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％
#&。这组道岔经过长期使用，使用次数足够多时，连杆折损发生的频率稳定在
％
#左右。因此，这个稳定值
％
#即作为连杆发生折损的概率。
（〃）概率和与概率积
各事件按照事件与事件之间的关系又可分为相互独立事件、相互排斥事件和相容事
件。
！相互独立事件，即一个事件发生与否不受其他事件发生与否的影响。假定有事件
、’、（、。、），事件发生，不受
’、（、。、）事件发生与否的影响，该发生照常发
生。
〃相互排斥事件，即不能同时发生的事件。一个事件发生，其他事件必然不发生。它
们之间互相排斥、互不相容。假定有事件
、’、（、。、），发生时，’、（、。、）必然不
发生；’发生时，、（、。、）必然不发生。
#相容事件，即一个事件发生与否受其他事件的约束，在其他事件发生的条件下才发
生的事件。设
、’两事件，’事件只有在
事件发生的情况下才发生，反之亦然，则
、
’事件称为相容事件。
在事故树分析中，遇到的基本事件大多是独立事件。下面再简单介绍一下独立事件
的两种运算：和事件、积事件。
和事件是指事件
（
！
’
’，即当且仅当
、’中至少有一个发生时，事件
（才发
生；积事件是指事件
（
！
·’，即当且仅当
、’同时发生时，事件
（才发生。
例如，做一试验抛甲、乙两枚硬币，观察正反面出现情况。设事件
为“甲币出现正
面”，事件
’为“乙币出现正面”。显然甲币出现正面与否与乙币出现正面与否是互不影
响的独立事件。如果事件
（表示“抛出两枚硬币至少出现一个正面”，事件
*表示“抛出
两枚硬币出现两个正面”，则事件
（“抛出两枚硬币至少出现一个正面”要发生，只要事件
“甲币出现正面”发生或事件
’“乙币出现正面”发生则事件
（就发生，即
（事件是事件
和事件
’的“和事件”，（
！
’
’；事件
*“抛出两枚硬币出现两个正面”要发生，必须
事件
与事件
’同时发生，即事件
*是事件
与事件
’的“积事件”，*
！
·’。
#个独立事件的和事件的概率称为
#个独立事件的概率和，其计算公式是：
—
##〃！
—
铁路运输质量安全管理与事故处理实用手册
###################################################
##
！（
〃
！
#
！
！
。
！
％）〃#［#
！（
〃）］［#
！（
#）］。［#
！（
％）］
&个独立事件的积事件的概率称为
&个独立事件的概率积，其计算公式是：
！（
〃·#··。·％）〃
！（
〃）·！（
#）·！（
）·。·！（
％）
式中
！（
〃）、！（
#）。———独立事件的概率。
如上例中，设已知抛出一枚硬币出现正面的概率为
％&’，即
！（
〃）〃
％&’，！（
#）〃
％&’。
则出现一个正面的概率
！（
）（
〃
（
〃）［#
！］
〃
！！
#）
〃#［#
！］（
#）
〃#（#
％&’）
（#％&’）
〃
#
％&（’
〃
％&）’
出现两个正面的概率
！（
’）
〃
！（
〃·#）〃
！（
〃）·！（
#）
〃
％&’·％&’
〃
％&（’
*&顶上事件概率的计算
当给定了事故树各基本事件的发生概率，各基本事件又是独立事件时，顶上事件就是
各基本事件的和事件或积事件，就可以计算顶上事件的发生概率。目前，计算顶上事件发
生概率的方法有若干种，下面介绍较简单的几种。
（#）求某系统事故树的基本事件概率积之和
对顶上事件状态！（
（）〃#的所有基本事件状态组合，求各基本事件状态（
（）
〃#或
％）的概率积之和，用公式表达为：
&
！（
*）〃
！！（
（）〃
＋）
（（）
#
＋）
）#
（）
式中＋（
；）———顶上事件发生概率；
）
〃#
！（
（）———顶上事件状态值，！（
（）〃％或！（
（）〃#；
（）
———第
）个基本事件的状态值，（）
〃％或
（）
〃#；
＋）
———第
）个基本事件的发生概率。
例：以图
（
#
*％的简单事故树为例，利用上式求顶上事件
*的发生概率。
图
（
#
*％
事故树示意图
设
（#
、（（
、（*
均为独立事件，其概率均为
％&#，顶上事件！（
（）〃#有三种状态组合
表，分别为：
附录二铁路运输安全系统分析、评价与管理—
##〃！
—
！！！！！！！！！！！！！！！！！！！！！！！！！！！！！！！！！！！！！！！！！！！！！！！！！！！
！！
！
！！〃！
！#〃
！％〃！
〃
！！〃！
！#〃！
！％〃
#
！！〃！
！#〃！
！％〃！
根据上述公式可得第一种状态概率积为：
！
〃#！
（！
#！
）
〃##
（！
##
）
#
#％％）
！！！！！
！#！！〃
！（！
％％
！！％
#！
）
（！
##
#！
）
（！
#！#
）（！
#％
&
！
〃
！〃
#〃
％
&#！
〃（！
##
）〃#％
&
&！
〃
&’
〃
&！
&
&
’
同理可得第二种状态概率积为：
！！！！！！！！！！
#％
！
〃#！
（！
#！
）
！
〃##
（！
##
）
#
〃#％
（！
％％
）
％
#！
#！
#！
&
！
〃
（！
#！
）
〃
（！
##
）
〃
（！
#％
）
！#％
&#！
〃##
〃（！
#％
）
&
&！
〃
&！
〃
&’
&
&
’
第三种状态概率积为：
！！！！！！！！！！
！##％％
！
〃#！
（
#！
）
〃##
（！
##
）
〃#％
（！
％％
）
#！
）
（！
##
#！
）
（！
#！#！
）（！
#％
&
！
〃
！〃
#〃
％
&#！
〃##
〃#％
&
&！
〃
&！
〃
&！
&
&
！
顶上事件概率为三种状态概率之和，即
％（
’）〃&’（
&’
（&！〃
&！’
这种计算方法由于有规律，可用计算机编制程序计算。但当一个事故树基本事件很
多时，即使是计算机也难以胜任了。
（#）求各基本事件概率和
在定性分析中，给出了最小割集的求法，以及用最小割集表示的事故树等效图，利用
等效图再来推出由最小割集求顶上事件概率的公式。
仍以图
#）
！）
％简单事故树示意图为例，其最小割集为｛！！
，！#
｝、｛！！
，！％
｝用最小
割集表示的等效图如图
#
）
！
）
％！所示。这样，可以把其看作由两个事件
（！
、（#
组成的
事故树。
按照求概率和的计算公式，（！（
（#
的概率为：
％（
’）〃
％（
（！（
（#
（
（！
〕（
（#
〕
）〃！）〔！）
％）〔！）
％）
因为两个最小割集中都有
！！
，利用此式直接代入进行概率计算，必然造成重复计算
！！
的发生概率。因此，要将上式展开，消去其中重复的概率因子
#！
；，否则将得出错误的
结果。由于
％（
’）〃！）！（
％（
（！
）（
％（
（#
））
％（
（！
）％（
（#
）〃
％（
（！
）（
％（
（#
））
％（
（！
）％（
（#
）
而
％（
（！
）&#！
〃##
&
&！
〃
&！
&
&
！
％（
（#
）&#！
〃#％
&
&！
〃
&！
&
&
！
—
！！〃！
—
铁路运输质量安全管理与事故处理实用手册
！！！！！！！！！！！！！！！！！！！！！！！！！！！！！！！！！！！！！！！！！！！！！！！！！！！
！！
图
！〃
#〃
#事故树的等效图
！（
〃
#
）#！（
〃
！
）！（
〃
#
〃
！
）！（
％
#
％！
·
％
#
％
）
！（
％#
％
！
％
）！#
#！！
#！
％&#
#
％&#
#
％&#
％
&
％％#
故
！（
&）’
％&％#（
％&％#〃
％&％％#’％&％#）
以上两种方法计算结果是一致的。
（）顶上事件发生概率的近似计算
在事故树分析时，往往追到很复杂很庞大的事故树，有时一棵事故树牵扯到成百上千
个基本事件，要精确求出顶上事件的发生概率，需要相当大的人力和物力。因此，需要找
出一种简便方法，它即能保证必要的精确度，又能较为省力地算出结果。
实际上，即使精确算出的结果也未必十分精确，这是因为：
！凭经验给出的各基本事件的发生概率本身就是一种估计值，肯定存在误差。
〃系统内设备的运行条件、运行环境各不相同，必然影响着顶上事件的发生概率。
#系统内人的失误率受多种因素影响，如心理、生理、个人的智能、训练情况、环境因
素等，这是一个极其灵活、伸缩性很大的数据。
所以，我们赞成用近似计算的办法求顶上事件的发生概率。实际上，至今所有报道事
故树分析实用的文献，都是采用近似计算的方法。尤其是在许多技术参数难以确认取值
的情况下，这是一种值得提倡的方法。
另外，在求近似值的过程中，略去的数值与有效数字的最后一位相比，相差很大，有时
相差几个数量级，完全可以忽略不计。
近似计算法是利用最小割集计算顶上事件发生概率的公式得到的。一般情况下，可
以假定所有基本事件都是独立的。
设有某事故树的最小割集等效事故树如图
！
〃
#
〃
！所示，顶上事件与割集的逻辑关
系为：
&
’
’
#（
’
！（
。
（
’（
顶上事件
&发生的概率为
！（
&），割集
’
#
、’
！
、。、’（
的发生概率分别
！（
’
#
）、！
（
’
！
）、。、！（
’（
），由独立事件和的概率与积的概率公式可得：
！（
&）！（
’
#
）’
！
）
。
）
’（
）
#
*
附录二铁路运输安全系统分析、评价与管理—
##〃！
—
###################################################
##
图
！〃
#〃
！事故树示意图
〔#
！〃）〔#
！
（
#！
〕〔#
！
（
#
）〕
（
##
〕〃）。〃
％〔
〃（
##
）&〃（
#！
）&
。
&〃（
#
）〕！〔
〃（
##
）〃（
#！
）&〃（
##
）〃（
#
）&
。
&〃（
#
！
#
）〃（
#
）〕&（
〃（
##
）〃（
#！
）〃（
#
）&
。
&〃（
#
！
！
）〃（
#
！#
）〃（
#
））！
。
&（
！
#）！
#
〃（
##
）〃（
#！
）。
〃（
#
）
只取第一个小括号中的项，将其余的二次项、三次项等全都舍弃，则得顶上事件发生
概率近似公式：
〃（
’）！
〃（
##
）％
〃（
#！
）％
。
％
〃（
#
）
这样，顶上事件发生概率近似等于各最小割集发生概率之和。
我们仍以图
！
〃
#
〃
&简单事故树为例，其最小割集如图
！
〃
#
〃
#所示，基本事件
（#
，（！
，（
的发生概率分别为
）#’
）！’
）
’
&（#，用近似公式计算顶上事件发生概率：
〃（
’）’
〃（
##
）％
〃（
#！
）’
）#
）！％
）#
）
’
&（#）
&（#％
&（#
）&（#’
&（&！
直接用原事故树的结构函数求顶上事件发生的概率：
因（
（！％
（
）则
’
’
（#
〃（
’）
）#〃
！
（#
！
）
*％
［#
！（#
！
）〃
］
％
&（#
＋［#
！（#
！
&（#）］％
&
（
&#*
（#
！
&（#）
〃（
’）与
〃（
’）*相比，相差
&
（
&&#，这个值相对来说是很小的。因此，在计算顶上事件
发生的概率时，按照简化后的等效图近似计算是正确的。
＋（概率重要度分析
结构重要度分析是从事故树的结构上，分析各基本事件的重要程度。如果进一步考
虑基本事件发生概率的变化会给顶上事件发生概率以多大影响，就要分析基本事件的概
率重要度。利用顶上事件发生概率函数
〃是一个多重线性函数这一性质，只要对自变量
〃（
；）求一次偏导数，就可得出该基本事件的概率重要度系数：
’
〃〃（
’）
…〃（
；）
〃〃（
；）
当利用上式求出各基本事件的概率重要度系数后，找出影响顶上事件发生概率较大
的基本事件，减少这些基本事件的发生概率，从而有效地降低顶上事件的发生概率。
例：设事故树最小割集为｛（#
，（
｝、｛（#
，（；
｝、｛（
，（＋
｝、｛（！
，（＋
，（；
｝。各基本事件
—
〃〃！！
—
铁路运输质量安全管理与事故处理实用手册
〃〃〃〃〃〃〃〃〃〃〃〃〃〃〃〃〃〃〃〃〃〃〃〃〃〃〃〃〃〃〃〃〃〃〃〃〃〃〃〃〃〃〃〃〃〃〃〃〃〃〃
〃〃
发生概率为：！！
〃
##！，！％
〃
##％，！&
〃
##&，！’
〃
##’，！（
〃
##（，求各基本事件概率重
要度系数。
顶上事件发生概率
〃（
#）用近似方法计算时
〃（
#）
〃（
％！
）&〃（
％％
）&〃（
％&
）&〃（
％’
）
〃
！
〃
&
&〃
！
〃
（
&〃
&
〃
’
&〃
％
〃
’
〃
（
#
#！
’
#
#&
&
#
#！
’
#
#（
&
#
#&
’
#
#’
&
#
#％
’
#
#’
’
#
#（
#
##％
各个基本事件的概率重要度系数为
（
#）
（〃（！）
！！！&
&！（
#
#）
！〃（！）
（
#）
（〃（％）
！！
（％）
！’
！（
#
##％
！〃
（
#）
（〃（&）
！！！！
&！’
#
#（
！〃（&）
（
#）
（〃（’）
！！！&
&！％
！（
#
#&！
！〃（’）
（〃（（）
！！（
〃（
#（
）
）
！！
&！％
！’
#
#！#）
！
这样，就可以按概率重要度系数的大小排出各基本事件的概率重要度顺序：
（！（！）*
（！（&）*
（！（’）*
（！（（）*
（！（％）
这就是说，减小基本事件
）！
的发生概率能使顶上事件的发生概率迅速降下来，它比
按同样数值减小其他任何基本事件的发生概率都有效。其次是基本事件
）&
、）、）（
，最
’
不敏感的是基本事件
）％
。
从概率重要度系数的算法可以看出这样的事实：一个基本事件的概率重要度如何，并
不取决于它本身的概率值大小，而是与它所在最小割集中其他基本事件的概率积的大小
及它在各个最小割集中重复出现的次数有关。
（临界重要度分析
一般情况下，减少概率大的基本事件的概率要比减少概率小的容易，而概率重要度系
数并未反映这一事实，因而，它不是从本质上反映各基本事件在事故树中重要程度。而临
界重要度系数
*＋
则从敏感度和概率双重角度衡量各基本事件的重要度标准，其定义为：
〃！＋；〃（
#）
*＋
！＋；〃（
；）
它与概率重要度系数的关系是：
*＋
〃
〃（
；）
（〃（
；）〃（
#）
上面例子已得到的某事故树顶上事件的概率为
#
##％，各基本事件的概率重要度系
数分别为：（！（！）
〃
##）、（！（％）
〃
##％、（！（&）
〃
##（、（！（’）
〃
##&！、（！（（）
〃
#
#！#），则各基本
事件的临界重要度系数为：
〃（！）
#
#！
*
！〃
〃（
#）（〃（！）
〃
###％
…##）
〃
#’
附录二铁路运输安全系统分析、评价与管理—
##〃！
—
！！！！！！！！！！！！！！！！！！！！！！！！！！！！！！！！！！！！！！！！！！！！！！！！！！！
！！
〃（！）
#
#！！！〃
〃（
#）〃（！）
〃
###！
％
###！
〃
##！
〃（&）
#
#&！&〃
〃（
#）〃（&）
〃
###！
％
##’〃
#（’
〃（））
#
#）！）〃
〃（
#）〃（））
〃
###！
％
##&*
〃
#＋！
〃（’）
#
#’
！’〃
〃（
#）〃（’）
〃
###！
％
##*#；〃#！（
因此就得到一个按临界重要度系数的大小排列的各基本事件�