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我们发现有些人通过把握两个词项的后件而错误地作论证。例如卡纽斯坚持认为火是以几何级数扩展的，根据是火和这类级数都增长得极迅速。在这种条件下没有三段论。只有当最迅速的增长隐含着几何比例，火在其运动中隐含着最迅速的增长率时才行。有时不可能从断定中获得一个结论，有时它是可能的，但进展的方法却被忽略了。
如果不可能从虚假的前提证明一个真实的结论，那么分析就会十分容易，因为结论与前提必然是交互的。让 A 成为一个真正的事实，它的真实性包含着其他一些我知道是真的事物（例如 B ）的真实性，那么，从后者我就可以证明 A 确实是真实存在的。交互现象在数学中更加普遍，因为数学从不具有偶性（这是它不同于辩证推理的另一方面），它只具有定义。
科学的增长不是由于中词的插入而是由于大小词的附加，例如， A 是 B 的谓项， B 是 C 的谓项， C 是 D 的谓项，由此无穷后推。它也可以倾向扩展，例如， A 既是 C 又是 E 的谓项。举个例子说， A 是（确定的或不确定的）数， B 是确定的奇数， C 是特殊的奇数，那么 A 是 C 的谓项。再者， D 是确定的偶数， E 是一个特殊的偶数，那么 A 是 E 的谓项。
【 13 】在同一门科学中，对事物的知识和对事物原因的知识在下列不同的条件下是不同的：（ 1 ）如果结论不是从直接的前提推得（因为这样一来，第一因（近因）不包含在它们之中，而对原因的知识是依赖第一因的）。（ 2 ）虽然结论是从直接前提推得，但它却不是从原因而是从两个可转换的词项中知道得更清楚的那个词项中推得。因为在两个可以转换的谓项中，不是原因的那一个可能知道得更清楚，所以证明将从此而进展。例如，“行星是相近的，因为它们不闪烁”这样一个证明。让 C 表示“行星”， B 表示“不闪烁”， A 表示“相近”，那么， B 作为 C 的谓项是真实的，因为行星不闪烁，但 A 陈述 B 同样是真的，因为不闪烁的东西是接近的（这已经通过归纳或感官知觉而确定），这样， A 必定属于 C ，从而证明了行星是相近的。因此这个三段论证明的不是原因而是事实。因为不是因为行星不闪烁，所以它们相近，而是因为它们相近，所以不闪烁。不过，借助大词证明中词是可能的，所以证明可以揭示根据。例如，让 C 表示“行星”， B 表示“相近”， A 表示“不闪烁”，那么 B 属于 C ，并且 A 属于 B ，所以 A 也属于 C 。这个三段论揭示了根据，因为第一因已被断定了。再如，月亮由于它的盈亏被证明是球形的，如果展现出这类盈亏的事物是球形，月亮展现了这类盈亏，那么月亮很显然是球形的。三段论用这种形式证明事实，但当中词与大词互换时，我们就揭示了根据，因为月亮不是由于它的盈亏所以是球体，而是因为它是球体所以呈现出这种盈亏。 C 表示“月亮”， B 表示“球形”， A 表示“盈亏”。（ 3 ）如果中词不能转换，不是原因的东西比原因更被了解，那么事实能被证明而根据却不能被证明。（ 4 ）中词与大词和小词不相交的三段论亦同样情况。在这些三段论中，证明说明了事实却没有说明根据。因为原因没有得到陈述。例如，墙为什么不呼吸？因为它不是动物，如果这是不呼吸的原因，“是动物”就应当是呼吸的原因。如果一个否定陈述给出一个属性所不属于的原因，那么，相应的肯定陈述就会给出其属于的原因。如果我们身体的热和冷的元素失调是我们不健康的原因，那么，它们的适当比例就是我们健康的原因。同样，如果肯定陈述给出了一个属性所属于的原因，那么否定陈述就会给出它不属于的原因。但在给予的例证中，结论并不跟随，因为并非一切动物都呼吸，证明这类原因的三段论出现在中间格中。例如，让 A 表示“动物”， B 表示“呼吸”， C 表示“墙”，那么， A 属于所有 B （因为凡是呼吸者皆为动物）但不适用于 C ，这样， B 也不属于任何 C ，因而墙不能呼吸。这样的原因就象是牵强附会的解释，我的意思是指用太遥远的一种形式去陈述中词，例如，阿那赫里西斯的格言，即在斯库塞人中没有吹笛手，因为没有葡萄树。
在同一门科学中，根据中词的位置，证明事实的三段论与证明根据的三段论的差异就是这样。但事实和根据还在另一方面互不相同，即在每个为不同科学所研究的存在上。所有互相联系，一门从属于另一门的学科都是这样。正如光学问题从属于几何，力学问题从属于立体几何，和声问题从属于算术，自然现象研究从属于天文学这样的联系一样。在这些学科中有些实际上是同名的，例如，数学和航海天文学都被叫做天文学，数学和声学和谐都被叫做和谐。在这些学科中，收集资料者知道事实。数学家揭示根据，后者能证明原因，但他们却常常忽视事实。正如研究普遍的人由于缺少完全的考察常常忽略某些特殊事例一样。一切分离存在的、呈现出特殊形式的对象都属于这一类。数学是研究形式的，它们并不把它们的证明局限在特殊的主体上。即使几何学涉及特殊的主体，它们也仅仅是偶然的。正如光学与几何学相关一样，另一门科学即对虹的研究与光学联系。知道虹存在这一事实是制然哲学家的任务，认识其根据是光学家一一或者是纯粹的光学家或者是数学上的光学家一一的任务。许多并不严格从属于其他科学的科学也具有这种联系，如医学与几何学，医生知道周期性的伤治愈较慢这一事实，但几何学家知道该事实的根据。
【 14 】在所有的格中，最科学的格是第一格。不仅数理科学，如算术、几何及光学通过它推进它们的证明，而且，广而言之，所有探讨根据的科学实际上都通过这一格推进自己的证明。一般来说，在绝大多数情况下，探索根据的三段论都受这个格的影响。由于这个缘故，第一格也可以被认为是最科学的，因为知识的最重要的部分就是对根据的研究。进一步，仅用这个格也能追求“是什么”的知识。因为在中间格中我们得不到肯定的结论。而对事物的“是什么”的知识必定是肯定的。在最后格中我们可以得到肯定的结论，但它不是全称的，而“是什么”却属于全称的范畴。“人是两足动物”并不是在任何特殊意义上而言的。最后，第一格独立于其他格，而其他格则为它所补充和增加，直到它们获得直接前提为止，十分显然，第一格对于知识来说是最关键的。
【 15 】正如 A 可以不可分割地属于 B 一样，它也可以不可分割地不属于 B 。我的意思是，在不可分割地属于与不属于之间没有中词。在这种情况下，属于或不属于就不再依赖其他词项。当 A 或 B 或两者被包含在某个整体中时， A 就不可能在首要的意义上不属于 B 。让 A 被包含在 C 的整体中，如果 B 不被包含在 C 的整体中（ A 被包含在某个整体中，而 B 却不被包含在其中，这是完全可能的），那么就会有三段论证明 A 不属于 B 。如果 C 属于 A 的所有部分却不属于 B 的任何部分，那么 A 就不属于 B 。如果 B 被包含在某个整体中，譬如说， D 中，则情况亦相同。因为 D 属于 B 的所有部分，所以 A 不属于 D 的任何部分，因而通过三段论表明， A 不属于 B 的任何部分。如果两者都被包含在同一个整体中，那么证明将会采取同样的形式。
B 可以不被包含在包含着 A 的整体中，反之亦同样成立，这一点通过一系列互相排斥的谓项可以明显地看出。因为如果 ACD 系列中没有词项能作为 BEF 系列中任何词项的谓项， A 整个被包含在前一个系列的一个词项 H 中，那么很明显 B 就不能被包含在 H 中，不然，系列就不会相互排斥了。如果 B 整个地被包含在另一个词项中，情形也同样。另方面，如果没一个词项整个地被包含在另一个词项中，如果 A 不属于 B ，那它必然不可分割地不属于 B 。如果有中词，那么它们之中必有一个完全被包含在某个整体中。三段论要么在第一格中，要么在中间格中出现。如果它在第一格中出现，那么被包含在某个整体中的就是 B （因为与 B 相联系的前提必定是肯定的）；如果它在中间格中出现，那么被包含在整体中的既可以是 A 也可以是 B 。因为当否定陈述只跟其中一个相关时，三段论存在，如果两个都是否定的，那就没有三段论。
因而很显然，一个词项可以不可分割地属于另一个。我们已经说明它在什么时候可能以及怎样才可能这些问题。
【 16 】不是从否定的意义而是从一种肯定习性来考虑，无知是由于推论而产生的错误。在陈述一个直接的肯定或否定的联系的命题中，它以两种方式出现：（ 1 ）当我们单纯地设定一个词项属于或不属于另一个时；（ 2 ）当我们通过三段论产生这一设定时，从单纯设定产生的错误是简单的，但它基于多种形式的推论之上。让 A 不可分割地不属于任何 B 。那么如果我们以 C 为中词，推得 A 属于 B； 我们的错误就是通过推论而产生的。要么两个前提都可能是假的，要么只有其中一个可能是假的。（ 1 ）如果 A 不属于任何 C；C 不属于任何 B； 而我们对它们都作了相反的判定，那么，两个前提都是假的。 C 这样与 A 和 B 相联系是可能的，以至它既不从属于 A 也不普遍地属于 B 。 B 不可能整个地被包含在某个整体中（因为我们说过 A 不直接属于它）， A 不必然普遍地属于一切事物，因此两个前提都是虚假的。（ 2 ）也可能断定一个真实的前提，当然不可能任何一个都行，而只能是 AC ，前提 CB 总是虚假的，因为 B 不被包含在某一整体中，但 AC 可以是真实的。例如，如果 A 不可分割地既属于 C 也属于 B 。如果同一词项直接作为多个主项的谓项，那么这些主项都不属于另一个。如若（ A 与 C 的）联系不是不可分割的，结果并不两样。
这样，关于肯定属性的错误只是从这些原因，在这些条件中产生的（我们已经知道工〕证明全称肯定联系三段论不可能在其他格中出现），但关于否定属性的错误却既可以出现在第一格中，也可以出现在第二格中。让我们首先说明在第一格中，它以多少形式出现，前提又是如何相联系的。
错误在下列两种情况下是可能的：（ 1 ）当两个前提都虚假时。例如，如果 A 不可分割地既属于 C 也属于 B ，因为 A 被断定不属于任何 C ， C 不属于任何 B ，那么两个前提都是虚假的。（ 2 ）当两个前提中有一个虚假（这个前提可以是任意的）时。 AC 可以是真的，而 ca 可以是假的， AC 可以是真，因为 A 不属于一切事物， CB 可以假，因为当 A 不属于任何 C 时， C 不能属于任何 B ，否则，前提 AC 就不再真实了，此外，如果两个前提都是真实的，那么结论也是真实的。再者 CB 可以真而 AC 可以假。例如，如果 B 既被包含在 C 中也被包含在 A 中，因为它们之中有一个必定从属于另一个，因而如果我们设定 A 不属于任何 C ，那么前提就是虚假的。十分明显，无论只有一个前提假还是两个前提都假，三段论都是假的。
在第二格中，（ 1 ）两个前提都假是不可能的（因为当 A 属于所有 B 时，我们不能找到这样一个词项，它属于一个的全体却不属于另一个的任何部分，但是我们必须以这种方式断定三段论，即，，果三段论存在，那么中词从属于一个端词而不从属于另一个。如果这样断定的前提是虚假的，那么断定相反的前提显然会获得相反的结果。但这是不可能的）。但是，（ 2 ）没有什么阻止两个前提可以部分虚假。例如，如果 C 属于部分 A 和部分 B ，因为如果它被设定从属于所有 A ，不从属于所有 B ，那么两个前提都是虚假的。但不是从属于全体而是从属于部分，则可以成立。如果另一个前提被设定是否定的，情况亦然。（ 3 ）单个前提可以是虚假的，属于所有 A 的也属于所有 B ，如果 C 被设定为属于整个 A 但不属于整个 B ， CA 就是真实的，而 CB 则是虚假的。再者，不属于所有 B 的也不属于 A 。因为如果它属于 A ，它就属于 B ，但根据假设它不属于 B ，因而如果 C 被设定属于所有 A 但不属于任何 B ，那么前提 CB 就是真的，而另一个是虚假的，如果调换否定前提，情况亦相同。因为不属于任何 A 的也不属于任何 B 。这样，如果 C 被设定不属于整个 A ，但属于整个 B ，那么前提 AC 是真实的，而另一个前提是虚假的。又，设定属于所有 B 的不属于任何 A 是虚假的，如果它属于所有 B ，它必定也属于某个 A ，这样，如果 C 被设定属于所有 B 却不属于任何 A ， CB 就是真的， CA 是假的。
因而，十分明白，当两个前提都假以及有一个前提假时，在不可分的命题中，错误的推论是可能的。
【 17 】在不是不可分割的属性中，无论它们是肯定的还是否定的，当推论通过恰当的中词产生虚假的结论时，不可能两个前提都假，只有大前提才可能虚假（所谓“恰当的中词”即通过它可产生相矛盾结论的中词）。让 A 通过中词 C 属于 B ，为了产生三段论，前提 CB 必被设定为肯定的，很明显，它必定始终是真实的，因为它不能够转换。但 AC 却是假的，随着它的转换，三段论莽得相反的结论。设定中词要从另一谓项系列中取得，情况亦同样。例如如果 D 既完全包含在 A 之中，又作为一切 B 的谓项，前提 DB 必定静止不变，而另一个却可以被转换，因而 DB 始终是真实的，而后者却总是虚假的，这类错误实际上与通过中词推得的错误相同。不过如果三段论不是通过恰当的中词而产生的，中词属于 A 却不属于任何 B ，那么两个前提必定都是虚假的。如果三段论要成立，则前提必须在相反的意义上被设定。当它们这样被设定时，二者都变成虚假的。例如，如果 A 属于整个 D ， D 不属于任何 B ，当这些陈述发生转换时，就会有三段论存在，它的两个前提都是虚假的。但当中词，例如 D ，不属于 A 时，前提 AD 就是真的， DB 是假的。 AD 是真实的，因为 D 不包含在 A 之中。 DB 是虚假的，因为如果它是真实的，那么结论也会是真实的，然而根据假设，结论是虚假的。
当错误在第二格产生时，两个前提完全虚假是不可能的（因为如我们以前说过的，当 B 从属于 A 时，没有事物能属于一者的全体而不属于另一者的任何部分），但其中一个前提可以是虚假的，任意哪个都行。如果 C 既属于 A 也属于 B ，如果它被设定属于 A 却不属于 B ，那么前提 CA 就是真实的，而另一个是虚假的。再者，如果 C 被设定属于 B 却不属于 A ，那么 CB 是真的，而另一个是虚假的。
这样，我们就说明了如果错误的推论是否定的，那么什么时候以及从什么样的前提中错误会产生。如果它是肯定的，那么，（ 1 ）当它通过恰当的中词而推得时，两个前提都假是不可能的，因为如我们在上文已说过的，如果有三段论，那么前提 CB 必定是静止不变的，因而 AC 始终是假的，因为它是（性质）要被转换的前提。（ 2 ）如我们在涉及否定性的错误时所说的，设定中词取自另一个谓项系列，那么情况亦相同。因为 DB 必定是静止不变的。 AD 在性质上可以转换，这错误与以前的相同。但是，（ 3 ）当结论不是通过恰当的中词推得，如果 D 从属于 A ，那么这个前提是真实的，而另一个是虚假的。因为 A 可以属于多个互相间不从属的词项，但是如果 D 不从属于 A ，那么很显然这个前提始终是虚假的（因为它被设定为是肯定的），反之， DB 可以是真的或假的。没有什么阻止 A 不属于任何 D 而 D 属于所有 B （例如，动物不属于任何科学，但科学却属于一切音乐），也没有什么阻止 A 不属于任何 D ， D 不属于任何 B 。（这就很明白，当中词不从属于 A 时，两个前提都可以是假的，并且其中任意一个都可以是假的。）
这样，三段论的错误可以以多少种方式，以什么样的前提出现在直接属性以及证明属性中，就十分清楚了。
【 18 】同样明白的是，如果感觉功能丧失了，那么某些知识必定随同它而丧失，因为我们的学习要么通过归纳，要么通过证明来进行。证明从普遍出发）归纳从特殊开始，但除非通过