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明先后的争执即由此而起，如牛顿和莱布尼茨之间的争执。
刻卜勒的研究成果提供了太阳系的模型，但是，这个模型的大小——太
阳系的实际大小——在用天文单位测定一个距离以前，是无法确定的。
在1672—1673 年，路易十四的大臣科尔伯（Colbert）派遣里希150 尔
（Jean Richer）到法属圭亚那的卡宴（Cayenne）去进行航海上有用的天文
学观测。他就测量过行星火星的视差。他的研究成果的最显著的结果，就是
认识到太阳和较大行星的巨大体积，以及太阳系的惊人的规模。地球和地球
上的人相形之下，就显得很小了。
牛顿与引力
我们已经简要地叙述过牛顿开始工作时科学知识和哲学见解的概况。爱
萨克·牛顿（IsaacNew…ton，1642—1727 年）是一个有120 英亩土地的小地
主所有者的遗腹独生子。牛顿出生于林肯郡伍耳索普
（WoolsthorpeinLincolnshire），自幼身体纤弱，在格兰瑟姆文法学校
（Grantham Grammar School）受过教育。1661 年，他进了剑桥大学的三
一学院，在那里他听过巴罗的数学讲演。1664 年，他被选为三一学院的研究
生（Scholar），次年被选为校委（Fel… low）。1665 至1666 年，剑桥瘟疫
流行，他返回伍耳索普，开始考虑行星的问题。伽利略的研究表明，要使行
星和卫星在轨道上运行，而不循直线向空间飞去，必定有一个原因。伽刊略
把这原因看做是力，但这个力是否存在仍有待于证明。
据伏尔泰（Voltaire）说：牛顿在他的果园中看见苹果坠地时找到解决
这个问题的线索。这个现象引起他猜度物体坠落的原因，并且使他很想知道
地球的吸力能够达到多远；既然在最深的矿井中和最高的山上一样地感觉得
到这种吸引力，它是否可以达到月球，成为物体不循直线飞去，而不断地向
地球坠落的原因。看来，牛顿的头脑中已经有了力随着距离平方的增加而减
少的想法，事实上，别人当时似乎也有这样的想法。在牛顿的异父妹汉娜，
巴顿（Han… mah Barton）的后裔朴次茅斯（Portsmouth）勋爵1872 年赠给
剑桥大学的牛顿手稿中，有一份备忘录，对于这些早期的研究有如下的叙述：
就在这一年，我开始想到把重力引伸到月球的轨道上，并且在弄清怎样
估计圆形物在球体中旋转时压于球面的力量之后，我就从刻卜勒关于行星公
转的周期与其轨道半径的二分之三方成比例的定律中，推得推动行星在轨道
上运行的力量必定与它们到旋转中心的距离的平方成反比例：于是我把推动
月球在轨道上运行的力与地面上的重力加以比较，发现它们差不多密合。这
一切都是1665 与1666 两个瘟疫年份的事，因为在那些日子里，我正在发现
旺！盛的年代对于数学和哲学，比以后任何年代都更加关心。惠更斯先生后
来发表了关于离心力的研究成果，我想这些研究成果的取得应当在我以前。
读者当会看出，这里牛顿没有谈到他的朋友彭伯顿（Pember…ton）所说
的故事：牛顿所使用的地球大小的数值不精确，所得出的推动月球在轨道上
运行的力与重力不合，因此，他就把他的计算搁置起来。相反地，牛顿却说
他发现“它们差不多密合”。卡焦里（Cauori）教授也指出这一点①，并且提
出证据，说明那时已经有几个关于地球大小的相当精确的估计值，牛顿在
1666 年很可能是知道的。其中之一是冈特（Gunter）
的估计值：纬度度等于66
23
法定英里，而据彭伯顿说，牛顿所用的数值是
1
60 英里。卡焦里说：
既然牛顿买过“冈恃尔的书”，那么，很可能地，也可以说是无疑地，他知道冈
特尔的估计值：°＝66
3
法定英里，这与斯内耳（Snell
12
）的数值是近似的。
如果牛顿用了66
23
，他所算出的物体由静止坠落第一秒钟所走的距离就是15。53
呎，正确的距离是16。1呎。误差只有3
21
％。也许正是由于取得这样的结果，牛顿才
说“它们差不多密合”。
亚当斯（J．C。Adams）与格累夏（J．W。L。 Glaisher）在1887 年指出的
牛顿所以迟迟不发表他的计算的原因，比较近乎情理。引力理论里有一大困
难，无论如何牛顿是了解的。太阳和行星的大小与它们之间的距离比较是
那样的小，在考虑它们之间的关系时，每一星体的全部质量可以看做集中在
一点，至少是近似地这样的。
可是月球与地球之间的距离相对地来说并没有那样大，要把月球或地球
当作一个质点看，便有问题了。还有，在计算地球与苹果之间的相互引力的
时候，我们须记住和苹果的大小或它对地球的距离相比地球是很庞大的。第
一次计算地球各部分对于它的表面附近的一个小物体的引力总和显然有很大
的困难。这大概就是1666 年牛顿把他的工作搁置起来的主要原因。卡焦里说
牛顿也明白重力随纬度而有变化，同时，地球自转所造成的离心力也有影响；
他觉得重力的说明“比他原来所想的更困难”。1671 年，牛顿又好象回52
到这个问题，但他仍没有打算发表。也许是同样的考虑阻止了他。还有，当
时他的光学实验引起的争论也使他感觉十分不快。他说：“我在过去几年中
一直在努力离开哲学而从事其他研究”。事实上，他对化学好象比对天文学
①
Sir Isaac Newton； History of Science Society； Baltimore；1928；p。127。
更感觉兴趣，对神学好象比对自然科学更感觉兴趣。他在晚年就很不愿把他
在造币厂的公务时间使用到“哲学”上去。
惠更斯（Christian Huyryens， 1629—1695 年）是荷兰外交家和诗
人的儿子，1673 年发表了他的动力学著作：《摆钟论》。惠更斯以动力系统
中活力（现时叫做“动能”）守恒的原则为前提，创立了振动中心的理论，
并发明了一个可以应用于许多力学与物理学问题的新方法。他测定了摆长与
摆动时间的关系，发明了表内的弹簧摆，而且创立了渐屈线的理论，包括摆
线的性质在内。
但就我们的直接研究目的而论，他的最重要的研究成果是这部著作最后
所谈到的关于圆运动的研究成果，虽然如上所说，牛顿在1666 年一定也得到
了同样的结论。我们可以用比较简单比较现代的方式把这一成果叙述如下。
设有一质量为m 的物体，以速度U 在半径为R 的圆上运动，象拴在一条线上
的石头旋转时那样。则照伽利略的原则，必有一个力向中心施作用。惠更斯
证明这个力所主的加速度A 必等于v2/r。
到1684 年，总的引力问题就已经在大家的纷纷议论之中。胡克，哈雷
（Halley），惠更斯、雷恩（Wren）似乎都独立地指出过：如果把本来是椭
圆的行星轨道当作是圆形的，则平方反比必为力的定律③。这一点可以立即
从两个前提中推出。一个前提是惠更斯的证明：半径为r 的向心加速度a 是
v2/r；另一个前提是刻卜勒的第三定律：周期的平方，即r2/v2随r3而变化。
这后一结果说明v2随1/r 变化。因而，加速度v2/r，也就是力随1/r2而变
化。
几位对这个问题进行进一步研究的皇家学会会员，特别讨论到如果一个
行星像刻卜勒第三定律所指出的那样按平方反比的关系在吸引力下运行的
话，它是否又能按照他的第一定律在椭圆轨道上运行。哈雷由于觉得没有希
望从别的来源求得数学解决，就到剑桥三一学院去访问半顿。他发现牛顿在
两年前已经解决了这个问题，虽然他的手稿已经遗失，但牛顿重新写出一遍，
并和“许多旁的材料”送给住在伦敦的哈雷。在哈雷的推动之下，牛顿又回
到这个问题。1685 年，他克服了计算上的困难，证明一个由具有引力的物质
组成的球吸引它外边的物体时就好象所有的质量都集中在它的中心一样。有
了这个有成效的证明，把太阳、行星、地球、月球都当作一个质点看待的简
化方法就显得很合理了，从而就把从前粗略近似的计算提高到极其精密的证
明。格累夏博士在阐释这个证明的重要性时说：
从牛顿自己的话中，我们知道他在没有用数学证明这个定理以前，从来没有料到
有这样美妙的结果，但一经证明这个精妙的定理以后，宇宙的全部机制便立刻展开在他
眼前。。。把数学分析绝对准确地应用于实际的天文问题，现在已经完全在他能力之内
了。①。。
这一成就为牛顿的独创的研究，扫除了障碍，于是他努力把天体的力和
地球吸引物体坠落的力联系起来。他利用皮卡尔（Picart）测量地球所得的
新值，再回到重力与月球的老问题去。地球的引力现在可以看做有一个中心
了，而且就在地球的中心，验证他的假设也是很简单的事。月球的距离约为
①
J。W。L。Glaisher； Address on the bi…centenary of the publication of Newton's Principia； 1887。
地球半径的60 倍，而地球的半径是4000 英里。由此算出月球离开直线路径，
而向地球坠落的速度，约为每秒0。0044 英尺。如果平方反比律是正确的，这
个力量在地球表面应该比在月球强（60）2 倍，或3600 倍，所以在地面物体
坠落的速度为3600x0。0044，或每秒约16 英尺。这与当代观测的事实相合，
于是这个证明完全成立了。于是牛顿就证明了平常向地面坠落的苹果或石
头，与在天空中循轨道庄严运行的月球，同为一个未知的原因所支配。
他证明了重力必然要使行星轨道成为椭圆，也就意味着对刻卜勒定律给
予合理的解释，并且把他在月球方面所得的结果推广到行星的运动上去。于
是整个太阳系的错综复杂的运动，就可以从一个假设中推出来。这个假定就
是：每一质点对于另一质点的引力，与两点的质量的乘积成正比并与其间的
距离的平方成反比。这样推导出来的运动和观测结果精密符合，达两个世纪
之久。彗星的运动一向认为是无规则而不能计算的，现在也就范了； 1695
年，哈雷说，他在1682 年所看见的彗星，从它的轨道来看，实在为重力所控
制；它周期地回来，事实上与贝叶（Bayeux）毛毡上所绣的、在1066 年被人
当做是萨克逊人的灾祸预兆的那颗彗星，实在是同一颗彗星。
亚里斯多德以为天体是神圣而不腐坏的，和我们有缺陷的世界是不同类
的，而今人们却这样把天体纳入研究范围之内，并且证明天体也按照伽利略
和牛顿根据地面上的实验和归纳所得到的力学原理，处在这个巨大的数学和
谐之内。1687 年牛顿的《自然哲学的数学原理》的出版，可以说是科学史上
的最大事件，至少在近些年以前是这样的。
引力的次要效应之一是潮汐。在牛顿考虑这问题以前，人们有许多混淆
不清的看法。刻卜勒以为潮汐的成因在月球，但他是占星家，因而他同时相
信恒星与行星也有影响。也许正是由于这个缘故伽利略才嘲笑他悦：“对于
且球支配水以及神秘的特性等一类琐事，他都洗耳倾听，表示同意”①。
《原理》一书第一次为潮汐理论奠定了健全的基础。牛顿用数学的方法，
研究了月球与太阳的引力合在一起对于地上的水的影155 响，同时还把流动
的水的惯性及狭窄的海峡与运河的骚扰效果估计在内。潮汐情况是很复杂
的，自牛顿以来，有许多数学家提出过详细的理论，其中可以提到的有拉普
拉斯与乔治·达尔文爵士。但《原理》书中的一般论述仍然是有效的。
质量与重量
给予物质以惯性并且和重量迥然不同的质量的概念，起初暗含在伽利略
的研究成果中，后来又明显地见于巴利安尼的著作中。巴利安尼是热那亚的
弓箭队长。他把质与重加以区别①。在《原理》中，这个分别更加明确。牛顿
根据波义耳关于空气容积与压力的实验，从密度方面达到质量的概念。既然
在一定量的空气中，压力P 与容积U 成反比例，因此，它们的乘积PV 是一
个常数，可以用来量度一定容积中空气的质量，或者用原子论来说，代表压
缩在那个容积里的质点的总数，牛顿给予质量的定义是：“用物体的密度和
① system of the World； Galileo Galilei； Fourth Dialogue； quoted by J。Proudman， Isaac Newton； ed。
W。J。Greenstreet； London； 1927；p。87。
看“Newton and the Art of Discovery〃；by J。m。Child； in Isaac Newoln；p。127。 Child 以为牛顿可能受了巴利安
①
尼的影响。
体积的乘积来量度的、该物体中所合的物质的量”，而力的定义是“一个物
体所受到的、足以改变或倾向千改变该物体的静止状态或等速直线运动状态
的作用”。
牛顿把观察的结果与定义归纳为运动三定律：
定律一：每一物体都始终维持其静止或等速直线运动的状态，只有受了外加的力，
才被迫改变这种状态。
定律二：运动的改变（即运动量的改变率ma），与外加的致动的力成比例，而发
生于这种外力所作用的直线方向上。
定律三：反作用与作用总是相等而相反；换言之，两物体间的相互作用，总是大
小相等，方向相反。
牛顿所表述的动力学基本原理，支持了这一学科的发展达二百隼之久。
在1883 年马赫发表他的《力学》第一版①以前，没有人对这一表述所依据的
假定提出过严格的批评。马赫指出牛顿的质量定义与力的定义使我们陷入逻
辑上的循环论证中，因为我们只有通过物质对我们的感官所产生的作用才能
知道物质，而且我们也只能用单位容积中的质量来作密度的定义。
在总结动力学起源的历史时，马赫指出，伽利略、惠更斯与牛156 顿在
动力学上的研究成果，实际上只意味着发现了同一条基本原理，可是由于历
史上的偶然情况（这在一个全新的学科中是不能避免的），这一条基本原理
却用许多貌似独立的定律或词句表达出来。
当两个物体互相作用，例如靠了其间的引力，或靠了一条把它们连接起
来的螺旋弹簧相互作用时，它们相互产生的反向加速度的比例是一定的，而
只决定于这两个物体中的某种东西，这种东西，如果我们愿意的话，可以叫
做质量。这个原理是靠实验建立起来的，我们可以下一个定义说：两个物体
的相对质量，是用它们的相反的加速度的反比例来量度的，而它们中间的力
就是其中任何一个物体的质量与其加速度的乘积。
这样我们可以摆脱牛顿的质量定义与力的定义中包含的逻辑上的循环论
证，而得到一个以实验为根据的简单陈述，由此可以推导出伽利略、惠更斯
和半顿的许多原理——如落体定律、惯性定律、质量的概念、力的平行四边
形，以及功与能量的等效。
通过落体的实验，伽利略发现速度与时间成正比例而增加。这样一来，
本原的关系就是：动量的憎加，可以用力与时间的乘积来量度，或mV＝ft，
即牛顿定律。假使伽利略首先发现的事实是：由加速度a 而来的速度，随经
过的距离S，按平方的关系而增加，则这种关系v2＝。。
2as（实即等于惠更斯的功与能量的方程式：fs＝
12
mv2 ，看起来就是本原的
关系了。由此才见，力和动量所以看起来似乎比较简单和比较重要，功和能
量的概念所以稽迟很久才被人接受，主要是由于历史偶然性的缘故。事实上
它们是互相关联的，任何一方都可以从他方推导出来。
再回到牛顿的定义时，我们还可以用另一个方法逃避逻辑上的循环论
证。这个方法虽然不如马赫的方法完备，对有关的问题却有所阐发。牛顿已
经认识到，人们从肌肉用劲的感觉得到力的机械概念，他本来很可以从这条
道路找到一条逃避循环论证的途径。动力学可以看做是把我们对于运动中的
①
Dr E。 Mach； Die Mechanik in ihrer Enwickelung；1883。
物质的感觉提高到理性水平的科学，正如热学同温暖的感觉有关一样。我们
从空间或长度与时间的经验，得到本原的观念；我们肌肉的感觉同样地给我
们力的观念。这一感官所粗略地量度出来的等量的力，作用于不同的物体时，
将产生不同的加速度，因此我们可以把每一物体的惯性，即对于f 力的抵抗，
称为它的质量，并可以说，它是用一定的力所产生的加速度a 的反比来度量
的。因此m＝f/a。这样，质量的观念就是从一个心理状态，即我