素用H的元素个数去除，H的元素用K的元素个
数去除，……所得诸数，称为群G的“组合因数”。若这些组合因数都是质
数，则G是一个“可解数”。
在有些群中，群中的一切元素都是某一个元素 （主元素例外）的乘幂。
如在群
1，（1 2），（31 3） 2
2
中，（1 2 3）＝（1 2）（13 2） 3
＝（1 3） 2
3
（1 2）=（31 2） （31 2）（13 2）=13
此群中的元素都是（1 2）的乘幂。这种群，称为3 “巡回群”。
在一个置换群中，若每个文字都有一个而且只有一个置换将这文字换成
其他某个文字，则这个群称为“正置换群”。例如群
1，（1 2），（31），
在 1中 x，变成x，在（1 2）中x3变成x，在（1 ）中32x
1 1 1 2 1
变成x……所以这是一个“巡回正置换群”。
3
4．一个方程式的群
对于一个一定的数域，每个方程式都有一个群。譬如三次方程式
3 2
ax＋bx＋cx＋d＝0，
假定它的三个根x，x，x是相异的。任意取一个这三个根的函数，如
1 2 3
xx＋x
12 3
在这个函数中，若把这些x互相替换，那么，会有六种置换。（1 2）一
类的置换为 xx＋x；（ 1 ）为3 xx＋x；（ 12）为3xx＋x。此
21 3 32 1 23 1
外，还有不动置换。也就是说共有：
1，（1 ），2（1 ），3（2 ），3（1 2）（13 3）六个置换，2
即对于这三个x，一共有3！（表示3×2×1）种可能的置换。一般说，n！
表示n（n－1（n－2）……1，所以n个x有n！种置换。于是，伽罗瓦得出
… Page 17…
结论，在函数v=mx＋mx=mx＋……mnxn中，当x作各种可能的置换时，
1 11 22 33
这函数就有n！个不同的值，用v，v，v，……vn！表示这些不同的值，
1 2 3
可作出式子P（y）=（Y…v）（Y…v）……（Y－vn！），其中Y是一个变数。
1 2
将P（y）的各因子乘出来，就得到一个Y的多项式。假设P（y）在某一
数域中分解因数，包含v而在此数域中为不可约的部分是（Y－v）（Y－ v）
1 1 2
或 Y－（v＋v）Y＋vv在这部分中所含的v仅有vv。则将v，v互相
2 1 2 12 12 1 2
交换的x的置换成一群，这个群叫“方程式在这数域中的群”。
一般地说，一个方程式在一定数域中的群是由P（Y）中包含v的不可约
1
部分而决定的。将这个不可约部分记作G（y），则G（y）＝0，这称为“伽
罗瓦分解式”。
在一个数域中将一个式子分解因数，到了不能再分解时，若将数域扩大，
可以继续分解下去。但扩大数域的结果是使方程的群变小。
明白什么是方程式在一个数域中的群，就可以去求它。例如二次方程式
X＋3X＋1= 0
2
有两个根x，x，可能的置换只有1和 （1 ）两种。所以2 它的群或者
1 2
含有这两个置换或者只有1这一个。而这要看是在什么数域中了。
以函数x－x为例，二次方程式
1 2
2
x＋bx＋c＝ 0
的两根之差是
x … x ＝ b2 … 4c
1 2
在此例中，规定b＝3，c＝1，则
x －x ＝ 5
1 2
如果所讨论的数域是有理数域，那么，这个函数的值不在数域中，所以
群中必有一个置换能变更此函数的值，这就是（ 1 ）置换。则此方程式在2
有理数域中的群是由
1，（ 1 ）2
两个置换作成的。但如果讨论的数域是实数域，那么，在此数域中，所
以群中一切置换都不改变函数x…x的值，所以（1 ）不能在群中。此方2
1 2
程式在实数域中的群是由1一个置换作成的。
5．伽罗瓦的鉴定
伽罗瓦证明了：一个方程式在一个含有它的系数的数域中的群若是“可
解群”，则此方程式是可能用根式解的，而且仅在这样的条件下方程式才能
用根式解。
以一般二次方程
2
ax＋ bx＋c＝0
为例，它的两个根是x，x。它在一个含有它的系数的数域中的群之元
1 2
素是1和 （1 ）。这个群的唯一的极大不变真约群是2 1，则此群的组合因
数是： ／21＝ 2，这是一个质数，因此，根据枷罗瓦的鉴定，凡二次方程
式都是可用根式解的。
再取一般三次方程
3 2
ax＋bx＋cx＋d＝0
… Page 18…
来看，因为它有三个根x，x，x，所以在一个含有它的系数的数域中，
1 2 3
它的群含有1，（1 ），2（1 ），3（2 ），3（1 2），（31 3） 2
六个置换。此群的唯一极大不变真约群含有 1，（1 2 3），（1 3）三2
个置换。据此可知，组合因数是6／3＝2与 3／1＝3，两个都是质数。所以
凡三次方程式都是可用根式解的。
再看一般的四次方程式
4 3 2
ax＋bx＋cx＋dx＋e＝0
它在一个含有其系数的数域中的群元素个数是4！＝24。这个群的组合
因数是：
2，3，2，2。
这些都是质数，所以凡四次方程式也都可以用根式解。
对于一般的五次方程式，含有5！个置换，其组合的因数是2与5！／2
而5！／2不是质数，所以，一般的五次方程式不能用根式解。
如此，应用伽罗瓦群的理论，可以得到一个简单而有力的方法来决定一
个方程式能否用根式解。
6．用直尺与圆规的作图
伽罗瓦在发明了判别方程式能否用根式解的鉴定之后，又创造了如何求
一个能用根式解的方程式的根的方法，即利用一组“辅助方程式”，而这些
辅助方程式的次数则是原方程式的群的组合因数。
其具体方法是：先把第一个辅助方程式的根加入数域F中，然后假设数
域经第一个辅助方程式的根之加入而扩大了，并使分解因数的工作因之可以
再继续下去，令方程式在这扩大了的数域F中的群是H。再将第二个辅助方
1
程式的根加人F中，使方程式的群变为K，直到方程式在那个最后扩大成的
1
数域F中的群是1。而函数x不能被1中的置换变更它的值，所以 x必在
m 1 1
数域F中。同样，其余的根也都在F中。这样就可以得知什么样的数应加入
m m
原来的数域中，把方程式的群变为 1，从而决定方程式的根存在于怎样的数
3
域中。以方程式x…3x＋1=0
为例。此方程式在有理数域中的群由1，（ 1 2），（3 1 ）三3 2
个置换作成。这个群的极大不变真约群是1，组合因数是3，所以只有一个辅
助方程式，其次数是 3，这个辅助方程式的根含有一个立方根。所以这个立
方根必须加入数域中，才能使方程式的群变为 1，而原来的方程式的根可从
有理数域中的数及这个立方根单用有理运算得出。
只用直尺与圆规，能作直线和圆，这用代数表示是一次和二次方程式。
所以，求它们的交点，只需解一个二次方程式就可以把交点的座标用有理运
算和平方根表作系数的函数。因此，凡是能用直尺与圆规作出的数量都可以
有限次的以加、减、乘、除和平方根表示。譬如有两线段a，b和单位长度，
可用直尺与圆规作出它们的和a＋b，差 a－b，积 ab，商 a／b以及这
些量的平方根如ab，b等。
在讨论一个作图只用直尺、图规是否可能时，必须作出一个表示此种作
图的代数学方程式。若此方程式在数域中能分解成单是一次和二次的代数
式，则一切实数根都能用直尺与圆规作出。即使方程式不能分解成上述情况，
只要它的实数根能用有限次的有理运算与平方根表作已知的几何量的函数，
… Page 19…
那么，作图只用直尺、圆规也是可能的。
取 120°角来看假定此角位于一个半径是单位长的圆的中心，作出
cos40°来，则只要取OA＝cos40°，于是a就是一个40°的角，三等分120
°的作图就完成了。利用三角恒等式：
3
2cos3a＝8cosa…6cosa，
令x=2cosa，则上式化成
3
2cosa=x3…3x
3
因为3a＝120°， cos3a＝－1／2；上式可写作x…3x＋1＝0在半径
是单位长的圆中，可作OB＝1／2，于是∠AOC＝120°。
要解上面的方程式，必须把一个立方根加入于有理数域中。但一个立方
根是不能用直尺与圆规作出的，因此可知：用直尺与圆规三等分任意角是不
可能的。
用相似的方法，还可证明用直尺、圆规解决立方倍积问题也是不可能的。
7．伽罗瓦的鉴定是正确的
在解方程式时，可利用方程式的根与系数之间的关系。例如在二次方程
式
2
x＋bx＋c=0
的两个根x1，x2中，可得
x＋x＝－b ①
1 2
与xx＝c ②
12
的关系。那么，能不能从这两个方程式中解x与x呢？不可以。因为如
1 2
果从①中得出x的值而后代入②中，结果是
1
2
x＋bx2＋c＝0，
2
这与原二次方程式丝毫没有分别。所以，这个方法行不通。但是，如果
能得到一对都是一次的方程式，则x和x就可求了。
1 2
首先设方程式
f（x）＝0
有n个相异的根，而且在由方程式的系数及1之n个n次根决定的数域
中，此方程式的群是一个元素个数为质数的巡回正置换群。其中，1之n个n
次根的含义是：
由1有三个立方根：
1 1 1 1
1，
… Page 20…
根式解。
k 2k
举一将 n个方程式写作一个的一组一次方程为例：x＋ρx2＋ρ x3
1
＋……＋ρ（n…1）kx=r，③此处k的值可为0与n－1之间的任何整数，如
n k
当k＝0时，③就为
x＋x＋x＋……＋x=r0
1 2 3 n
当k＝1时，③为
x 2 n…1
x＋ρ2＋ρx3＋……＋ρ xn=r，
1 1
以下，依次类推。
因为一个方程式的最高次项系数若是1，则诸根之和等于方程式中第二
项的系数的负值，所以r之值可以直接从方程式的系数中求得。如果把置换
o
（1 2……n3）用于③式的左端，③式左端为
k 2k （n…1）k
x＋ρx3＋ρ x4＋……＋ρ x
2 1
所以说置换 （1 2 3……n）
…k n
将r之值变为ρ rk。又因P＝1，故
k
n …k n
（r）＝（ρr），
k k
n
所以置换 （1 2……n3）不变更r的值。同理，群中其它置换也不改
k
n
变r的值。这就是说，所有r的值都可由根式得到。由③，可将x用ρ与r
k
表示，则方程式③可用根式解。这样，就证明了：如果方程式在一个数域中
的群是元素个数为质数巡回正置换群，则此方程式一定能用根式解。
举例来说，方程式
3
x…3x＋1＝0
在有理数域中的群是 1，（1 2 3），（1 3 2）。它是一个元素个数为
质数的巡回正置换群，所以可从x＋x＋x＝0，
1 2 3
2
x＋ωx＋ωx=r，
1 2 3 1
2
x＋ωx＋ωx＝r，
1 2 3 2
这三个一次方程式中解它。此处ω表示1的一个虚立方根，r与r可以
1 2
由数域中的数的根数得出。换句话说，如果把这种根数加入到数域中，则x
都存在于扩大的数域中。
在一般情况下，常可以
2 2 2 2
y=（x－x） （x－x）……（x …x）作第一个辅助方程式，其右
1 2 1 3 n…1n
端是所有每两个根之差的平方之积。假如方程式的第一项系数是1的话，那
么，上式右端则是方程式的“判别式”。例如二次方程式
2
x＋bx＋c＝0
的两个根x，x的差的平方是
1 2
2 2 2
（x…x）＝（x＋x）－4xx＝b－4c，这恰是方程式的判别式。同样，
1 2 1 2 12
高次方程式的判别式也可从系数求得。
再设所要解的方程式是一般的三次方程式，将第一个辅助方程式的根加
入原数域后，方程的群为H，即一个元数为质数的巡回正置换群。这样，可
利用
x＋x＋x=…b，
1 2 3
… Page 21…
2 2
x＋ωx＋ωx=r，x＋ωx＋ωx＝r，
1 2 3 1 1 2 3 2
这三个一次方程式来解原三次方程式。其中r，r可由数域中数的根数
1 2