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■图2 尖锥面
■图3 方内圆外尖锥合积
■图4 正弦求弧背术（用圆内积）
在《方圆阐幽》中，李善兰取x2=10…8及x2=2×10…8，用“分离无数法”
归纳得出二项平方根展开式
1 …x12212=…
=nxnn！！。 （2n …3）！！
。
￥
（）
（2n …3 ）！！
然后在四分之一个单位圆内应用尖锥术计算以x2n 的系数
（2n ）！！
为底的诸2n 乘尖锥的合积（图3），得
π ！！
· ！！
。
4
1
2 3
2 1 2 1
= …
…
= ＋
￥。
（ ）
（ ） （ ）
n
n n n
从而获得圆周率π的无穷级数值。
在《弧矢启秘》中，李善兰又用方内圆外的“截积”与尖锥合积的关
系（图4）得到“正弦求弧背”即反正弦的幂级数展开式
a = a ＋ a
…
＋
＋
=
￥。
sin
（ ）
（ ） （ ）
sin
2 1
2 1 2
2 1
1
n
n n
n
n
！！
· ！！
。
然后用直除、还原等方法得到其他诸多三角函数和反三角函数的幂级数展
开式
a a a a a
a a a a a
a a a a
a a a a a
a a a a a
a a a a
a
= … ＋ … ＋
= … ＋ … ＋
= ＋ ＋ ＋
= … ＋ … ＋
= ＋ ＋ ＋
= ＋ ＋ ＋ ＋
=
tg tg tg tg
vers vers vers
tg
vers
1
3
1
5
1
7
6
9
46
90
44
105
2
1
12
2
1
90
2
1
3
1
5
1
7
1
3
2
15
17
315
1
1
2
5
24
61
721
1
2
3 5 7
2 2 4 6 8
2 2 3
3 5 2
3 5 7
2 4 6
。，
。，
。，
！ ！ ！
。，
。，
。，
sec sec sec sec
（ ） （ ）
sin
sec
！ ！ ！ ！
a2 a4 a6 a8 。， 1
4
1
6
1
8
… ＋ … ＋
其中正切、正割、反正切、反正割的幂级数展开式是在中国首次独立地得
到的。
在《对数探源》中，李善兰列出了十条命题，从各个方面描述对数合
尖锥曲线的性质。例如命题九：“凡两残积，此残积之高与彼残积之高，
彼截线与此截线可相为比例。”（图5）即是说，x1y1=x2y2，或xy=c（这
里c=bh 为常量）。然后；根据这些性质得出了对数的幂级数展开式
Ign = Ig（n …1）
μ
·
＋ ，
=
￥。
1
1 k nk
k
■图5 对数合尖锥曲线
式中的μ即李善兰所谓“诸尖锥定积之根”lge，亦即。
1
In10
从以上可以看出，李善兰所创立的尖锥面，是一种处理代数问题的几
何模型。它由互相垂直的底线、高线和凹向的尖锥曲线所围成。并且在考
虑尖锥合积的问题时，也是使诸尖锥有共同方向的底线和高线。这样的底
线和高线具有平面直角坐标系中的横、纵两个坐标的作用。
而且，这种尖锥面是由乘方数渐增渐迭而得。因此，尖锥曲线是由随
同乘方数一起渐增渐迭的底线和高线所确定的点变动而成的轨迹。由于李
善兰把每一条尖锥曲线看作是无穷幂级数中相应的项，这实际上就给出了
这些尖锥曲线的代数表示式（以高线为x 轴，底线为y 轴）
平尖锥 y =
hbx（直线），
立尖锥y=
b2x2 （抛物线），
h
三乘尖锥y =
hb3 x3 （立方抛物线），
。。。。。
同样，
对数合尖锥y（h…x）=bh（等轴双曲线）。
若以底线为x 轴，高线为y 轴，则对数合尖锥曲线的方程为xy=bh（图5）。
再则，李善兰的尖锥求积术，实质上就是幂函数的定积分公式
h ahn ＋1
n
ò ax dx =
n ＋ 1
0
和逐项积分法则
￥hh￥
nn
。（ ò0
anx dx ） =ò0（。a nx ）dx。
n=1n=1
特别值得一提的是，李善兰建立在尖锥术基础上的对数论独具特色，
受到中外学者的一致赞誉。伟烈亚力说：“李善兰的对数论，使用了具有
独创性的一连串方法，达到了如同圣文森特的J．格雷戈里（Gregory，1638
—1675）发明双曲线求积法时同样漂亮的结果”，“倘若李善兰生于J．纳
皮尔（Napier，1550—1917）、H．布里格斯（Briggs，1556—1631）之时，
则只此一端即可名闻于世”（A。Wylie，Chineseresearches，1897）。顾
观光发觉李善兰求对数的方法比传教士带进来的方法高明、简捷，认为这
是洋人“故为委曲繁重之算法以惑人视听”，因而大力表彰“中土李（善
兰）、戴（煦）诸公又能入其室而发其藏”，大声疾呼“以告中土之受欺
而不悟者”（顾观光《算■余稿》）。
在李善兰尖锥术的基础上，解析几何思想和微积分方法的萌芽，是可
以生根、长叶、开花、结果的。从这个意义上说，中国数学也可能以自己
特殊的方式走上近代数学的道路。但是，几年之后，即1852 年，李善兰便
接触到了大量从西方传进来的近代数学，并参与了把解析几何和微积分学
介绍进中国的翻译工作。从此，中国传统数学逐渐汇入世界数学发展的洪
流中。
李善兰的另一杰出数学成就是垛积术，见于《则古昔斋算学》中的《垛
积比类》。
在中国数学史上，北宋沈括（1031—1095）首创隙积术开垛积研究之
先河。元朱世杰《算学启蒙》（1299）、《四元玉鉴》（1303）中的垛积
问题，分“落一”、“岚峰”两大类，其垛积公式分别为
（ ） （ ）
r p
p
n p
p r
n ＋ …
=
＋
＋ = 。
1
1 1
和
r
r p
p
p n
p
n p
p r
n
（ ）
（ ）
（ ）
＋ …
=
＋
＋
＋
＋ = 。
1 1
2 1 1
，
其中
（ ）
（ ）
m
n
m
m n n
=
…
！
！ ！
。
清陈世仁（1676—1722）、汪莱（1768—1813）、董■诚（1791—1823）
等人继续研究，有所成就。李善兰集前人之大成，发扬创新，撰《垛积比
类》，“所述有表、有图、有法，分条别派，详细言之”，自成体系，别
立一帜。除三角垛和三角变垛包含了朱世杰落一形和岚峰形两类垛积外，
又创造了三角自乘垛和乘方垛两类新的垛积，其求和公式分别为
和
，
其中“李氏数”可作如下归纳定义：
，
并有性质
。
三角自乘垛的中心，是被称做“李善兰恒等式”的组合公式
（ ） （ ） （ ）
（ ）
（ ） （ ）
（ ）！
（ ） （ ） （
r p
p
p
q
n p q
p
r L
n k
m
L k L m k L
L m
n p
p
p
q
n
q
p
r
n
m
k
m
k
m
r
n
k
m
k
m
k
m
k
m
k
m
q
p
＋ …
=
＋ …
＋
=
＋
＋
= ＋ ＋ … ＋
= ＋
＋
=
＋
= =
…
=
…
=
…
… …
=
=
。 。
。 。
。
。
1 2
2 1
1
1 1
1
2
2 2
1 0
1
0
1
1
1
1
1
0
2 2
0
p q
p
…
2
）。
该式驰名中外，自20 世纪30 年代以来不断引起数学界的广泛兴趣。我国
数学家章用（1911—1939）、华罗庚（1910—1985）和匈牙利数学家图兰·帕
尔（Turan Bal）等人都研究和证明过它。乘方垛积计算问题相当于求自然
数的幂和公式，这在数学史上是一个古老的题目，同时又是通向微积分学
最基本和最普遍的公式——幂函数的定积分公式的阶梯。李善兰把m…1 乘
方垛积分解成m 类共m！个三角m 变垛或者说是m 类m！个组合数之和，从
而得出了自然数的m 次幂和公式。更进一步，李善兰以m…1 乘方垛积迭成
底为b、高为h 的m 乘尖锥，先有
V b
r
n
h
n
bh
n
L
n k
m
bh
m
L
i k
n
m
m
r
n
k
m
k
m
k
m
i
m
k
m
垛
！
。
= =
＋
＋
=
＋
＋
…
＋
=
…
=
…
…
= =
…
。 。
。 。
（ ） （ ）
（ ）
（ ）
1
1
1
0
1
1
0 1
1
1
1
1
然后取极限，即得m 乘尖锥积为
V = lim V =
bh
n m ＋1）
锥垛
！
。
。￥
…
=
…。
=
＋
L
bh
m k
m
k
m
1
0
1
1
这就是著名的尖锥求积术公式，它的确渊源于中国传统数学中的垛积术和
极限方法。
李善兰的第三项重要数学成就是他在1872 年发表的《考数根法》，这
是我国素数论上最早的一篇论文。所谓数根，就是素数。考数根法，就是
判别一个自然数是否为素数的方法。李善兰说，“任取一数，欲辨是数根
否，古无法焉”，他“精思既久，得考之法四”，即“屡乘求一”法、“天
元求一”法、“小数回环”法和“准根分级”法，用以对已给的数N，找
出最小的指数d，使ad…1 能被N 整除，这里a 是与N 互素的任何自然数。
李善兰证明了著名的费马素数定理（PFermat，1640），并且指出它的逆定
理不真。亦即，若ad…1 能被N 整除，而N 是素数，则N…1 能被d 整除；但
d 能除尽N…1，未必N 一定是素数。李善兰还进一步指出，若N 非素数而d
也能整除N…1，则N 的因数必具kp＋1 的形式，内P 为能除尽d 的数，k 为
自然数。只有任何具有kp＋1 形式的数都不能除尽N 时，N 才肯定是素数。
除了上述尖锥术、垛积术和素数论以外，李善兰在其所著《麟德术解》、
《测圆海镜解》、《四元解》和《椭圆正术解》中分别解释唐李淳风（公
元602—670 年）“麟德历”中的二次差内插法，金李冶（1192—1279）《测
圆海镜》中的“天元术”，元朱世杰《四元玉鉴》中的高次方程组消元解
法和清徐有壬《椭圆正术》中行星椭圆轨道运行问题的比例算法和对数算
法。对于后者，李善兰还在《椭圆新术》中首次在我国用无穷级数法求解
开普勒方程。他的《火器真诀》则提出别具一格的图解法，以量代算，是
我国第一部精密科学意义上的弹道学著作。《级数回求》是通过几个特
殊的幂级数y = f ，以有限步骤经归纳方法反求幂级数x = F 。i
i=1
i
i=1
（x） （y）
￥ ￥ 。 。
《天算或问》以自问自答的形式解决了若干有关中国古代数理天文学中的
问题，其中对外国传入的颜家乐利用恒星出地平到上中天的时间和上中天
的地平高度求当地的地理纬度，李善兰改进了这一方面的适应性，使能选
用任意恒星决定任一地方的纬度，这在中国测纬史上也占有一席之位。
李善兰是中国近代科学的先驱者和传播者。他在19 世纪50 年代，与
伟烈亚力、艾约瑟、韦廉臣合作，翻译出版了以下关于数学、天文学、力
学和植物学的西方科学著作：
《几何原本》（Elements，古希腊欧几里得（Euclid）原著，约公元
前300 年；英国I．巴罗（Barrow）英译本，1660）后九卷，与伟烈亚力
合译，韩应■刊本，1857；金陵书局，1865。
《代数学》（Elements of algebra，英国A．德摩根（De Morgan）
原著，1835）13 卷，与伟烈亚力合译，上海墨海书馆，1859。
《代数积拾级》（Elements of analytical geometry and of differential and integral calculus，即《解析几何与微积分初步》，美国
E．卢米斯（Loomis）原著，1850）18 卷，与伟烈亚力合译，上海墨海书
馆，1859。
《谈天》（Outlines of astronomy，即《天文学纲要》，英国J．赫
歇尔（Herschel）原著，1851；第五版，1858）18 卷，与伟烈亚力合译，
上海墨海书馆，1859。
《重学》（An elementary treatise on mechanics 即《初等力学》，
英国W．胡威立（Whewell）原著） 20 卷附《圆锥曲线说》3 卷，与艾约
瑟合译，钱氏活字版（仅17 卷），1859；金陵书局，1866。
《植物学》（Elements of botany，即《植物学基础》，英国J．林
德利（Lindley）原著）8 卷，与韦廉臣合译，上海墨海书馆，1858。
李善兰和伟烈亚力在徐光启和利玛窦于1607 年翻译出版古希腊数学
名著《几何原本》前六卷之后整整250 年，“续徐、利二公未完之业”（李
善兰《几何原本》序），于1857 年翻译出版了《几何原本》后九卷，并在
曾国藩的资助下，于1865 年刊行了十五卷足本《几何原本》，对清末数学
界产生了积极的影响。在翻译过程中，李善兰对其底本“删芜正讹，反复
详审”，“以意匡补”，多有发挥。如在卷十第117 题中加按语讨论无理
数的存在问题，这是中国传统数学中从未有过的。《代数学》和《代微积
拾级》则是符号代数学、解析几何学和微积分学第一次被介绍进中国，对
高等数学在中国的传播作出了开创性的贡献。
李善兰同伟烈亚力合译的《谈天》，内容包括哥白尼日心地动学说、
开普勒行星椭圆运动定律和牛顿万有引力定律等，它使中国天文学界耳目
为之一新，近代天文知识开始在中国广为传播，中国近代天文事业从此得
到发展。从这种意义上讲，李善兰和《谈天》在中国天文学发展史上的转
折点地位堪与哥白尼和他的《天体运行论》相比。
李善兰同艾约瑟合译的《重学》，是中国近代科学史上第一部包括运
动学和动力学、刚体力学和流体力学在内的力学译著，也是当时最重要、
影响最大的物理学译著。其中关于牛顿运动三定律，用动量的概念讨论物
体的碰撞，功能原理等，都是首次在中国得以介绍。
李善兰同韦廉臣合译的《植物学》，是我国最早介绍西方近代植物学
的译著，内容包括只有在显微镜下才能看到的植物内部组织构造，在实验
和观察的基础上所建立的有关植物体各器官组织的生理功能的理论，以植
物体本身形态构造特点为依据的科学的植物分类方法等。
这里应该特别提及的是，在翻译过程中，大量的近代科学名词，其中
文译名都没有先例可供参考。本着对后人负责的精神，李善兰仔细琢磨，
反复斟酌，十分贴切地创译了一大批科学名词，如代数学中的代数、函数、
常数、变数、系数、已知数、未知数、方程式、单项式，多项式等，解析
几何学中的原点、轴、圆锥曲线、抛物线、双曲线、渐近线、切线、法线、
摆线、蚌线、螺线等，微积分学中的无穷、极限、曲率、歧点、微分、积
分等；天文学中的历元、方位、视差、章动、自行、摄动、光行差、月行
差、月角差、二均差、蒙气差、星等、变星、双星、三合星、本轮、均轮
等；力学中的分力、合力、质点、刚体等；植物学中的植物、细胞、菊科、
豆科、蔷薇科、杨柳科、芭蔗科等。一百多年过去了，这些科学名词不仅
在我国流传下来，还飘洋过海，东渡日本等国，沿用至今而勿替。
李善兰在19 世纪50 年代中对西方近代科学中数学、物理、天文、生
物等学科的翻译工作，加上70 年代初徐寿对化学、华蘅芳对地学的翻译工
作，20 年间，近代科学各大门类的先进知识都介绍进了中国，这为中国近
代科学的发展奠定了坚实的理论基础，具有不可磨灭的历史意义。
李善兰的科学著译，洋洋大观，如前所述。特别是他的数学著述，“仰
承汉唐，荟萃中外，取精用宏，兼综条贯”，“业畴人者，莫不家庋一编，
奉为圭臬”（汪煦《听雪轩诗存·序》）。而他的诗文，也颇具特色，有
些还集中表现了他的爱国思想和科学精神。
李善兰自云“十三学吟诗”，15 岁时已有“膝下依依十五秋，光阴瞬
息去难留，嗟余马齿徒加长，爆竹惊心岁已周”和“数声爆竹岁朝天，渐
愧平与会讲年，一岁功程今日始，急须早著祖生鞭”的佳句。他年轻时写
的《夏日田园杂兴》和《田家》等诗，如“提筐去采陌头桑，闭户看蚕日
夜忙，得到丝成空费力，一身仍是布衣裳”，颇为体贴劳动人民的辛苦。
1842 年5 月，英军攻陷江浙海防重镇乍浦。乍浦离李善兰的家乡硖石
只有几十里的路程。他耳闻目睹侵略者烧杀淫掠的血腥罪行，满怀悲愤，
奋笔疾书《乍浦行》一诗：“任寅四月夷船来，海塘不守城门开。官兵畏
死作鼠窜，百姓号哭声如雷。夷人好杀攻用火，飞炮轰击千家灰。”“饱
掠十日扬帆去，满城尸骨如山堆。朝庭养兵本卫民，临敌不战为何哉？”
表达了他对侵略者的刻骨仇恨，对老百姓的深切同情，也表达了他对清政
府临敌不战的强烈不满和他对敌主战的鲜明态度。
李善兰遗诗200 余首，多数汇集于《听雪轩诗存》（汲■斋校本）中。
而他的文章，见于汲■斋丛书所辑《则古昔斋文抄》和散见于《中西闻见
录》等中的�