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第七节
尽管几何学不涉及有形的对象、而涉及理想的对象这一经常反复的争论是恰当的，但是依然不容怀疑，几何学起源于集中在有形物体的空间关系的兴趣。它拥有这一起源的最分明的标志，它的发展路线只有在考虑到这些痕迹时才是可以充分理解的。我们对于物体的空间行为的知识建立在它们产生的空间感觉的比较之基础上。即使没有人为的或科学的最小帮助，我们也能获得丰富的空间经验。我们能够近似地判断，我们察觉相互并排地在不同距离处于不同位置的刚体，当使它们相继处于同一位置时，它们将近似地产生相同的还是不相似的空间感觉。我们十分恰当地了解，一个物体是否将与另一个物体重合，平直地放在地上的杆子是否将达到某一高度。不过，我们对空间的感觉受生理环境的支配，生理环境对于被比较的成员来说，从来也不能是绝对等价的。在每一个严格检查的案例中，必然要把感觉的记忆痕迹与实在的感觉比较。因此，如果它是物体相互之间精密的空间关系问题，那么我们必须提供尽可能不依赖生理条件的特征，从而难以控制。这是通过把物体比较完成的。物体A是否与另一个物体B重合，是否能够使它精密地占据另一个物体充满的空间，也就是说，在相似的环境下两个物体是否产生相同的空间感觉，这一切能够以极大的精确性估计。我们认为，这样的物体是在空间上或几何学上在各个方面相等的——是全等的。感觉的特点在这里不再是权威的；它现在仅仅是感觉的相等或不相等的问题。如果两个物体都是刚体，那么我们能够把我们在与第一个比较方便的、比较容易移动的标准物体A相关联中收集的所有经验应用到第二个物体B。我们将把前者回复到环境，以致使用特殊的比较物体或标准物体对每一个物体来说既不必要，也不可能。最方便的比较物体——虽则仅仅勉强地可以应用——即我们总是在我们眼前具有移动时不变的物体，是我们的手和足（feet）、我们的臂和腿。最古老的度量名称清楚地表明，我们最初用一手之宽（handbreadth）、前臂长（forearms ells）、脚长（英尺）（feet）、步度（Paces）等进行我们的测量。只不过较高的测量精确度是由引入约定的和仔细保存的物理标准开始的；原理依然是相同的。度量能使我们比较难以移动或实际不动的物体。
第八节
正如已经评论的，具有最强烈兴趣的东西，不是物体的空间性质，而主要是物体的物质性质。这个事实甚至在几何学的开端肯定找到了表达。物体的容积被本能地作为描述物质性质的量来考虑，在它的几何学性质收到接近深刻思考的任何东西之前好久，就开始成为争论的课题。然而，正是在这里，比较即容积的测量获得它的最初的意义，从而在早期的几何学的主要的和最重要的问题中占据了它的位置。头一批容积测量无疑是液体和果实的测量，是用中空的量具进行的。目标是方便地确定同样的物质的量，或同类的、形状相似的（等价的）物体的量（数量）。因此，相反地，贮藏室（谷仓）的容积很可能起初就用它能够容纳的同类物体的量或数量来估算。用容积单位测量容积很可能是晚得多的概念，只能在较高的抽象阶段上才能得以发展。
第九节
面积的估计无疑也是由一块田地能够容纳的结果实的或有用的植物的数量，或由能够在其中播种的种子的量引起的；或者可能由这样的工作需要的劳力引起的。当相同大小和形状的田地彼此相处较近时，在这种关联中显然容易使人想到用一个面测量一个面。在这里，人们几乎无法怀疑，由n个相同大小和形式的地块组成的田地也具有n倍的农业产值。当我们考虑埃及人、甚至罗马农人通常所犯的面积测量的错误时，我们不会倾向于低估这一理智步骤的意义。即使对于像希腊人这样的具有杰出的几何学天才的人来说，而且在后来的时期，我们也偶尔遇见具有相等周长的面在面积上是相等的观念的零星表达。当波斯的“超人”薛西斯希望清点军队——他必须“供养”它们，他在鞭打下驱使他们跨越赫勒斯滂进攻希腊人——时，他采取下述步骤：让10000人整队紧紧挤在一起。用围栏把他们复盖的面积围起来，为了计数别的10000，把军队的每一个相继的分队，或者更恰当地讲，把一群奴隶赶进并充满栅栏。在这里，我们碰到下述观念的相反的应用：用相等的、等价的、直接毗连的、覆盖面的物体的量（数量）测量面。在抽象中，起初是本能地，然后是有意地，从这些物体的高度过渡到借助面的单位测量面。类似的用容积测量容积的步骤要求更多实践的、受过几何学训练的直觉。它是在较晚达到的，甚至在今天对民众而言也不大易懂。
第十节
用一天的旅程、旅行的时间等计算的对长距离的最古老的估计；无疑建立在努力、劳作和为行走这些距离必需耗费的时间的基础上。但是，当用手、脚、臂、棒或链的重复应用测量长度时，那么准确地观察，测量是通过同类物体的计数进行的，我们实际上再次从事容积的测量。这一概念的奇特性在这种阐明的过程中将消失。现在，如果我们起初本能地、然后有意识地从物体的两个横向线度抽象，那么我们便达到用线来测量线。
第十一节
通常把面定义为空间的边界。因此，金属球的面是金属和空气之间的边界；立或者是金属的一部分，或者是空气的一部分。类似地，一维的线是面的边界；例如，赤道是半球面的边界。无维度的点是线的边界；例如，圆的弧的边界。点通过它的运动生成一维的线，线通过它的运动生成二维的面，面通过它的运动生成三维的立体空间。这一概念根本没有把困难给予擅长抽象的心智。无论如何，它遭受了它并未显示出来的、但是相反地却人为地隐蔽起来的退却，即藉以达到抽象的自然而实际的途径。因此，在长度的测量被讨论之后，当从这种观点尝试定义面的度量或面积的单位时，便感到某种不便。
第十二节
如果把每一种测量视为借助直接毗连的、在空间上等价的、或者至少假设性地等价的物体来计数空间，而不管我们涉及的是容积、面、还是线，那么便达到比较同类的概念。可以把面看作是处处具有相同的恒定厚度的物质薄板，我们可以使厚度随意变小，变得逐渐消失地小；可以把线看作是具有恒定的、逐渐消失地小的厚度的绳子或丝线。于是，点变成我们有目的地从其广延抽象的小的有形的空间，不管它是另一个空间的、面的一部分，还是线的一部分。在计数中使用的物体可以具有符合我们需要的任何小东西或任何形式。没有什么事情妨碍我们以通常的方式把这些图像理想化，而这些图像只是由于不顾薄板和丝线的厚度，以所指明的自然的方式达到的。呈现出几何学基本概念的通常的和多少有些胆怯的模式，无疑归因于下述事实：使数学摆脱它的早期基本形式的历史的和偶然的镣铐之无限小方法，在稍后的发展时期之前并未开始影响几何学，几何学与物理科学坦白而自然的联盟也在较晚之前还未通过高斯恢复起来。但是，这些要素现在将不带有我们的较充分洞察的长处，其原因还没有清楚地看出。甚至莱布尼兹也提到这样的事实，即在我们的几何学定义中从固体开始也许是比较合理性的。
第十三节
借助固体对空间、面和线的测量，是一个我们精制的几何学方法变得完全与之疏远的概念。可是，这一观念不仅仅是目前理想化的方法的先驱，而且它在几何学的心理学中起着重要的作用，而且我们发现它在发展的后期还强有力地活跃在这个领域的研究者和发明者的工作室。卡瓦列里的除不尽法通过这一观念好像最能理解。采用他本人的说明，让我们把要比较的面（求面积）看作是仿照织物的经线的方式，用我们意欲的任何数目的等距离的平行丝线覆盖，把要比较的空间（求容积）看作是用平行的薄纸片充满。于是，丝线的总长度可以作为面的量度，纸张的总面积可以作为容积的量度，测量的准确性可以进行到我们希望的任何一点。如果相同的等距离的物体充分接近到一起且具有恰当的形式，那么其数目恰如绝对覆盖面或绝对充满空间的等价物体的数目一样，完全能够提供面和一致空间的数值量度。如果我们使这些物体收缩，直到它们变成线（直线），或者直到它们变成面（平面），那么我们将得到面分为面元和空间分为空间元，同时得到用面习惯测量面和用空间习惯测量空间。卡瓦列里的有缺陷的讲解不适应他的时代的几何学状况，它招致几何学史家对他的漂亮的和富有创见的步骤进行十分严厉的批评。亥姆霍兹的批判性判断在易受攻击的时刻服从他的想像力，他在他的伟大的年轻时代的著作中能够认为面是包含在它之内的线（纵坐标）的总和，这个事实只不过是这个独创性的自然的概念达到的伟大深度的证据，是它藉以再断言它自己的便利的证据。
第十四节
于是，我们首先具有可动物体存在的普遍经验，不管物体的可动性，必须把上面记述的感觉中的某种空间的恒定性、恒久地等价的性质归因于这一点——一种构成测量概念的基础的性质。但是，除此以外，还存在着在职业和艺术的追求中本能地收集的诸多形形色色的特殊经验，这些特殊经验把它们的份额也贡献给几何学的发展。由于这些经验部分地以未曾料到的形式出现，部分地相互和谐一致，有时在不小心应用时，甚至变得卷入看来好像是自相矛盾的东西之中，因此它们扰乱了思想的进程，激励思想追求这些经验的有序的逻辑关联。我们现在将全神贯注于这些过程中的某一些。
第十五节
即使希罗多德的众所周知的陈述也是不够格的，他在陈述中把几何学的起源归之于在埃及人中的土地测量；即使该叙述也完全丢失了欧德摩斯（Eudemus）关于早期几何史留下的东西和我们所知的从普罗克洛斯那里摘录的东西，在我们看来，也许不可能怀疑几何学的前科学时期存在过。第一个几何学知识是偶然地、在没有计划的情况下，在实践经验的路线上，在与最多变的使用的关联中得到的。它是在科学精神或对上述经验的相互关联的兴趣仅仅有点发展的同时获得的。甚至在我们的几何学开端的贫乏历史中，这也是明白的，不过在一般的原始文明的历史中更加如此，在那里众所周知，技术的几何学应用存在于如此之早的野蛮时代，以致绝对地排除科学努力的假定。
第十六节
所有原始部落都从事编织技艺，在这里像在他们的绘图、绘画和木刻中一样，出现了由最简单的几何学形式构成的更可取的装饰主题。因为这样的形式像我们的儿童绘图一样，符合他们想要模仿的对象的简化的、典型的、图式的概念，而用他们的原始工具和手工的灵巧最容易制作的也正是这些形式。由一系列类似形状的、相互颠倒的三角形或由一系列平行四边形构成的这样的装饰（图 11）， 清楚地暗示出这样的观念：当把三角形三个角的顶点放置在一起时，它们之和构成两个直角。在由相同形状的不同颜色的石料建造习惯的镶嵌图和铺路面时，这个事实也不可能逃脱亚述、埃及、希腊等地的陶工和石工。一点周围的平面场地能够被仅仅三个正多边形，即被六个等边三角形、四个方形和三个正六边形完全填满，这个毕达哥拉斯学派的定理暗示出同一来源。在早期希腊人证明关于任何三角形角之和定理的下述方法中，也揭示出相同的起源：把三角形分割（通过画高线）为两个直角三角形，并相应于这样得到的部分完成矩形。同样的经验也发生在其他许多场合中。如果测量者绕多边形地块步行，那么他将在到达起点时发现，他转了由四个直角构成的一个完整的循环。相应地，在三角形的案例中，由于内角和外角由六个直角构成（图 12）． 在减去循环的三个外角a，b，c后，将依然有两直角作为内角之和。高斯的同代人蒂鲍（Thibaut）使用了定理的这一推导。如果制图员通过绕内角总是在相同的方向上转动他的直尺画三角形（图13）， 那么他将在抵达第一个边时再次发现，若他的直尺的棱在开始时向着三角形外部放置，则三角形此时将处在内部。在这个步骤中，直尺在相同的方向扫过三角形的内角，在这样扫过时完成了半个循环。泰勒评价说，折布或折纸可以导致相同的结果。 如果我们以图14所示的方式折一个三角形纸片，那么我们将得到在面积上等于半个三角形的双矩形，在这里将看到，在a处重合的三角形的角之和是两直角。虽然通过折纸可以得到一些十分令人惊讶的结果，但是几乎不能假定，这些过程在历史上对几何学来说是十分多产的。该材料具有非常有限的应用，使用它的工匠一点也未受刺激去进行精密观察。
第十七节
因此，平面三角形的角之和等于一个确定的量即两直角的知识，是通过经验达到的，这与杠杆定律及玻意耳和马略特（Mariotte）定律没有什么不同。的确，无论无助的眼睛，还是用最灵敏的仪器测量，都不能绝对地证明，平面三角形的角之和严格地等于两直角。但是，该案例恰恰与杠杆定律和玻意耳定律相同。因此，所有这些定理都是理想化的和图式化的经验；因为实际的测量将总是显示出与它们的轻微偏离。气体定律被进一步的实验证明仅仅是近似的，在不得不以极大的精确性描述事实时需要修正它，而杠杆定律和关于三角形的角之和的定理却像会导致我们预期的实验的不可避免的误差一样，依然精密地与事实一致；可以使建立在这两个作为初始假定的定律基础上的所有结果成为同一陈述。
第十八节
处在同一直线上以它们的底相互并排地铺设的相等而且相似的三角形，也必定导致十分重要的几何学知识的片断（图15）。如果把三角形沿直线移置在平面上（没有转动），那么它的所有点，包括它的边界线的点，将描绘相等的路线。因此，相同的边界线将在任何两个不同的位置提供在所有点彼此等距离的两个直线系统，该操作保证了由位移的线在两条直线的相应侧面形成的角相等。所以在位移的线的同一侧上的内角之和被决定是两直角，这样便达到了欧几里得的平行定理。我们可以添加说，扩大这类铺设的可能性无限制地、必然地把增加的明显性给予这个发现。直到今天，三角板沿直尺滑动依然是画平行线的最简单。最自然的方法。几乎没有必要评说，平行定理和三角形角之和定理是不可分割地关联的，只不过描述了同一经验的不同方面。
第十九节
上面提及的石工必须无困难地做出正六边形能够由等边三角形构成的发现。这样直接产生了把圆分割为部分的最简单的例子，即用半径把圆分为六部分、把它分为三部分等等。每一个木工本能地、几乎在没有思考的情况下就知道，由于圆的完美的对称性，能够从圆柱形的树干以无限数目的不同方式切割出具有矩形对称横截面的朽木。桁木的棱都将处在圆柱的表面，截面的对角线通过中心。按照汉克尔和秦勒的的观点，正是以这种方式，可能做出了在半圆上内接的所有角都是直角的发现。
第二十节
拉长的线提供了直线的显著的形象化。直线是由它的心理学的简单性刻画出特征的。它的所有部分引起相同的方向感觉；每一点都唤起邻近点的空间感觉的平均值；每一个无论多么小的部分都类似于每一个无论多么大的其他部分。虽然它影响了许多作者的定义，但是几何学家用这种心理学的特征却无法完成定义。形象化的图像必定是被关于在几何学上合用的物质对象的物理经验丰富的。设把绳子一端扎在A，没把它的另一端通过环形物扎在B。如果我们在B处在终端拉绳子，我们将看到以前处于A和B之间的绳子的部分在B处通过，而与此同时绳子将趋近直线的形式