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b × h ds × dx = ？b？？
H b ？dx
dt ？
dt ？
或 （b × h × ？x）？
x；t
t
b
s = ？（b × ？ H
× ？x）？ ？
（5）
此式的意义是，当一定时刻含沙浓度 s 在水体 （bh？x）里沿程 ？x 过了 ？t 时间所增
加的输沙重量微量 （bh？x） ？
x ；t
s 一定就是从这一地点 x 处河床里所冲起来的床沙
t
b
微量 ？（b ？ ？ H
？ ？x） 乘以其具有空隙的床沙容重 ？ ？ 所得的沙重增微量
t
b
？（b； ？ H
？ ？x）？ ？ 。换句话说，就是，当一定时刻 t 从一定地段 ？x 在相应时段 ？t 冲
起来的沙重增微量，就是当时当地水流中本身所加浓的沙重，以及沙重沿程随时
增加的输沙微量；否则沙到哪里去了呢？或沙从哪里来的呢？下面再作一图例说
明，使读者心中完全明确，目前流行的沙流连续方程是极其错误的，它错误地引
4
导了连续方程在水动力学中的应用途径，连带模型比尺的理论一起导入了错误的
途径。
设在某段水沙流中水宽 1 米，水深 h = 1 米，每粒沙的直径和容重都是一样
的，如图 2 所示。设开始水沙流是恒定的、均匀的，在时段 ？t 内有 4 粒单位沙
（q ？t = 4） 通过断面。接着河底平均冲深了 ？ H
= ？0。03 米。在河底上每米河宽、
s t b
沿程 ？x 的平原上原来铺着 100 粒单位沙。（图中画了 10 粒，每米河宽有 10 行）
根据式（5）
（1×1× ？x）？
x；t
s = ？（1× （0。03）× ？x）×100
因此有 ？ x ；t ，s = 3 粒单位沙冲了起来。图中画的是 2 粒冲到顶上水里加浓了水中
？（hs ）
？ ？q ？
含沙浓度，= ？t？x = 2 粒单位沙；另外 1 粒顺流而下，就是 ？q ？t； ？ s dxdt ？ = 1
？t
粒单位沙。
s ？ ？x ？
其次，我们来讨论连续方程在水动力学中的作用。这方程仅仅是水沙质量在
运 动中的 守恒 性质， 还没 有触及 力和 能的守 恒分 析，后 者将 依靠运 动方 程 。
？ ？ ？ ？H b dtdx = ？？ ？（1 ？ ？ H？x） 代表在床面 b × ？x（b = 1） 上在一定时间 ？t 内冲起的
？t t
5
？ ？ ？ ？
沙重。 h ds dtdx = h？ s ＋ s dx ？dtdx ？ （？ s ）＇1× h？x＇ ＋ （？
s ）＇1× h？x＇，代表这床面
dt ？ ？t
？x dt ？ t x
上 h 水深中同时间内加浓了沙重及当水沙流穿过这一体积时增多了的沙重。当此
式和运动方程联解时，若忽略掉最后这一项，结果就不合理了。 沙流连续方程在模型理论中的应用
拿式（4）、（5）和错误的式（1）比较，模比的关系就大大分歧了。按式（1） 得出错误的模比关系是
s
？ = ？t ？q
？H b
？？ ？s ？ x
（见 Yalin 183 页） （6）
在长江模型中则是
？t =
？ x ？ ？？ ？
？1 2 ？ ？
（7）
h s
若按正确的式（4）则是
？h
？h
b
？？H
=
？？ ？
？？s
= ？s
？？ ？
（8）
从前述简明的物质不生不灭的公理出发，同流程内、同时间内冲起来的沙量一定
就是水沙流中增加的总沙重。所以 ？？H ？ ？？ ？ = ？h ？ ？？s ，式（8）应是没有疑义的。
这里根本不涉及时间比尺 ？t 和流程比尺 ？x 。显然，连续方程是根本不能用来定时
间比尺 ？t 的。 ？t 是先已由长度比尺 ？L 和流速比尺 ？V 按佛路德定理决定了的。决
不可用错误的式（7 ）去另外定 ？t 。这样在长流程中就会违背水流模比定律——
佛路德定律——的规定，整个失掉了模型试验的灵魂，使试验的结果没有意义。
正确的连续方程对于模比理论应该指引出正确的模型设计。式（4 ）所导出
的式（ 8 ） 简单明 了地 指出， 由于 水深比 尺 ？h 和冲淤深 度比 尺 ？？H 可取 同值 ，
？？H
= ？h ，因此含沙浓度比尺 ？s 应和床沙带有空隙的容重比尺 ？？ ？ 一样：
6
？s =
若取 ？？H
=？？H
？h
= ？h
？ ？？ ？
（9）
（10）
则 ？s = ？？ ？
（11）
？ ？ 对于均匀的粒径是不随其大小而变的，只有大小参杂的泥沙，因空隙减小而 ？ ？
增大。但当水落时，淤积必先粗而后细，同时的床面铺沙大致具有相近的粒径，
所以 ？？ ？ 可以假设近似一常数，因此同时刻的 ？ s 也是一常数。
所以，连续方程对于含沙浓度比尺 ？ 起着确定的作用，若取 ？ = ？
，它规
s ？H h
s
定 ？ 必须等于 ？？ ？
=
。在本校承试的长江模型中 ？？ ？
1。30
= 1。95 ，那么，除非采
0。665
用 ？？H
？ ？h ，？ s 也必须定为 1。95，而现在采用的模比是根据费里卡诺夫的悬浮功
？ VJ ？
公式 s = ？ s ？ ， ？
= s = 0。0852 ，比 1。95 差 23 倍，也就是比合
s
？ s ？ ？ ？
？ m
？ ？ s ？ ？
？
理的浓度加大了 23 倍。这样，时间比尺 ？t 就从合理的 28。3 扩大到 650，加大了
23 倍。但若 ？？H 仍用 ？？H
依据连续定律，只要 ？？H
= ？h = 175 ，就违反了连续定律，是不合理的。所以，
= ？h = 175 ，式（10），只可能采用 ？s = ？？ ？ = 1。95 ，（式
11），再没有采用 s 的另一个比尺的自由度了。简言之， ？ s 可由 ？？ ？ 按连续方程定
出，毋须另从运动方程推算了。
笔者认为，也可以不必按式（10） ？H 和 h 采用同一比尺。由于河床的冲淤
只占水深的一小部分，改变 ？H 的比尺使 ？？H
？ ？h ，不会显著地影响水流的性质。
我们可以按某一正确的沙流运动方程（但不是费立加诺夫的）来定出另一个 ？ s ，
然后采用
？？H
= ？h
？s
？？ ？
（8）
但不改变 ？t 。这样，既遵守佛罗德定理，也遵守连续定律。例如在长江模型里，
7
若采用 了 ？s = 0。0852 ？ ？？ ？ = 1。95
，同 时用了 ？h = 175
，则必 须采用
= 175 ×
？？H
0。0852
= 7。65 ，而决不可仍用 ？？H
1。95
= ？h
= 175 了。这就是说，我们在
模型里量出的淤积深度只应该乘上 7。65 倍来得出长江里实际的淤深，而不应乘上
？h = 175 ，那样就夸大了 23 倍，违背了连续定律，与实际是不会符合的。
尽 管我们采 用了过大 的时间比 尺 ？t
= 650 ，把时 间再缩小 23 倍， 使
？s = 0。0852 ，浓度 s 也再加大了 23 倍，但在模型里，如同在长江原体里那样，
仍只会遵守着连续定律的。它乃是自然规律，不可能由于错用了 ？t 而遭到破坏的。
客观规律限定我们按照 ？？H
= 7。65 而不用 175 去推算淤沙厚度。
b
若采用
？？ ？ = ？s = 1。95 ， 则 ？？H
= ？h = 175 ；
？h
b
若采用
？？ = ？s = 0。975 ， 则 ？？H
=
2
？h
= 87。5 ；
若采用
？？ ？ = ？s
= 0。195 ， 则 ？？H
= = 17。5 ；余类推。
b
10
b
b
所以，连续方程对沙流的作用是指出 ？？H 与 ？？ ？
的关系。不按 ？？H = ？h 来定
高度比尺，就额外提供了一个自由度。我们可以利用连续方程，在没有一个合理
L ？ h
的浓度公式去制定 ？s 时，去寻求 ？s ：仍按 ？t
= ？ ？ ？？1 = 28。3 以严格遵守佛罗德
b
定理，试用一系列不同的 ？？ ？ 各按式（8）算出 ？？H ，把结果和实测的验证，采用
其中一个最接近原体资料的 ？？ ？ 。这样，我们利用了连续定律去替代那个未知的沙
流运动方程。但在长流程模型中，由于水沙流在不定流中的变形，同一个 ？s 未必
能代表不同断面的情况，这是一种根本性的困难。
8
结 论
？？
1．在沙流连续方程中假设水中含沙浓度 s 不随时而变（ = 0 ）是错误的。
b
？t
必须用泊桑方程，不能用拉波拉斯方程来建立沙流连续方程。
2．沙流连续方程限制着含沙浓度 s 的模型比尺 ？s 和床沙干容重比尺 ？？ ？ 成一
b
定比例：若 ？？H
= ？h 则必须 ？s = ？？ ？ 。但仍可改变 ？s ？ ？？ ？ ，这样做， ？？H 必须相
b
应地改变为 ？？H
= ？h ？s / ？？ ？ 。所以，沙流连续方程提供的是运移泥沙和床沙间的
几何比尺。
ds ？H
3．沙流连续方程可列成 h = ？？ ？ b 。式中两边同是时率，根本不能用来
定 时 间 比 尺 ？t
dt ？t
。 中 外 各 家 用
？qs
？x
= ？？ ？
？H b
？t
= 0 来定 ？t 是错误的。按
？s ？s x st x
？ =
？ st x
1
？t ？t
2 1 1 1
t 2 ？ t1
t x
ds st x ？ s
= 2 2 1 1
dt t2 ？ t1
s
4 ．时间比尺 ？t 是先 由水流的 条件决定 了的。依 据佛罗德 定律 ，
h
？t = ？L
/ ？V
= ？L
/ ？ 1 2 ，它不依赖沙流的情况如 s，q
等等。改变时间比尺 ？t ，
就会在长距离流程后的断面上破坏佛罗德定律，也就是改变了原体中的水流条件
——势能和动能的对比关系，使试验失掉了根本的模拟依据。
5 ．试验中把非恒流简化为恒定流是不许可的。这样，在几段恒定流之间反
？Q
而插进了一些更大更陡的流率的变率 。这种剧烈的变率正是发生剧烈的紊动
？t
？？
和骤淤骤冲（走沙）的原因，在前图线中和模型试验里可以看得很清楚：
？t
和 ？H b
？t
9
？Q
都跟着 一起剧变。决定河槽冲淤大小的决不是所谓挟沙能力或最大浓度 s ，
？t max
？Q ？H ？V
由给定的流速 V 所制定的；而恰恰是那些剧变率 ， ， 。这也是“超
？t ？t ？t
饱和浓度”的成因。研究泥沙运动必须打进水沙非恒定合体紊流的分析，没有这
样做，就是 40 年来泥沙运动理论始终幼稚的原因。
10
连续介体动力学最大能量消散率定律 *
摘 要
本文对连续介体动力学中现有诸经典守恒定律作为第一类定律以外，提出另
一最大能量消散率定律作为第二定律。惟有两类定律同时应用。才能解答一动力
学问题。这个新定律也可引伸到分子物理学的范畴。文中建立了流体动力学和应
用水力学第二定律的一般方程，并证明了固体力学中卡斯的格里诺最小功学说及
应用水力学中培纶格 — 波丝最小特定能量学说为第二定律的推论。
一、连续介体动力学第二定律通论
在连续介体动力学中，固体、液体或气体在外力的作用下，通过空间的运动
或变形通常以自然界的守恒定律，即质量守恒定律和动量守恒定律列式描述（有
时也用到能量守恒定律，但这可以从后者导出）。这些定律，以几个偏微分方程表
达，应用于质量在空间 X、时间 t 微小的宏观基本体积之上。在固体弹性力学中，
这些定律以平衡方程与协调方程表达，在流体力学中则以连续方程和运动方程表
达。除了存在联解诸偏微分方程的困难外，在对各基本体积分时，除非先给出了
一些必需的积分极限函数外，诸未知量仍属不定之数。其理由如下：
在机械运动里，凡储藏着的能有两类：动能和势能。当诸守恒定律应用于一
微小基本体积时，这两种能量的空间、时间积分极限必先各别给出，才能定出诸
未知向量。如固体动力学中的应力与应变，流体动力学中流速、压力与密度。但
应用守恒定律的总能量，可有无穷动能和势能之组合。每一组合对物质运动独立
系统中的应力、应变场各有一解。能量守恒定律所给出的概念仅是，空间运动中
总能量、包括所消散的能量，将守恒不变。因而无从藉此单独地定出未知向量。
* 手稿，1976 年~1982 年。
11
所以必须另外设法寻求总能量中动能和势能分别的组成部分。
在固体力学中通常假设荷载极缓慢地增加，这是按静力的形势分析一个实际
属于动力的问题。其意义是，荷载始于零值，经缓慢地增加，直达一终值而止。
其间全组力量，包括惯性力在内，基本上维持着平衡的状态。所有质点的速度在
变形中近于零，而这样缓慢地施加的荷载所作之功恰等于变形所储存之能量。这
样，就有两种实际存在的能量被忽略掉：施载过程中的动能，及当物体在运动或
变形过程中通过阻力所转化或消散的热能。若将这两项能量计入，则分析各点应
力、应变的问题，便为动力所不定，这不仅对于拉杆之简例如此，对于具有静不 定多余杆件的繁复结构，更是如此。
在流体动力学中，试以最简单的一元流为例，在应用两守恒定律于水流两个
垂直横断面之间以定出水深与流速（亦即势能与动能）之前，必先给知下端断面
上的——即所谓整个流体的控制断面上的——水深与流速。这里所需的水位~ 流
率关系通常藉缺口或管口的经验公式或通过水文测验定出。虽然同样两个守恒定
律用于同样两个横断面，而不同的控制将会给出不同结果的水深与流速。
所以，在自然界里除了守恒定律之外，还存在着连续介体动力学的另一定律
尚待阐明。缺了它，就无法解答运动的问题。各守恒定律可归纳为连续介体动力
学的第一类定律，连续介体动力学的第二定律阐述如次。
凡属固体、液体、气体或其他临界物体连续介质独立系统的整体，以给定的
初始和边界条件，在外力作用下运动时，其所有质点将随时按整体机械能产生最
大的热能转化率，即消散率，形成其应力场和应变场，或者流速场、压力场和密 度场。
这一定律本身是一不待证明的公理，但也可从变分原理推导出来（见附录）。
它符合热力学第二定律：凡独立系统的熵总是趋向着一个最大值。这正象连续介
体动力学中能量守恒的定律之应用于热力学第一定律。下面将证明，这一定律的
推论在固体力学中是卡斯的格里诺最小功学说（Castigliano’s Theorem），在应用
水力学是培纶格 一 波丝最小特定能量学说（Belanger…Boss Theorem）。
第一类的诸定律指出自然界物体的质量和能量等在运动中守恒的规律。第二
定律则指出运动中用于阻力所造成的能量散发率或递减率一定随时成为最大的规
律，其间机械能之转为热能具有热力学的不可逆性。第二定律指明了自然界各种
12
运动，不论在机械的、电磁的或化学的过程中能量发生变化的方向和数量。
严格地说，熵 S 和温度 T 可能受到外界环境对于系统、或由于物体内分解和
电离，额外地增减了热量所产生的影响。这里假设所有这些情况维持不变，或其 影响细微，可以忽略不计。
如前所述，在固体力学里，物体在荷载之下，当任何时刻 t，其总的能量变
率 P = dE 是由下列三部分组成的：储藏着的变形能量变率 dES ，动能变率 dE K ，
dt
和机械能转向热能的消散率
dEd 。
dt
dt dt
= ＋ ＋
P = dE dES dE K dEd
（1）
dt dt dt dt
通常我们忽略掉上式中最后两项，假设荷载所作之总的功（W=E）即等于储藏着
的变形能量 ES 。从动力学角度来看，运动中储藏着的能量为两部分所组成：势能
ES 和动能 EK 。第二定律指出，整个连续介体在运动中任何时刻由于阻力或变形所
消散为热能的变率总是最大：
dEd = 最大
dt
（2）
因此，在给定的荷载率或给定的 P = dE 下，储藏着的总能量变率必为最小：
dt
dES ＋ dE K = 最小
（3）
dt dt
假定荷载极慢地施加，使其动能变率近于零：
dE K = 0
dt
（4）
S =
dE dE dW
乃得 = = 最小
（5）
dt dt dt
通过对荷载全时段的积分，得
ES = E = W = 最小
（6）
这就是卡斯的格里诺最小功学说的表达式，广泛地应用于对静力不定的结构物的 应力分析。
13
上面的解说指出了卡斯的格里诺最小功学说的约略性和限制程度，亦以见连
续介体动力学第二定律在原理上的普通性。这个定律可能影响到开创动力弹性力
学的一个新的领域，人们或将从而觉察连续介体动力学并非一门已臻完善的学科。
关于固体力学这方面的论说将另有专文叙述，后面将专论述流体力学范畴内的第 二定律。
近代基于统计学理的分子学说业已相当