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况且，即便罗纳德和赫布识破克拉拉的策略，他们也不能有效地加以干扰。赫布很生气，这是由于克拉拉巧妙的投票才使他的第三意愿餐馆成为获胜者。反之，克拉拉这一方的“诚实”投票就会使赫布的第一意愿成为获胜者。赫布试图说服罗纳德，让罗纳德和他一起合谋进行某种不诚实的投票。但罗纳德不愿意参与，因为这样做也不可能改变他自己的处境。克拉拉的投票已使罗纳德的第一选择的餐馆成为获胜者。
表决顺序的改变也不能消除巧妙投票的可能性。它所能做的是给别人而不是克拉拉不诚实投票的机会。假定这3位朋友首先在伯格王和温迪之间进行表决，再对获胜者与麦克唐纳进行表决，如果他们全都“诚实地”投票，那么最终会选择麦克唐纳，使赫布大失所望。
如果赫布足够机敏，能预见到这个结果，那么他应在第一次投巧妙的一票，以促使他们最终转向选择温迪。
其他可能的表决顺序——即首先在麦克唐纳和伯格王之间表决，而后在获胜者与温迪之间表决——情况也并不好些。
它只会给罗纳德以进行机敏投票的机会：虽然这3位将要就餐者遇到的窘境是虚构的，但它却不是编造出来的。在一系列的投票中，是从3个或者更多候选者中选出一个获胜者，巧妙投票的可能性可以在任何多数规则的表决中出现。
当美国众议院提出一项议案修正案时就会发生这样的情况。首先众议院要就修正案投票表决，如果获得通过，那么就应在修正案和完全否定议案之间进行第二次和最后表决。如果修正案未获通过，则第二次表决是在原议案和否定议案之间进行。
美国罗彻斯特大学的威廉。赖克在其《政治科学中的数学应用》一书中分析了1956年众议院关于要求联邦政府资助学校建设议案的表决情况。当时提出了修正案，要求联邦政府只向那些已经取消种族隔离学校的州进行资助。众议院实质上已分成三个利益集团：共和党人、北方民主党人和南方民主党人。反对联邦资助，但赞成取消种族隔离的共和党人完全赞成否定议案，但相比之下，宁愿要修正案而不愿要原议案。而北方民主党人赞成修正案，但宁愿要原议案而不愿要否定议案。南方民主党人都是来自实行种族隔离学校的各州，他们赞成原议案，但宁愿要否定议案而不愿要修正案。
对于修正案的表决，共和党人和北方民主党人一起投票，赢得了表决。但是在第二次表决，即在修正案和不否定议案之间表决时，共和党人与南方民主党人联合，否决了修正案。在这里，这种悖论表现为：在没有修正案的情况下，要在原议案和否定议案之间进行直接表决，则原议案无疑会赢得胜利！
赖克得出结论：“选择可能取决于表决顺序这种看法似乎还是不够的，这一事实可以用来扭曲立法程序的结果。它有可能会产生一种表决上的悖论，即使议案在悖论产生之前就已获得通过，也会使立法机构无法采取行动。立法议员可以提出修正案，使这种悖论得以产生，而且如果表决程序恰好正确的话，那么修正议案将会被否决。”
早在18世纪，法国数学家让…安托万…尼古拉斯。卡里塔特，德。孔多塞侯爵就看出了表决的悖论。他发现社会上往往有优先选择，但是如果是个人的优先选择，就被认为不合理而不加以考虑。现在回过头来考虑我们3位饥饿的朋友，罗纳德喜欢麦克唐纳胜过伯格王，而伯格王又胜过温迪。已知这些优先选择，要他喜爱温迪胜过麦克唐纳，对他说来是不合理的。然而，这些却恰恰是我们的朋友作为整体时的优先选择！在集体表决中，他们宁愿去麦克唐纳而不去伯格王，宁愿去伯格王而不去温迪，宁愿去温迪而不去麦克唐纳。所以，从数学的观点来看民主是不是有内在的不合理呢？
罗纳德的优先选择：麦克唐纳→伯格王→温迪因此：麦克唐纳→温迪集体的优先选择：在民主表决中的数学悖论已由世界上一位大对策学家史蒂文。布拉姆斯进行了广泛研究。他不仅把数学用于涉及表决方面的各种问题，还用于各种各样看来难以进行定量分析的问题。在他的《总统选举的对策》一书中，布拉姆斯使用对策论分析了理查德。尼克松总统的行为和最高法院关于那件迫使总统交出有罪的“白宫录音带”的案例。他在《圣经的对策》一书中把对策论用于分析旧约全书中上帝和人类的矛盾，并得出结论：上帝是个出色的策略家，一位敏感的、沉思的，又为他在世上的声誉所困扰的武断的神。在《高傲的神：如果他们存在，我们怎能知道？》一书中，他探讨了无所不知、无限权力、不朽的生命和不能理解性的对策论含义。布拉姆斯还将对策论应用于实际之中，从超级大国的矛盾和职业运动员的选拔到劳工管理谈判以及电视演播计划等种种主题。
布拉姆斯对应用数学感兴趣还得追溯到他在麻省理工学院当大学生时，那时苏联刚刚发射了人造地球卫星。他曾有志于主修物理学，但他发现他在实验室里是一个十足笨头笨脑的人，从而打消了这个念头。那些损坏的设备，使他清醒了，他转而攻读数学，并在数学领域一直遥遥领先。他还选修比较新的政治科学系中大名鼎鼎的教授的课程。在那里他发现了他的专长：把数学应用于政治形势上。他的第一批成果主要涉及对国标贸易流通进行数学模拟的统计工作。离开麻省理工学院，他又到西北大学当研究生。因为他在政治科学方面有一种标新立异、特别的定量分析课程。
布拉姆斯说道：“像每一位有自尊心的政治科学家一样，我考虑应在政府中从事某些工作，但不愿意在和平队里干活。”在1963年和1964年夏季里，他先在国家卫生研究所任所长，而后又到国防部部长办公厅任职。当他完成研究生学业时，他已把整个身心投入国防分析研究所的工作，那是一家非盈利的研究机构。主要是为联席参谋长和国防部长办公室工作。布拉姆斯回忆道：“我被特别雇用从事如何在国防部进行决策的研究。在6个月内，我设计并预先试验了一种调查表。我将要进入战地并会见一些高层人物——副部长、将军、舰队司令——可是国防分析研究所所长停止了这些研究工作。这时越南战争升级，热化，而所长认为这项研究太成问题，特别是由于国防部是国防分析研究所的主要委托人。我感到非常恼怒，并且断定能够自由和独立地做我想做的事的惟一地方是大学。”
他开始在罗彻斯特大学教学，校内拥有国内最有效地进行定量分析的政治科学系。曾经分析1956年众议院关于学校建设问题投票的赖克当时正在罗彻斯特大学，于是布拉姆斯从他那里获益匪浅，对对策论产生了强烈的爱好。而且，布拉姆斯补充道：“从那时起，我从未离开过这个主题。”
对策论的评论家们不时指责它是一门诡诈科学，为赞成政治掮客的狡猾策略而打上了数学的印记。然而对策论不会产生表决的悖论，它只不过用形式的方法来认可它们而已。1956年众议院就学校建设议案所做的悖论表决是自然产生的，而不是由于国会众议员们从马基雅维里式的某些对策论杂志中获得的提示得来的。
一旦悖论被正式认可，对策论就能有助于评估悖论通常是如何产生的。例如，现在我们看看法国数学家孔多塞的观察，由每个人投票决定的群体优先选择在悖论上可能是“非传递性”；如想吃快餐的群体，宁愿去麦克唐纳而不愿去伯格王，宁愿去伯格王而不愿去温迪，然而又喜爱温迪胜过麦克唐纳。如果这个群体由3个人组成（罗纳德、克拉拉和赫布），而仅当每个餐馆首先由一个人排序，其次由另一个人排序，第三再换一个人排序时，这种“非可递性”就将出现。假定所有可能的个人优先选择看来都是相等的，则整个群体的非可递性的机会为5。6％。这个数字看来似乎不大，但要记住这个百分率只不过是针对了个人和3个选择对象的最简单情况。
布拉姆斯在《政治学中的悖论》一书中总结了更复杂情况中群体非传递性概率的最新研究，其结果是在选择对象和投票人数目增加的两种情况下，非传递性的概率才增加，但它对选择对象的数目更为敏感。如果选择对象固定数为3时，则悖论的可能性会略有增加，从5。6％（投票人为3时）增加到8。8％（投票人数接近于无穷大）。如果投票人固定数为3的时候，则悖论的可能性会陡然上升，从5。6％（选择对象为3时）增加到100％（由于选择对象数接近无穷大）。的确，布拉姆斯特别提到对于投票人的任何固定数，由于选择对象数无穷地增加，悖论的概率必然会逐渐上升。
摘自史蒂文。布拉姆斯著《政治学中的悖论》（纽约，1976年自由出版社）第42页。
对策论中的数学可以与许多其他抽象数学学科中所涉及的数学进行简单的比较。但它决不是无价值的。的确，数学常常会导出反直觉的或者违背所预期的结果。数学的简明性不会使对策论的严密性比高维拓扑学的严密性更差，刊登这种问题的杂志也只有一小部分博士能够读懂。简明性甚至可能是优点：对策论中的数学是这样容易理解，从而几乎没有可能由于文献中的数学论述模糊难懂而引不起人们的兴趣。
美国数学学会的全体官员都认为布拉姆斯的论述有误。这样一个著名的数学家团体能出现差错的事实表明对策论的结果是如何令人吃惊。这种错误论述出现在美国数学学会的投票说明上，学会会员将使用该说明选出参加特别委员会的代表。对于这次投票，美国数学学会恢复了表决程序，采用单一的可转让投票制度（又称选择投票法）。它是19世纪50年代后期由不引人注意的英国律师托马斯。黑尔提出的，他曾撰写过两本书，批判传统的投票制度。
黑尔曾特别为下述事实所苦恼：在传统的比例代表制中，每个选区选举一位以上的候选人，实际上，为数甚多的少数选民可能会被剥夺掉选举权，尽管他们的原号码表明他们有资格选出代表。现考虑一个假设的选区，要从4位候选人中选出两位代表。把其中的两位候选人称作匈奴人阿蒂拉和吉。乔，他们都是典型的保守派人士，两人中阿蒂拉是极右人士。另外两位候选人是哈尔。汉道特和弗里达。弗里拉夫，他们都是自由派。两人中弗里拉夫更富有同情心。该选区内有23位选民，其中13位是保守派，10位是自由派。23位选民的选举意愿，按照对候选人的选择从第一选择到最后选择的顺序排列如下：选民数 第一选择 第二选择 第三选择 第四选择7 阿蒂拉 吉。乔 汉道特 弗里拉夫6 吉。乔 阿蒂拉 汉道特 弗里拉夫6 汉道特 弗里拉夫 吉。乔 阿蒂拉4 弗里拉夫 汉道特 吉。乔 阿蒂拉在选举中，每位选民允许选出两位候选人，阿蒂拉和吉。乔都将当选。因为这两位候选人每位都各得13票。结果是10位自由派选民将没有代表，即使他们构成全体选民的43％。而13位保守派选民仅构成全体选民的57％，却有100％的代表。
黑尔认为，所选出的代表应更精密地反映全体选民的构成，他巧妙地设计出一种复式选举制，它要求每位选民按其选举意愿顺序列出候选人名单，使选民能在候选人中间区别他们。然后把第一选择投票列成表格，而候选人只要达到定额选票，都要当选。
定额需要计算，它应是第一位选票的最小数，使得最大数目的候选人都能达到与候选席位数相符合的定额。例如上述例子中，有23位选民和2席候选席位，当选的定额应是8票；这样只有2位候选人（并非3位）能得到8票的第一位选票。定额定为7票又太低，因为有3位候选人可能会达到这个定额；由于只有两个待选席位，因此达到定额的候选人多出了一位。（一般说来，定额可用下法求出，即用选民数除以比待选席位大1的数，再加1即为定额数，但要舍去得出的任何分数。）
假设至少有一位候选人达到了定额选票，而且至少仍有一个席位空缺待选，那么当选的候选人超出定额的选票会按比例地转移到那些选民票数多的候选人身上。如果这种转移促成另一位候选人达到定额，那么他也当选；而且如果席位仍然未满，则超额的选票会再次按比例地转移。这个过程会继续下去，直到所有席位选满为止。如果在任何一处还有待选席位，但却没有超额选票转移，那么得票数最低的候选人就会被淘汰掉，而他的支持者会简单把他们的选票转移到他们选择的、票数最多的、仍在参加竞选的候选人身上。这个概念就是不会有选票作废的概念；如果选举需要选出的不只是一位候选人，可以在别处计票；如果把它分散在最少选票的候选人身上，也可以在别处计票。
理解这些选举规则的最好方法是把它们应用于具体实例上。
试把这些章程用于我们上面设想的选区内。由于定额是8票，4位候选人中每位都不能达到定额。因此得票最少的候选人弗里达。弗里拉夫就被淘汰掉，而她的4位支持者将他们的选票转移给哈尔。汉道特，即他们的第二选择。如果弗里拉夫已从选举意愿表中淘汰掉，那么其顺序表如下：选民数 选举意愿（从最好到最差）
7 阿蒂拉 吉。乔 汉道特6 吉。乔 阿蒂拉 汉道特10 汉道特 吉。乔 阿蒂拉现在哈尔。汉道特已超过定额2票，因此他已当选，他的超额两票已转移到吉。乔身上：选民数 选举意愿（从最好到最差）
7 阿蒂拉 吉。乔8 吉。乔 阿蒂拉这时吉。乔也已达到定额票数，所以他赢得了另一席位。
汉道特和吉。乔的当选使黑尔兴奋：不论保守派还是自由派都有了代表，每个阵营中比较激进的候选人均未能当选。这样一种结果给约翰。斯图尔特。穆勒以深刻印象，他称颂黑尔的选举制是“在政府的理论和实践方面所做出的最伟大的改进之一”。今天，黑尔的选举制已广泛地用于澳大利亚、马耳他、爱尔兰共和国和北爱尔兰的立法选举和纽约市的学校董事会选举以及马萨诸塞州坎布里奇市的市政委员会选举上，更不必说许多像美国数学学会这一类的专业组织的投票选举了。
美国数学学会的投票包括两种强硬的说法：“标出较少的候选人不会获得战术上的有利条件。”以及“按你的选举意愿顺序标出候选人，直到你认为不了解或你不感兴趣而没有标出的候选人，这是可取的。”而布拉姆斯举出了一个能够证明这种做法是不真实的例子，它可能有利于标出较少数的候选人。假定有17位选民，2个待选席位和4位候选人，现称他们为格拉夫博士、迪济特博士、波因特博士、马尼福尔德博士，选民的选举意愿顺序如下：组选别民 选举意愿顺序（从最好到最差）
数A 6 格拉夫博士 迪济特博士 波因特博士 马尼福尔德博士B 6 格拉夫博士 波因特博士 马尼福尔德博士 迪济特博士C 5 格拉夫博士 马尼福尔德博士 迪济特博士 波因特博士格拉夫博士赢得了17张选票，定额为6票，超额了11票。因此这11票需要转移。在这种情况下，选民们都支持当选者，不会再做其他选择了。而黑尔的选举章程（这是美国数学学会所遵循的）要求将超额的11票按比例地转移：11票的6／17转移到A组，11票的6／17转移到B组，而11票的5／17转移给C组，其结果如下：组别 选民数 选举意愿顺序（从最好到最差）
A 3。9 迪济特博士 波因特博士 马尼福尔德博士B 3。9 波因特博士 马尼福尔德博士 迪济特博士C 3。2 马尼福尔德博士 迪济特博士 波因特博士由于没有一个候选人能达到定额，得票最少的候选人马尼福尔德博士就被淘汰掉，而其支持者的3。2票会转移到他们选举的选票高的候选人波因特博士身上：组别 选民数 选举意愿顺序（从最好到最差）
A 7。1 迪济特博士 波因特博士B 3。9 波因特博士 迪济特博士现在迪济特博士已超过6票定额，所以他与格拉夫博士一样，成为当选的候选人。
B组的6位选民（其选举意愿顺序为格拉夫博士、波因特博士、马尼福尔德博士和迪济特博士）为他们的第一选择当选而