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现在来看看有关三个火枪手的博弈。这是美国勃拉姆斯
教授给他的 名学生设计的博弈游戏。
勃拉姆斯教授对这 个学生说，游戏规则是这样的：假
定你们是 个决斗的枪手，每人一把枪，枪里只有一发子弹，
并假定你们的命中率为 ，而你们每人的目标是，尽量
使最少人活着并且你也活着，即：最优结果是，其他两个枪
手被打死，而 自己活着；次优结果是，有一个枪手活着，自
己也活着；第三优的结果是，三人同归于尽；最差结果是，
自己被打死而其他枪手一个或者两个活着。问题是：当仲裁
人说开始时，枪手开枪还是不开枪？
当勃拉姆斯教授说开始时， 名学生毫不犹豫地以手代
枪瞄向对面的两个学生中的一个。
勃拉姆斯教授说， “理性的”枪手是随机选取另 个枪手
中的一个开枪，而不是不开枪。因为，自己是否活下来并不
取决于 自己是否开枪，但 自己如果不开枪的话，其他人活下
来的概率增加，因此，开枪是 “最优的”策略。
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勃拉姆斯教授又开始了第二个游戏，他对 名 同学中的
一个说： “现在给你一个机会，让你先开枪，可瞄向你想射击
的 目标，当然你有另一个选择，即对空中放枪。你将如何选
择 ？”那个学生想 了想 ，将手指 向空 中，说：“我选择 向空 中放
枪 。”
勃拉姆斯教授向在座的学生解释说： “这是理性的选择。
因为，如果他选择一个人作为靶子，并开枪杀死了对方 （因
为命中率是 ，那么剩下的人将毫不犹豫地把他作为靶
子。结果是，他将死掉，另外两个人中的一个人将活着。”勃
拉姆斯教授说： “如果他放了空枪，其他两个枪手因他 自动解
除了武装，不再构成威胁，而将枪瞄向对方。结果是后两个
枪手发生 自相残杀。因此，一个理性的枪手在规则允许的条
件下，将向空中放枪。”
勃拉姆斯教授说：当第一个人朝天放枪后，后两个枪手
会预见到这个 自相残杀的结果，从而建立一个约定，一起朝
解除武装的人开枪，但这个约定是无效的，因为：一旦对方
决定向解除武装的人开枪，自己朝对方开枪是 “最优”策略。
当每个人均这样想时，约定便无效了。
上面的博弈是设计的博弈游戏，下面来看看带有故事情
节的 个火枪手的博弈。
在一个西部小镇上， 个枪手正在进行生死决斗，枪手
甲枪法精准，十发八中；枪手乙枪法不错，十发六中；枪手
丙枪法拙劣 十发四中。假如三人同时开枪，谁活下来的机
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会大一些？
假如你认为是枪手 甲，结果可能会让你大吃一惊：最可
能活下来的是丙 枪法最劣的那个家伙。
假如这 个人彼此痛恨，都不可能达成协议，那么作为
枪手 甲，他一定要对枪手乙开枪。这是他的最佳策略，因为
此人威胁最大。这样他的第一枪不可能瞄准丙。
同样，枪手乙也会把 甲作为第一 目标，很明白，一旦把
他干掉，下一轮 （如果还有下一轮的话）和丙对决，他的胜
算较大。相反，如果他先打丙，即使活到了下一轮，与甲对
决也是凶多吉少。
丙呢？自然也要对 甲开枪，因为不管怎么说，枪手乙到
底比甲差一些 （尽管还是比自己强），如果一定要和某个人对
决下一场的话，选择枪手乙，自己获胜的机会要比对决甲多
少大一点。
于是第一阵乱枪过后，甲还能活下来的机会少得可怜将
近 ，乙 是 ，丙 是
通过概率分析，你会发现丙很可能在这一轮就成为胜利
者，即使某个对手幸运地活下来，在下一轮的对决中，也并
非十拿九稳，毕竟丙还有微弱的机会。
现在换一种玩法 （我们知道 ，有 时胜负是 由规则决定
的）：三个人轮流开枪，谁的机会更大 ？
这里我们又要遇到琐碎的排序 问题，但不管怎么排，丙
的机会都好于他的实力。至少，他不会被第一枪打死。而且，
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他很可能有在第二轮首先开枪的便宜。
例如，顺序是甲、乙、丙，甲一枪干掉了乙，现在，就
轮到丙开枪了 尽管枪法不怎么样，但这个便宜还是很大
的：那意味着他有将近一半的机会赢得这次决斗 （毕竟 甲也
不是百发百中）。如果乙幸运地躲过了甲的攻击呢？他一定要
回击 甲，这样即使他成功，下一轮还是轮到丙开枪，自然，
他的成功概率就更大了。
问题来了：如果三人中首先开枪的是丙，他该怎么办？
他可以朝 甲开枪，即使打不中，甲也不太可能回击，毕
竟这家伙不是主要威胁，可是万一他打中了呢？下一轮可就
是乙开枪了……
可能你会感到有点奇怪：丙的最佳策略是乱开一枪 ！只
要不打中任何人，不破坏这个局面，他就总是有利可图的。
（当然你可能会说，鉴于这家伙的没有准头，也许他乱开枪反
而更可能打中什么入。但那就是另外的问题了。）
这是一个很有意思的结果，枪法最准的人，他应当是最
强者，但他活下来的机会比较小，这里只有 。而活下来
机会最小的是次强者，或者说没有机会，因为他对最强者的
威胁最大。能够活下来，或者说，活下来的概率最大的是最
弱者，任何人均不把他看作有威胁的。
无论是在人与人的关系的争斗之中，还是在国与国之间
的对抗之中，我们发现，这个模型有较强的说明力。最易受
攻击的是强者的敌人，如冷战时期的前苏联，冷战后的伊拉
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克；其次危险的是最强者，因为其他人均将矛头对准它；这
两者之外的则相对安全。
同时这个故事告诉我们：在多人博弈中，常常会发生一
些奇怪的事情，并导致出人意料的结局。一方能否获胜，不
仅仅取决于他的实力，更取决于实力对比造成的复杂关系。
你可能已经发现，乙和丙似乎达成了某种默契：在 甲被
干掉之前，他们相互不是敌人。
这不难理解，毕竟人总要优先考虑对付最大的威胁，同
时这个威胁还为他们找到了共同利益，联手打倒这个人，他
们的生存机会都会上升。而且，从悲观的角度看，他们恐怕
也活不到需要相互拼个你死我活的时候。
但这个 “同盟”也是很不牢固的，两个人都在时时权衡
利弊，一旦背叛的好处大于合作的好处，他们马上就会翻脸。
在这个 “同盟”里，最忠诚的是乙 只要甲不死，他
就不会背叛；丙就要滑头多了，在前面轮流开枪的例子中，
他不朝 甲开枪，从同盟者的角度说，就是没有履行义务，而
把盟友送上危险的境地，这不是因为道德水平不同，而是处
境不同。乙是 甲的头号 目标，这个敌人一定要 向他开枪的，
完全没有回旋的余地；而丙不同，他随时愿意牺牲乙换取下
次 自己的先动手之利。
除了压力较小之外，还有一个动力驱使丙背叛，那就是
一旦干掉 甲后，乙的机会 比他要大，他至少要保持先下手，
才可能一争高下。
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我们在讲述 “三个火枪手的决斗”时设立的基本前提是
每位参赛者都是理性的，而且都力图为 自身利益考虑。这个
问题的一项教益在于，显而易见的策略 每位参赛者都试
图除掉较强的对手 并不一定是好策略。
枪战决斗的另一项教益是，几千年来，人类始终把一条
黄金法则当成行为的准则。这项法则是：种什么因，收什么
果。你种的善因或恶因，最后都会回报到你 自己的身上。在
缺乏有关参赛者能否联络、共谋、进行威胁或达成有约束力
并可以实施的协议等信息的情况下，对可能的解法是不能进
行正确评估的。在对策论中，往往需要了解这样的社会学因
素。
无须试图进行严格的论证，我们就能很容易地理解，枪
战决斗可能类似于政治或经济的竞争。按照纽约大学政治学
教授斯蒂温 布拉姆斯的看法：枪战决斗的知识可以扩展到
多位候选人的政治竞选上。布拉姆斯说道： “看来这些候选人
的最佳战略，莫过于在他的部分政治势力范围内追随最强的
对手。
如果你是一个 自由主义者，而且另外还有两位 自由主义
者，那么你就要追随最强的一位。于是所发生的情况将是两
位最强的对手就会彼此攻击，而最弱者就会存留下来了。”
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联盟与对抗
假设敌对三方正在相互作战，他们分别为 ，各
有 个 、 个 、 个 单位 的军 队 （坦 克 、军 队 、战机 皆
可），现在开始射击。在蓝氏定律下，每位士兵都会向目所能
及的陌生人开火，无论其属于哪一方。当尘埃落定，军队数
少的一方定会被全面消灭，而 与 则各剩 个与 个单
位的军队。不仅军队最少的一方会成为历史，第二大势力
比起 也是损失惨重。 大约丧失一半的军力，而 不过从
减少到 ，所以 可 以在少量损失的状况下，轻而易举
除掉 。因此对多数的一方来说，采取随意射击是很有利的，
而 和 互射的结果就是等于间接帮了 军队。
假设 和 两军将领都知道这种状况，于是决定以结盟
的方式，联手对抗 ，至于这两军如何处理他们之间的分歧，
容后再谈 。于是联军共有 个单位，远远超过 军，假定
仅需要耗损联军的 个单位即可击败 军，这当然比白白
牺牲要强得多，也同时说明军事联盟这么受欢迎的主要原因。
当然，未必每次联盟都能这么成功。因为结盟双方都很清楚，
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他们很快就必须摊牌，因此多会有所保留。
还有一个有待解决的问题，在 和 共同与 对决时，
彼此的相对损失如何，这会影响到下一次战斗时双方的情势。
同样地，这个数学计算太过繁琐，假定结果是双方将分别损
失 ，因此 的 个单位会剩下 个单位，而 的
个单位则剩下 个单位。在联盟的情形下，成为历史的就是
与 则在共 同行动中，分别失去同比例的军力。而在
接下来的战役中， 会获胜，不过损失惨重，原来 个单
位，大约只会剩下 个或是 个，所 以他可能会因为损失
过大而觉得不值得和 决战。
从三方竞赛中两方结合是有利的这个原则，可引申到多
人参与的游戏当中，而人们过去的经验也证实了这一点。
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三国的曹、刘、孙三家关系，就是 “枪手博弈”很典型、
也很有趣的例子。
“赤壁之战”中，曹操实力最强，孙权次之，刘备最弱。
孙、刘都无法单独对抗曹操。为了抵挡最强大的曹操，孙刘
必须联合起来。孙权拥有六个郡的地盘和数万军队，而刘备
没有地盘，只有不足两万人马。用上一节中的例子来比，孙
权是乙，刘备是丙。
我们 已经知道，乙是这个 “暂时联盟”中较肯卖力的一
方，所 以孙权不但 “火烧赤壁”打败曹操，更在此后还长期
承担了对抗曹操的主要任务。而刘备虽在赤壁之战中也出了
力，但此后几年未与曹操打过大仗 （也就是没有尽联盟义
务）。倒是趁此机会扫荡地方势力，扩充地盘，直至 占据两
川，将曹操赶出汉中，又派关羽北伐，水淹七军，不但取代
了孙权原来的老二地位，甚至有可能击败曹操，成为新的老
大。孙权地位跌落到老三，他的策略也随之改变。
于是孙权趁关羽北伐后方空虚之机，与曹操合谋，夺取
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了荆州，杀死关羽。结果是同盟破裂，刘备兴兵报仇，又被
孙权打败。蜀汉从此衰落，东吴也面临两面作战的不利局面。
如果分析一下孙权的心理，我们可能对他的背信弃义有
更多同情 。赤壁之战尽管符合他的利益，但到底是他出力挽
救刘备，此后他不但把荆州长期借给刘备，还把妹妹嫁给了
这个老头子。他尽了同盟的义务，曾与曹操大战数次，不仅
损兵折将 （他的大将董袭、陈武等都在战斗中阵亡），而且他
自己也险些在战争中送命 。可是从收益上说，他与刘备是
“牛打江 山马坐殿 ”，感到不平衡是正常的。
可是从对策论来看，孙权却犯了一个大错误，由于嫉妒，
他过早和刘备翻脸，致使两败俱伤。这就好比枪手丙突然翻
脸 向乙开火。坐收渔利的当然是 甲。虽然曹操的继任者曹丕
没能抓住机会夹攻孙权，一举消灭这两个敌手，但蜀和吴此
后已经没有可能打败魏国了。
那么，孙权的最优策略是什么？回想上节的枪手决斗就
明白了。既然 已经落到丙的地位，就该以丙的策略行事。让
刘备去和曹操恶斗， 自己扩充势力，养精蓄锐，随机应变。
无论两者胜负，自己都能从中渔利。
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理性的人懂得运用智慧推理得出事情的真相，推理在博
弈思维中占据着重要的地位。下面我们讲三个趣味推理故事，
推理的过程充满了趣味和逻辑智慧。
小李和小王都是张老师的学生，张老师的生 日是 月
日， 人都知道张老师的生 日是下列 天中的一天，这
天为：
月 日， 月 日， 月 日；
月