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在玻尔的理论中，计算出来的电子轨道频率和发射出来的辐射频率间的不相符．必须解释成电子轨道的概念有其局限性。这个概念从一开始就有点值得怀疑。然而，对于较高的轨道，电子将在离核很远的地方运动，就象人们看到它们在云室中运动时的情况一样。在那里，人们应当谈到电子轨道。因此，对于这些较高的轨道，发射辐射频率接近轨道频率和它的较高的谐频，这是很令人满意的。此外，玻尔在他的早期论文中就已经提出，发射光谱线的强度接近干对应的谐波的强度。这个对应原理对近似地计算谱线强度已经证明是很有用的。这样，人们就有一个印象：玻尔的理论对原子内部发生的事情作了定性的但不是定量的描述；物质行为的若干新特征是由量子条件定性地表示的，而这些量子条件又与波粒二象性相联系。
量子论的准确的数学表述最后是从两个不同的发展方向出现的。一个从玻尔的对应原理开始。人们不得不放弃电子轨道的概念，但在高量子数的极限情况下，即对于大轨道而言，这个概念仍须保留。在后面这种情形中，发射辐射以它的频率和强度给出电子轨道的图象；这个图象代表数学家所谓的轨道的傅里叶（Fourier）展开式。这种观念自身说明了，人们不应当把力学定律写为电子的位置和速度的方程，而应当写为电子的傅里叶展开式中的频率和振幅的方程。从这样一些方程出发并稍稍改变它们，人们就能够希望得到同发射辐射频率和强度相对应的那些量之间的关系，这些关系甚至对干小轨道和原子的基态也能成立。这个计划是能够实际实现的；1925年的夏天，它引导出一个数学形式系统，称为矩阵力学，或者，更一般地称为量子力学。牛顿力学的运动方程被矩阵之间的类似方程所代替Z有一个新奇的经验是：人们发现牛顿力学的许多旧结果，例如能量守恒等等，也能从新的数学方案推导出来。后来，玻思（Born）、约尔丹（Jordan）和狄拉克（Dirac）的研究表明，代表电子的位置和动量的矩阵是不对易的。这个事实清楚地显示了经典力学和量子力学之间的本质差别。
另一个发展方向是随着德布罗意的物质波的观念而来的。薛定谔（Schrodinser）试图建立一个关于环绕原子核的德布罗意驻波的波动方程。早在1926年，他成功地推导出氢原子各定态的能量值作为他的波动方程的“本征值”，并能给出将一套已定的经典运动方程转换成多维空间中对应的波动方程的更一般的规定。后来，他又得以证明，他建立的波动力学形式系统和较早的量子力学形式系统在数学上是等价的。
因此，人们终于有了一个前后一致的数学形式系统，它能用两种等价的方法规定下来，或者从矩阵之间的关系出发，或者从波动方程出发。这个形式系统绘出了正确的氢原子能量值；不到一年，又征明它对氦原子和较重原子的更复杂问题也是成功的。但是新的形式系统是在什么样的意义上描述原子的呢？波动图象与微粒图象间二象性的佯谬尚未解决；这些佯谬不知因什么缘故而潜伏在数学方案之中。
玻尔、克拉麦斯（Kramers）、斯莱特（Slate）在1924年向真正理解量子论迈出了第一步和很有意义的一步。这几位作者试图用几率波的概念来解决波动图象和粒子图象间的明显矛盾。电磁波不被解释为“真实”的波，而被解释为几率波，几率波在每一点的强度决定该点的原子吸收（或感生发射〕一个光量子的几率。这个观念引导出这样一个结论：能量和动量守恒律对单个粒子事件不一定成立，它们只是统计规律，只有取统计平均值时才成立。不过，这个结论是不正确的，而辐射的波动面貌和粒子面貌之间的联系却变得更为复杂了。
但是玻尔、克拉麦斯和斯莱特的论文揭示了量子论的正确解释的一个主要特征。几率波的概念是牛顿以来理论物理学中全新的东西。在数学或统计力学中，几率意味着我们对实际状况认识程度的陈述。在掷骰子时，我们不知道决定骰子下落的人手运动的细节，因此我们说掷出某一个特定数字的几年正好是六分之一。然而，玻尔、克拉麦斯、斯莱特的几率波意味着更多一些东西；它意味着对某些事情的倾向。它是亚里土多植（Aristotle）哲学中“潜能”（potentia）这个老概念的定量表述。它引入了某种介于实际的事件和事件的观念之间的东西，这是正好介于可能性和实在性之间的一种新奇的物理实在。
后来，当量子论的教学框架确定了以后，玻恩来取了这个几率波的观念，并给被看作几年波的形式系统中的数学量以清楚的定义。它不是象弹性波或无线电波那样的三维波，而是在多维位形空间中的波，因而是颇为抽象的数学量。
即令在这个时候，即在1926年夏天，在各种情况下应当怎样使用数学形式系统来描述给定的实验状况，也还是没有搞清楚。人们知道怎样描写一个原子的定态，但不知道怎样描述一个简单得多的事件——例如通过云室的一个电子。
当薛定谔在那个夏天证明了他的波动力学形式系统在教学上等价于量子力学以后，他一度试图全部放弃量子和“量子跳变”的观念，并简单地用他的三维物质波来代替原子中的电子。他当时热衷于这种尝试是由于他得到了一个成果，即在他的理论中氢原子的能级似乎正好就是驻立物质波的本征频率。因此，他以为把它们叫做能量是错误的；它们只不过是频率。但在玻尔、薛定谔和哥本哈根学派的物理学家们于1926年秋在哥本哈根举行的讨论会中，很快就弄清楚，这样一种解释甚至还不足以解释普朗克的热辐射公式。
在这些讨论以后的几个月内，在哥本哈根对有关解释量子论的全部问题所作的紧张研究，正如许多物理学家所相信的那样，终于对情况作出了全面的、令人满意的阐明。但这不是一个容易被人接受的解答。我记得有一次同玻尔讨论了几个钟头，直到深夜才几乎在绝望中结束；当讨论结束时，我独自到邻近的花园中去散步，当时我一再反复问我自己：难道自然界真能象这些原子实验给我们的印象那么荒诞无稽吗，
最后的解答是从两条不同的道路逐渐接近的。一条是改变问题的提法。代替这样一个问题：“人们怎样才能够在已知的数学方案中表示出一个给定的实验状况？”提出了另一个问题：“只有能在数学形式系统中表示出来的实验状况才能在自然中发生，也许这是正确的？”
如果假设这实际上是正确的，结果就将对自牛顿以来成为经典力学基础的那些概念的适用范围施加限制。像在牛顿力学中那样，人们能够谈论一个电子的位置和速度，并能够观察和测量这些量。但是，人们不能以任意高的准确度同时测定这两个量。实际上已经发现，这样两个不准确度的乘积不应当小于普朗克常数除以粒子的质量。从其他实验状况也能推出类似的关系。它们通常称为测不难关系，或测不准原理。人们已经知道，老概念只是不准确地吻合自然。
另一条接近的道路是玻尔的互补概念。薛定谔已经不把原子描述为一个原子核和电子的系统，而把它描述为一个原子核和一些物质波的系统。这种物质彼图象当然也包含一个真理的因素。玻尔把两种图象——粒子国象和波动图象——看作是同一个实在的两个互补的描述。这两个描述中的任何一个都只能是部分正确的，使用粒子概念以及波动概念都必须有所限制，否则就不能避免矛盾。如果考虑到能够以测不准关系表示的那些限制，矛盾就消失了。
这样，自从1927年春天以来，人们就有了一个量子论的前后一致的解释，它常常被称为“哥本哈根解释”。1927年在布鲁塞尔举行的索尔维（Solvay）会议上，这个解释接受了严峻的考验。对那些总是导致最坏的佯谬的实验全都再三地在所有细节上作了讨论，特别是爱因斯坦。人们还设想了一些新的理想实验去探索理论的任何可能的不一致性，但是这个理论被证明为前后一致的，并且对于人们所知道的一切实验，看来都是符合的。
这个哥本哈根解释的细节将是下一章的主题。应当强调指出这一点：从最初提出存在能量子的观念到真正理解鼻子理论的定律，已经过去了四分之一世纪以上。这表明了，在人们能够理解新情况之前，有关实在的基本概念必须发生巨大的变革。
《物理学和哲学》
W·海森伯著 范岱年译
第三章 量子论的哥本哈根解释
量子论的哥本哈根解释是从一个佯谬出发的。物理学中的任何实验，不管它是关于日常生活现象的，或是有关原子事件的，都是用经典物理学的术语来描述的。经典物理学的概念构成了我们描述实验装置和陈述实验结果的语言。我们不能也不应当用任何其他东西来代替这些概念。然而，这些概念的应用受到测不准关系的限制。当使用这些概念时，我们必须在心中牢记经典概念的这个有限的适用范围，但我们不能够也不应当企图去改进这些概念。
为了更好地了解这个佯谬，比较一下在经典物理学和量子论中对一个实验进行理论解释的程序是有用的。譬如，在牛顿力学中，我们要研究行星的运动，可以从测量它的位置和速度开始。只要通过观测推算出行星的一系列坐标值和动量值，就可以将观测结果翻译成数学。此后，运动方程就用来从已定时间的这些坐标和动量值推导出晚些时候系统的坐标值或任何其他性质，这样，天文学家就能够预言系统在晚些时候的性质。例如，他能够预言月蚀的准确时间。
在量子论中，程序稍有不同。例如，我们可能对云室中一个电子的运动感兴趣，并且能用某种观测决定电子的初始位置和速度。但是这个测定将不是准确的；它至少包含由于测不准关系而引起的不准确度，或许还会由于实验的困难包含更大的误差。首先正是由于这些不准确度，才容许我们将观测结果翻译成量子论的教学方案。写出的几率函数是代表进行测量时的实验状况的，其中甚至包含了测量的可能误差。
这种几率函数代表两种东西的混合物，一部分是事实，而另一部分是我们对事实的知识。就它选定初始时间的初始状说的几率为1（即完全确定）这一点说，它代表了事实：电子在被观测到的位置以被观测到的速度运动；“被观测到”意指在实验的准确度范围内被观测到。而就另一个观测者或许能够更准确地知道电子的位置这一点说，它则代表我们的知识。实验的误差并不（至少在某种程度上）代表电子的性质，而表示了我们对电子的知识的缺陷。这种知识的缺陷也是由几率函数表示的。
在经典物理学中，当在进行精细的研究时，人们同样应当考虑到观测的误差。结果，人们就得到关于坐标和速度的初始值的几率分布，因此也就得到很类似于量子力学中的几率函数的某种东西。只是量子力学中由于测不准关系而必有的测不准性，在经典物理学中是没有的。
当量子论中的几率函数已在初始时间通过观测决定了以后，人们就能够从量子论定律计算出以后任何时间的几率函数，并能由此决定一次测量给出受测量的某一特殊值的几率。例如，我们能预测以后某一时间在云室中某一给定点发现电子的几率。应当强调指出，无论如何，几率函数本身并不代表事件在时间过程中的经过。它只代表一些事件的倾向和我们对这些事件的知识。只有当满足一个主要条件时：例如作了决定系统的某种性质的新测量时，几率函数才能和实在联系起来。只有那时，几率函数才容许我们计算新测量的可能结果。而测量结果还是用经典物理学的术语叙述的。
由此可见，对一个实验进行理论解释需要有三个明显的步骤：（1）将初始实验状况转达成一个几率函数；（2）在时间过程中追踪这个几率函数；（3）关于对系统所作新测量的陈述，测量结果可以从几率函数推算出来。对于第一个步骤，满足测不难关系是一个必要的条件。第二步骤不能用经典概念的术语描述：这里没有关于初始观测和第二次测量之间系统所发生的事情的描述。只有到第三个步骤，我们才又从“可能”转变到“现实”。
让我们用了个简单的理想实验来演示这样三个步骤。前面已经说过，原子是由一个原子核和环绕原子核运动的电子所组成；前面也已论述过，电子轨道的概念是可疑的。人们或许会主张，至少原则上应当能够观察到轨道中的电子。人们可以简单地通过一个分辨本领非常高的显微镜来观看原子，这样就应该能看到在轨道中运动的电子。当然，使用普通光的显微镜是不能达到这样高的分辨本领的，因为位置测量的不准确度决不能小于光的波长。但是一个用波长小于原子大小的γ射线的显微镜将能做到这一点。这样的显微镜尚未被制造出来，但这不应当妨碍我们讨论这个理想实验。
第一个步骤，即将观测结果转达成一个几率函数，是可能做到的吗，只有在观测后满足测不准关系时，这才是可能的。电子的位置可以观测得这样准确，其准确度随γ射线的波长而定。在观测前电子可以说实际上是静止的。但是在观测作用过程中，至少有一个γ射线的光量子必须通过显微镜，并且必须首先被电子所偏转。因此，电子也被光量子所撞击，这就改变了它的动量和速度。人们能够证明，这种变化的测不准性正好大到足以保证测不准关系的成立。因此，关于第一个步骤，没有丝毫困难。
同时，人们能够很容易理解没有观测电子环绕原子核的轨道的方法。第二个步骤在于显示一个不绕原子核运动而是离开原子的波包，因为第一个光量子已将电子从原子中打出。如果γ射线的波长远小于原子的大小，γ射线的光量子的动量将远大于电子的原始动量。因此，第一个光量子足以从原子中打出电子，并且人们决不能观测到电子轨道中另外的点；因此，也就没有通常意义的轨道了。下一次观测——第三个步骤——将显示电子离开原子的路线。两次相继观测之间所发生的事情，一般是完全无法描述的。当然，人们总想这样说：在两次观测之间，电子必定要处在某些地方，因而必定也描绘出某种路线或轨道，即使不可能知道是怎样一条路线。这在经典物理学中是一个合理的推论。但是，在量子论中，我们将在后面看出，这是语言的不合理的误用。我们可以暂时不去管这个警告究竟是指我们谈论原子事件的方法还是指原子事件本身，究竟它所涉及的是认识论还是本体论。但在任何情况下，我们对原子粒子的行为作任何陈述时，措辞都必须非常小心。
实际上我们完全不需要说什么粒子。对于许多实验，说物质波却更为便利；譬如，说环绕原子核的驻立物质波就更为便利。但是，如果不注意测不准关系所给出的限制，这样一种描述将和另一种描述直接矛盾。通过这些限制，矛盾就避免了。使用“物质波”是便利的，举例说，处理原子发射的辐射时就是这样。辐射以它的频率和强度提供了原子中振荡着的电荷分布的信息，因而波动图象比粒子图象更接近于真理。因此，玻尔提倡两种图象一并利用，他称它们是“互补”的。这两种图象当然是相互排斥的，因为一个东西不能同时是一个粒子（即限制平很小体积内的实体〕而又是一个波（即扩展到一个大空间的场），但二者却互相补充。摆弄这两种图象，从一种图象转到另一种图象，然后又从另一种图象转回到原来的图象，我们最终得到了隐藏在我们的原子实验后面的奇怪的实在的正确印象。玻尔在量子论解释的好几个地方使用了“互补性”概念。关于粒子位置的知识是和关于它的速度或动量的知识互补的。如果我们以高度的准确性知道了其中一个，我们就不能以高度的准确性知道另一个；但为了决定系统的行为，我们仍须两个都知道。原子事件的空间时间描述是和它们的决定论描述互补的。几率函数服从一个运动方程，就象坐标在牛顿力学中那样；它随时间的变化是被量子力学方程完全决定了的，但它不容许对原子事件在空间和时间中进行描述。另一方面，观测要求在空间和时间中对系统进行描述，但是，由于观测改变了我们对系统的知识