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攻入四川，嘉陵江流域战乱频仍，秦九韶不得不经常参与军事活动。他后
来在《数书九章》序中写道：“际时狄患，历岁遥塞，不自意全于矢石间，
尝险罹忧，荏苒十■，心槁气落”，真实地反映了这段动荡的生活。由于
元兵进逼和溃卒骚乱，潼川已难以安居，于是他再度出川东下，先后担任
过蕲州（今湖北蕲春）通判及和州（今安徽和县）守，最后定居湖州（今浙江吴
兴）。秦九韶在任和州守期间，利用职权贩盐，强行卖给百姓，从中牟利。
定居湖州后，所建住宅“极其宏敞”，“后为列屋，以处秀姬、管弦”。
据载，他在湖州生活奢华，“用度无算”。
淳■四年（1244）八月，秦九韶以通直郎为建康府（今江苏南京）通判，
十一月因母丧离任，回湖州守孝。在此期间，他专心致志研究数学，于淳
■七年（1247）九月，完成数学名著《数书九章》。由于在天文历法方面的
丰富知识和成就，他曾受到皇帝召见，阐述自己的见解，并呈有奏稿和“数
学大略”（即《数书九章》）。
宝■二年（1254），秦九韶回到建康，改任沿江制置使参议，不久去职。
此后，他极力攀附和贿赂当朝权贵贾似道，得于宝■六年（1258）任琼州守，
但三个月后被免职。同时代的刘克庄说秦九韶“到郡（琼州）仅百日许，郡
人莫不厌其贪暴，作卒哭歌以快其去”，周密亦说他“至郡数月，罢归，
所携甚富”。看来，由于他在琼州的贪暴，百姓极为不满。秦九韶从琼州
回到湖州后，投靠吴潜，得到吴潜赏识，两人关系甚密。吴潜曾相继在开
庆元年（1259）拟任以司农寺丞，景定元年（1260）拟任以知临江军（今江西清
江），都因遭到激烈反对而作罢。在这段时间里，秦九韶热衷于谋求官职，
追逐功名利禄，在科学上没有显著成绩。在南宋统治集团内部的激烈斗争
中，吴潜被罢官贬谪，秦九韶也受到牵连。约在景定二年（1261），他被贬
至梅州做地方官，“在梅治政不辍”，不久便死于任所。
秦九韶在数学上的主要成就是系统地总结和发展了高次方程数值解法
和一次同余组解法，提出了相当完备的“正负开方术”和“大衍求一术”，
达到了当时世界数学的最高水平。
我们知道，古典代数学的中心课题是方程论，我国古代对于列方程和
解方程都曾取得杰出的成就。早在《九章算术》中便已载有开平方术和开
立方术，后来又有“开带从平方”、“开带从立方”等二次和三次方程的
数值解法，祖冲之父子和王孝通等都对这一课题进行了深入研究。在11
世纪，宋代数学家贾宪又创造一种新的开方法——增乘开方法，通过随乘
随加导出减根方程，逐步求出高次方程的正根。以上这些方法都要求方程
各项系数为正整数。在宋代，有不少数学家研究了高次方程数值解法，特
别是刘益提出的“正负开方术”，方程系数可正可负，取消了以前对方程
系数只允许为正整数的限制。但是，这些工作还不够完整和系统。秦九韶
在前人工作的基础上，提出一套完整的利用随乘随加逐步求出高次方程正
根的程序，亦称“正负开方术”，现称秦九韶法。对于形如
f（x）=a0xn＋a1xn…1＋。an…1x＋an=0
的高次方程及其正根，秦九韶将其表示为下图的形式。这与古代开方
术的分离系数表示法基本一致，只是他令“实”常为负（an＜0），这一点有
所差别。图中的数码用筹算数字。下面以《数书九章》“尖田求积”问题
为例说明秦九韶高次方程数值解法的运算步骤：
（1）依据术文列出方程
…x4＋763200x2…40642560000=0，
布置算筹如图式（1）。“益隅”是指x4 的系数是负数，“从上廉”是指x2
的系数是正数，“虚”表示系数为零，“实”规定为负数。
（2）把“上廉”向左移四位，“隅”向左移八位，算得上商8，放在“实”
的百位数上边，如图式（2）。这实际上相当于对原方程进行x=100x1 的变
换，得
…108x41＋763200·104x21…40642560000=0。
（3）以商8 乘益隅得…800000000 置负下廉。以8 乘负下廉，与原有的
上廉相消，得1232000000 为上廉。以8 乘上廉得9856000000 为方。以8
乘方得“正积”78848000000，以原有的负实与正积相加，得正实
38205440000。如图式（3）。
（4）以8 乘益隅，并入下廉得…1600000000。以8 乘下廉，与原有的正
上廉相消得…11568000000 为负上廉。以8 乘上廉与原有的方相消，得
82688000000 为负方，如图式（4）。
（5）以8 乘益隅，并入下廉得…2400000000。以8 乘下廉，并入上廉，
得…30768000000 为负上廉。如图式（5）。
（6）以8 乘益隅，并入下廉得…3200000000 为负下廉。如图式（6）。
（7）把“方”向右移一位，上廉移二位，下廉移三位，隅移四位。以负
方除正实，算得次商4。如图式（7）。
（8）以次商4 乘益隅，并入下廉得…3240000。以4 乘下廉，并入上廉得
…320640000。以4 乘上廉，并入方得…9551360000。以4 乘方，与正实相消，
恰恰消尽。即得840 为方程的一个正根，如图式（8）。
由以上运算过程可以看出，当求得8＜x1＜9，确定第一位得数为8 以
后，图式（3）至图式（6）相当于求出进行x2=x1…8 的变换后所应得出的新方
程（图式（6））：
…108x42…3200·106x32…3076800·104x22
…826880000·102x1＋38205440000=0
图式（7）相当于对上式进行x3=10x2 的变换后得出的新方程：
…104x43…3200·103x33…3076800·102x23
…826880000·10x3＋38205440000=0
最后求得x3=4，因此，
x=100x 1 =100（8＋x 2）=100（8＋
x3）=840
10
从（1）到（8）的各个步骤，基本上都是自下而上随乘随加，最后由“实”中
减去，有很强的机械性。这也是“增乘开方法”的主要特点。有人说，计
算机发明以后，解方程变得有趣了。确实是这样，秦九韶的高次方程数值
解法，可以毫无困难地转化为计算机程序。在《数书九章》中，秦九韶列
举了20 多个解方程问题，次数最高达10 次，除一般方法外，还讨论了“投
胎”、“换骨”、“玲珑”、“同体连枝”等特殊情形，并将其广泛应用
于面积、体积、测量等方面的实际问题。在西方，关于高次方程数值解法
的探讨，经历了漫长的历史过程，直到1804 年，意大利数学家P．鲁菲尼
（Ruffini， 1765—1822）才创立了一种逐次近似法解决数字高次方程无理数
根的近似值问题，而1819 年英国数学家W。G。霍纳（Horner，1786—1837）
在英国皇家学会发表的论文“用连续逼近法解任何次数字方程的新方法”
中，才提出与增乘开方法演算步骤相同的算法，后被称为“霍纳法”。秦
九韶的成就要比鲁菲尼和霍纳早五六百年。
秦九韶对于一次同余组解法的理论概括，是他在数学史上的另一杰出
贡献。中算家对于一次同余式问题解法的研究是适应天文学家推算上元积
年的需要而产生的。最早见于记载的一次同余问题是《孙子算经》中的“物
不知数问题”（亦称“孙子问题”）：“今物不知其数，三三数之剩二，五
五数之剩三，七七数之剩二，问物几有何？”这相当于求解一次同余组：
N≡2（mod3）≡3（mod5）≡2（mod7），
等价于求解不定方程组：
N=3x＋2，N=5y＋3，N=7Z＋2
的正整数解N。《孙子算经》所给出的答案是N=23，但其算法很简略，未
说明其理论根据。秦九韶在《数书九章》中明确给出了一次同余组的一般
性解法，现简要介绍如下：
已知
N≡Ri（modAi），i=1，2，3，。，n，
求最小的正整数N。设Ai 两两互素，若能求得一串数值k1，k2，。，k1，
使k2 分别满足
M
ki = ≡1（modA ） ，＝ 1，2， ，。，
Ai
ii3n，
其中M=A1·A2·A3·。·An，则
MM M
N o Rk ＋ Rk ＋ 。 ＋ R k （mod M）；
1122 nn
A1A2 An
于是，问题的解答为
N =。 nRk
M
…pM；
ii
A
i=1i
p 为正整数，它的取值要使N 成为小于M 的正整数。这就是孙子剩余
定理，在西方文献中称为“中国剩余定理”。
显然，一次同余组解法的关键是如何选定满足条件
M
ki o 1（mod Ai ）
Ai
的一组数kio。秦九韶将这组数称为“乘率”，并在《数书九章》中详细叙
述了计算乘率的方法——“大衍求一术”（现在亦指整个一次同余组解法）。
用现代符号表示，大衍求一术的基本计算程序是：
M
若G =
Ai
，先用A 除G ，求得余数g ＜A ，那末G ≡g （modA ）；
i ii ii iii
于是kiGi≡kigi（modAi）。但kiGi≡1（modAi），所以问题归结为求ki，使之
满足kigi≡1（modAi）。秦九韶把Ai 称为“定数”，gi 称为“奇数”。他的
大衍求一术实际上就是把奇数gi 和定数Ai 辗转相除，相继求得商数q1，
q2，。，qn 和余数r1，r2，。，rn。在辗转相除过程中，随即算出下表右
侧的ci值：
商数余数 c 值
A1/g1 q1 r1 c1=q1
g1/r1 q2 r2 c2=q2c1＋1r1/r2 q3 r3 c3=q3c2＋c1
。 。 。 。
。 。 。 。
。 。 。 。
rn…2/rn…1 qn rn cn=qncn…1＋cn…2
秦九韶指出，当rn=1 而n 是偶数时，最后得到的cn就是所求乘率ki。如
果rn=1 而n 是奇数，那末把rn…1和rn相除，形式上令qn…1=Rn…1…1，那末
余数rn＋1仍然是1，再作cn＋1=qn＋1cn＋cn…1，这时n＋1 是偶数，cn＋1就是所求
的ki。不论哪种情形，最后一步都出现余数1，故称“求一术”。可以证
明，秦九韶这一算法是完全正确的和十分严密的。下面是用大衍求一术求
乘率的一个数字实例（其数字见于《数书九章》中关于开禧历上元积年的推
算）。已知奇数g=377873，定数A=499067，求乘率k。按照辗转相除公式，
整个计算过程可表示为如下的筹算图式：
（1）■■
（2）■■
（3）■■
（4）■■
（5）■■
（6）■■
（7）■■
（8）■■
（9）■■
（10）■■
（11）■■
从图式（11）可知，右上角的数字（r10）已变成1，并且n=10 是偶数。因此，
左上角的数字（c10）即为所求乘率，即k=457999，这时有377873×457999≡1（mod499067）。由上例可见，秦九韶的大衍求一术与他的高次方程数值
解法一样，简洁、明确、带有很强的机械性，其程序亦可毫无困难地转化
为算法语言，用计算机来实现。在《数书九章》中，秦九韶通过大量例题，
如“古历会积”、“治历演纪”“积尺寻源”、“推计土功”、“程行计
地”等等，展示了大衍求一术在解决历法、工程、赋役和军旅等实际问题
中的广泛应用。由于在许多问题中，模数A■并非两两互素，而中国传统
数学没有素数概念，所以将模数化为两两互素是相当困难的问题。秦九韶
所设计的将模数化为两两互素的算法，尽管还不完善，但仍比较成功地解
决了这一难题，有人称之为“没有素数的素数论”。综观他在求解一次同
余组问题的各项成就，正如李文林、袁向东所说：“所有这些系统的理论，
周密的考虑，即使以今天的眼光看来也很不简单，充分显示了秦九韶高超
的数学水平和计算技巧。”在西方，最早接触—次同余式的是意大利数学
家L．斐波那契（Fibonacci，约1170—1250）。他在《算盘书》中给出了两
个一次同余问题，但没有一般算法。直到18—19 世纪，L．欧拉（Euler，
1743）、G。F。高斯（Gauss'1801）才对一次同余组进行深入研究，重新获得与
中国剩余定理相同的定理，并对模数两两互素的情形给出了严格证明。1852
年，英国传教士、汉学家伟烈亚力（A。Wylie，1815—1887）发表《中国数学
科学札记》（Jottings on the science of Chinese arithmetic），其中谈
到了大衍求一术。从1856 年到1876 年，德国人L。马蒂生（Matthiessen，
1830—1906）等西方学者又多次指出大衍求一术原理与高斯方法的一致
性，从而更加引起了欧洲学者的瞩目。德国著名数学史家M。康托尔
（Cantor，1829—1920）高度评价了大衍求一术，他称赞发现这一算法的中
国数学家是“最幸运的天才”。印度学者对一次同余式问题也有过重要贡
献。在6 世纪至12 世纪间，印度数学家提出了一种类似于“求一术”的“库
塔卡”算法，应用于解决与一次同余组等价的不定方程问题。但在时间上
晚于《孙子算经》，而在一般性和完整性上又不如大衍求一术。
秦九韶所著《数书九章》，是他勤奋学习、苦心钻研和多年积累的数
学成就的结晶，是一部堪与《九章算术》相媲美的数学名著。这部著作，
南宋时称为《数学大略》或《数术大略》，明清时还曾题称《数学九章》，
明万历时赵琦美为此书撰写跋文始称《数书九章》。后来道光时按赵抄本
校刻的《宜稼堂丛书》本流传较广，《数书九章》遂成为现今的通称。该
书共18 卷81 题，分为9 类，每类9 题。这些问题是秦九韶从他收集的大
量资料中精选出来的较有代表性的问题。主要内容是：
（1）大衍类，一次同余组的解法，大衍求一术；
（2）天时类，历法推算，雨雪量的计算；
（3）田域类，土地面积；
（4）测望类，勾股、重差等测量问题；
（5）赋役类，田赋、户税；
（6）钱谷类，征购米粮及仓储容积；
（7）营建类，建筑工程；
（8）军旅类，兵营布置和军需供应；
（9）市易类，商品交易和利息计算。
从其著作体例来看，《数书九章》受到《九章算术》等经典著作的传
统影响，仍然采用问题集的形式，但在各题术文（解题方法）之后，多附有
“草”，即表明演算步骤的算草图式。在《数书九章》中，除了前面提到
的大衍求一术和正负开方术两项重要成就外，还记载了不少其他方面的成
就。例如，他改进了线性方程组的解法，普遍应用互乘相消法代替传统的
直除法，已同今天所用的方法完全一致；在开方中，他发展了刘徽开方不
尽求微数的思想，最早使用十进小数来表示无理根的近似值；他对于《九
章算术》和《海岛算经》的勾股测量术也多所阐发；他在几何方面的另一
项杰出成果是“三斜求积术”，即已知三角形三边之长求其面积的公式。
设三角形面积为A，三边长分别为a，b，c，则秦九韶的公式相当于：
1 a2 ＋ b2 …c2
22 2
A =
＇a b …（ ）＇；
42
这个公式与古希腊著名的海伦公式
（A =
（ …a）（s…bs …c）；
ss ）（ 其中s =
a ＋
2b ＋ c
是等价的。《数书九章》的内容非常丰富，我们不仅可以找到数学和天文
历法乃至雨雪量等方面的珍贵资料，而且还可以从中了解到南宋时期户口
增长、耕地扩展、赋税、利贷、度量衡以及货币流通、海外贸易等等社会
经济领域的真实情况。
关于秦九韶的哲学思想和数学思想，显然与宋代儒学中的道学学派一
致。他明确指出“数与道非二本也”，再加上数学实践的切身体会，使他
对于数学的重要性产生了较为清楚的认识。他说，数学研究“大则可以通
神明，顺性命；小则可以经世务，类万物，讵容以浅近窥哉！”但他又承
认自已对于“通神明，顺性命”没有太深的体会，于是注意搜求天文历法、
生产、生活、商业贸易以及军事活动中的数学问题，“设为问答，以拟于
用”，尽力满足社会实践的需要，并告诫人们要学好数学，精于计算，以
避免由于计算错误而引起的“财蠹力伤”等等不良后果。为此，他付出了
辛勤劳动，撰写出20 余万言的数学巨著。他的这种思想和作法是难能可贵
的，应该给予充分的肯定。
秦九韶是一位既重视理论又重视实践，既善于继承又勇于创新的数学
家。他所提出的大衍求一术和正负开方术及其名著《数书九章》，是中国
数学史上光彩夺目的一页，对后世数学发展产生了广泛的影响。美国著名
科学史家G。萨顿（Sarton，1884—1956）说过，秦九韶是“他那个民族，他
那个时代，并且确实也是所有时代最伟大的数学家之一”。
文献
原始文献
＇1＇（宋）秦九韶：数书九章，《宜稼堂丛书》本，1841。
＇2＇（宋）刘克庄：缴秦九韶知临江军奏状，见《后村先生大全集》卷八
十一，上海商务印书馆影印赐砚堂钞本，1929。
研究文献
＇3＇（清）阮元：畴人传·卷二十二，商务印书馆重印本，1955。
＇4＇（清）焦循：开方通释，《木犀轩丛书》本，光绪年间。
＇5＇（清）焦�