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不可能事件 其概率值为
或然事件 它是介于必然事件与不可能事件之间的事
件，其概率值为 与 之间的一个实数。
投掷一枚硬 币，我们排除掉硬 币能够站立这种可能性。
“这枚硬 币或者正面向上或者反面向上”，这是一个必然发生
的事件，它的概率为 “它既不是正面朝上也不是反面朝
上”，为不可能事件，其概率为 它正面 向上 （或反面 向
上）的事件为或然事件，其概率为 与 之间的一个值。
有人会认为，我们得到某个事件的非 、非 的概率值，
意味着我们对该事件没有足够的知识。因为，如果我们知道
了我们投掷硬 币的各种因素，我们就能够计算出来硬 币会出
现正面还是反面，既然我们知道被投掷的硬币出现正面 （或
反面）的某个可能性，表明我们对抛掷硬 币的情况没有足够
的知识。确实，从理论上，如果我们知道了投掷硬 币的各种
因素，我们能够确定地计算出硬 币出现正面还是出现反面，
但实际上这是很难的，如果不是不可能的话。事实上，我们
用概率刻画事件，这个概率是对外部世界中的事件发生的一
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个表达，它包含了某些信息。比如，当我们投掷一枚均匀的
硬币，我们说，它正面向上的概率为 。这个概率值含有丰
富的信息，它表示这枚硬币正面与反面出现的可能性一样。
我们每天均生活在 “不确定”的世界之中：商人 目前的
生意很好，但他知道有可能出现像 “非典”这样突发事件而
使他破产；参加竞选的政客尽管从选前的情况来看对他有利，
但他不能肯定他必然当选；连战和宋楚瑜预先没有想到会有
枪击事件”；贪污犯每天都在估摸着被抓和不被抓的可
能性；保险公司的职员更是经常与不确定性打交道……正是
“不确定性”使社会丰富多彩。
人们对概率存在着三种解释：第一，概率为事件发生的
频率，如人们掷硬 币时，出现正面的概率是出现正面 （或反
面）的次数与总的掷出的硬 币次数之 比率；第二，命题之间
的逻辑关系，如： “一只天鹅是白的”对 “所有天鹅是白的”
支持程度；第三，人们对外界事件发生的相信程度，如：张
三认为 “明天下雨”的可能性小，如为 （不下雨的可能性
为 ，李四认为 “明天下雨”的可能性与不下雨的可能性
一样 （均为 。这就是对概率 的“频率主义 ”、“逻辑主义 ”
和 “心理主义”的解释。概率的这三种解释反映了人们实际
中的三种用法。
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好了，高深的理论难免会让你看的头昏脑张，我在这里
尽量避免用专业的术语来说明概率，还是先来看一个著名的
故事 美女还是老虎，通过故事讲解概率会更轻松易懂一
些 。
从前有个国王，在惩罚罪犯时有个古怪的习惯：把罪犯
送进竞技场，竞技场的一端有两扇一模一样的门，门后分别
关着一只凶猛的老虎和一位美女。国王惩罚犯人的方式就是
让他 自己挑一扇门，如果他选中老虎，那么后果可想而知；
如果选中美女，他不但可以马上获释，还可以抱得美人归。
一天，他发现有位英俊潇洒的臣子与公主私通，一怒之
下，也把这个青年送到竞技场，处以传统的惩罚。事前，公
主已经知道哪扇门背后藏的是什么，于是相当苦恼，不知该
把爱人送入虎口，还是送到另一个女人的怀抱？
当命运攸关的这一天来临时，在别无选择的情况下，这
位臣子在竞技场上望了公主一眼，公主示意他选择右边那扇
，他打开门……故事就到此为止。它把一个悬念留给我们：
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他遇到的是美女还是老虎 ？
如果你对佛理有一点兴趣，你可以说 “美女就是老虎，
老虎就是美女”之类的漂亮话；如果你对动物学有一点兴趣，
你可能会说 “大多数老虎并不吃人”。可是假如你 自己陷入了
那个境地，可就没有开玩笑的心情了。两种选择的结果好坏
是明摆着的，可是指导我们选择的信息却很少，而且不可靠。
除了碰运气，我们还有没有更好的机会呢？
这个故事其实反映了一个人们熟知的概念，那就是概率。
明天会不会下雨？丢铜板会出现正面还是反面？想拿到一手
好牌吗？这些问题都涉及概率。
某种事件在同一条件下可能发生也可能不发生，表示发
生的可能性大小的量叫做概率。例如，在一般情况下，一个
鸡蛋孵出的小鸡是雌性或雄性的概率都是
按照巴特勒的说法，概率是 “生活的真正指南”。概率论
已经广泛运用于科学、技术、经济和生活的各方面。要打好
做决策的基础，就得在概率方面多下点工夫。
在许多决策的问题里，决策者必须单凭些片面的信息，
甚至没有任何信息的情况下，从好几个选择方案中挑选其中
之一，这个时候，就不得不乞灵于运气了 或更准确地说，
听命于概率的拨弄。那么在这种情况下，还有没有什么更可
取的策略 ？
决策的形成共有五个步骤，每个步骤都极其简单：
列出所有可以采取的行动，包括不采用的行动也要
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列出来，而决策就是从各种可能的行动方案中选出一个来；
尽可能列出每个行动的可见后果；
尽量评估每种结果可 能发生 的机会 （可能性和概
率），这一点常被忽略，因此应仔细加以讨论；
）试着表达你对每种结果的渴望或恐惧程度；
最后把列出来的所有因素全部放在一起考量，做出
合理的决策。
我们会逐项探讨后面三个步骤 （前两项步骤会随着决策
而有所不同，故在此暂不讨论）。如果根本没办法列出选择方
案或可能的结果，那么你一定得先解决这两个 问题，绝没有
第二条路可走 。毕竟决策的本质就是从众多选择中，挑出一
个最好的，其 目的就是要达到最佳结果。如果你连备选方案
都说不出来，更别想做出任何决策。当然，也不讳言人生的
确存在着未知的选择，也会有出乎意料的结果，但这些实际
生活中的悲剧或惊喜并非本书的主题。
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究竟是概率 （比如我们说的硬币哪一面朝上的可能都是
）决定了个别事件 （某一次掷硬币）的结果，还是个别
事件结果的积累决定了概率 ？
在理论上当然是概率决定了个别事件 （某一次掷硬币）
的结果，但是现实往往与理论给出的答案不相符。
比如，你可能会说： “好吧，我承认，硬币哪一面朝上的
概率都是 ，可是如果我连扔 次都是正面，那么下一次
还是正面的概率就应该小于平均值，否则，整个的概率不是
就偏向正面了吗？”
又比如某个外国人可能不相信全世界每五个人中就有一
个中国人，只因为他认识的所有人中没有一个是中国人。原
因是他的取样太少了，范围又太窄了。
《何为先 一书的作者山谬尔 巴特勒说过，只要掷的
次数够多，铜板就有一半的机会出现正面。这毕竟是因为出
现正面的概率 所造成的，或者不过是概率的定义罢了。
但是，在现实中又有谁会这么不厌其烦地掷这么多次铜
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板？如果今天就得下注，你还会反反复复先去试验吗？或是
足球裁判丢一次铜板决定哪一队先开球，这第一次掷的铜板
的结果与概率又有什么关系？所谓的长期或次数够多又有什
么用 ？
在医院做手术之前，医生通常会告诉我们 ：这种手术成
功的概率是 。其实，这句话还不足 以让我们高枕无忧，
成功的概率是 仅仅意味着大部分情况下手术会成功，也
有及其意外的情况下手术会失败，它失败的概率是 。但
是万一恰巧很不幸，如果遭遇手术失败，那么对这个病人来
说失败的概率就是 了 。
如此看来，概率真是个有趣而又重要的课题，它在很多
方面发挥着重要的作用，我们有必要去了解概率，但是不能
迷信它，因为它有时在生活中确实派不上用场，甚至会误导
我们的想法。
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现在再让我们来看一下运用贝叶斯定理进行条件概率计
算的两个 “疑难”问题。
先来看“囚犯 的错误 ”。
非洲草原上的部落酋长抓住三个贸然闯入领地的入侵者。
他们是史密斯、琼斯和费奇。酋长决定明天将处决他们之中的
两个。究竟处决哪两个，由酋长来决定，并且已经做出决定。
谁被选中，酋长以及看守是知道的，三个囚犯在处决前是不知
道的。当地的法律规定不允许看守透露给囚犯该囚犯是否被选
中的任何信息。这三个囚犯被分别关押，彼此不通消息。
晚上，费奇恳切地询 问看守，明天 自己是否将被处死。
看守考虑到不管费奇是否被选中，另外两人之中的一个总要
被处决。所以看守说： “我们不能告诉你你是否被处死，但琼
斯将被处决。”在看守看来，告诉费奇 “琼斯将被处决”并没
有 向费奇透露任何与他有关的信息。但是，费奇听到看守说
出 “琼斯将被处决”，非常高兴。他推断，他逃脱厄运的概率
已经从 提高到
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对同一句话 “琼斯将被处决”，费奇与看守看法出现了不
同：在看守看来，这句话对费奇没有任何信息内容，而费奇
则认为这句话里包含新的信息。事实上，这两个人的推断不
可能均正确。谁的推断有错？是费奇的还是看守的？
费奇计算了 “琼斯被处决的条件下”， 自己被处死的概
率，此时费奇处死的可能性确实降低了。但这里的条件不是
“琼斯将被处决”而是 “看守告诉费奇 ‘琼斯将被处决 ，。这
是两个不同的条件。由于看守是守法的，看守想，琼斯和史
密斯之中必定有一个将被处死，而这也是费奇知道的，看守
认为，他只不过将费奇知道的事情告诉费奇而 已。因此，错
误出现在费奇的推理中。事实上看守的话并没有增加费奇不
被处决的概率。
我们来看另外一个与此相仿的例子：抽奖者的难题。
有这样一个博弈， 三个门中有一个门的后面有
一辆汽车，另外两个门的后面一无所有。现在让一个人来选，
如果他选的门后面有汽车，他将得到汽车；如果他选择的门
的后面一无所有，他将一无所得。
假定该选择者选择了一个 门，比如 门。由于他所选择
的门的后面无论有无汽车，另外的两个门中的一个门的后面肯
定没有汽车。主持人知道每个门后面的情况，现在主持人打开
了另外两个门中的一个 该门的后面没有汽车，比如 门。
对于主持人来说，这没有告诉选择者任何信息。现在主持人告
诉选择者还可以改变选择，即在 已选择的 门和未打开的
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门之间进行选择。问：选择者应不应该改变他的选择？
主持人打开其中一扇 门，使得选择者原来选择 的门即
门后面有汽车的概率增加了，即从 增加到 。或者，
没有增加选择者选择 门后面有汽车的概率，即选择 门后
面有汽车的概率仍为 ，这样， 门后面有汽车的概率增
加了 从 增加到 。哪一种看法对呢？
这里，主持人的行为增加了选择者的知识 门后 面
有汽车的可能性得以排除，这是确定无疑的，但是主持人的
行为增加 了选择者 已经选择 的门 （ 门）的概率，还是增加
了另外一个门 （ 门）的概率 ？
这里的概率有其客观基础，而不是纯粹的心理信念 。这里
的概率为 “频率”。我们设想一下，如果让选择者重复选择的
话，那么，他选中汽车的次数与总的选择次数之比为 既然
如此，在每次的选择过程之中，他应当相信，他所选的门后面
有汽车的可能性为 ，而不管主持人是否打开另外的一个空
门。即，当主持人打开空门时，选择者已经选择的门后面有汽
车的可能性仍为 ，主持人的行为只是增加了另外一个没有
打开的门后面有汽车的概率：由 增加到 。如果问选择
者是否改变他的选择，选择者当然应当调换他的选择 。这如同
你去抽奖：假定一百万张彩票中有一张有奖，你随机买了一张。
假定举办者知道哪张彩票有奖，他对你说：其他 张彩票
中没有奖 ，你手里 的一张彩票和另外一张彩票 中必有一个有
奖 他不说假话。规则规定你可以与另外的彩票 “调换”。举
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办者问你：你将继续持有你手里的这张彩票还是换另外一张彩
票 ？你面 临着这样 的选择 。此 时，你 当然要选择“调换 ”：如果
选择“调换 ”，你 中奖 的可 能性为 “不调
换 ”的话，你中奖的可能性为 。你信还是不信 ？
这两个所谓选择难题是 由于人们对概率或概率的改变的
不正确理解造成的。
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如果告诉你，一个硬 币在平滑桌面上旋转之后，一面 向
上的次数多于另一面，也许很多人会大吃一惊 。其实硬 币的
正反面重量分配确实不同，正面背面图案的差别，