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因此可称之为杨辉定理，它在平面几何中有广泛的应用。实际上，《海岛
算经》中的各种测量公式都可由杨辉定理推出。
■图5
5．因法推类
在《详解九章算法》的《纂类》中，杨辉提出“因法推类”的原则。
正如郁松年所说，《纂类》以“算法为纲”，“以类相从”。这种思想与
《九章算术》相比是一个进步，因为《九章算术》的分类标准并不一致，
有的按用途分，有的按算法分。杨辉则突破了原书的分类格局，按算法的
不同，将书中所有题目分为乘除、互换、合率、分率、衰分、叠积、盈不
足、方程、勾股九类。每一大类中，由总的算法演绎出不同的具体方法，
并给出相应的习题。例如，“方程”类便依次给出方程、损益、分子、正
负四法，“方程法曰：所求率互乘邻行，以少减多，再求减损，钱为实，
物为法，实如法而一。”这是解线性方程组的基本方法。此法后的11 题全
是基本类型，可直接列出最简方程组。“损益”指的是移项及合并同类项，
分子术指去分母的方法，正负术指方程变换时所用的正负数运算法则，各
法后分别列有相应的具体题目。这种作法体现了由干生枝的演绎思想，方
程法是干，损益、分子、正负三法是枝。再如“勾股类”，共设38 问，分
别置于21 种方法之后，而第一种方法——勾股求弦法（即“勾股各自乘，
并而开方除之”）是后面各法的基础。这种顺序也体现了演绎思想。
6．数学教育和普及工作
杨辉十分重视数学普及工作，他的数学书一般都是由浅入深的。《详
解九章算法》便是为普及《九章算术》中的数学知识而作。他从原书246
题中选择了80 道有代表性的题目，进行详解。由于初学者感到《九章算术》
“题问颇隐，法理难明，不得其门而入”，杨辉便“恐问隐而添题解，见
法隐而续释注，刊大小字以明法草，僭比类题以通俗务，凡题法解白不明
者别图而验之。”题解即提示算法要点或解释数学名词；比类是原有方法
的类推；例如“商功”章，在圆亭（圆台）解法之后便给出一道圆窖题：“圆
窖上周三丈，下周二丈，深一丈，问积。”书中的图形很多，不仅有数学
图，还有写生图，如“勾股章”的葭出水图、圆材埋壁图、方邑图等，都
很精美，为《详解》增色不少。这些图在帮助读者理解题意的同时，也有
利于引起读者兴趣。
为普及日常所用的数学知识，杨辉专门写了《日用算法》一书，并提
出“用法必载源流”和“命题须责实有”两条原则。书中的题目全部取自
社会生活，多为简单的商业问题，也有土地丈量、建筑和手工业问题。这
种应用数学是便于普通读者接受，也便于发挥社会效益的。杨辉还在该书
的序言中提到“编诗括十三首”，这些诗歌显然是为读者自学数学而编的，
可惜都已失传。但在《乘除通变算宝》中存有“求一乘”和“求一除”诗
各一首，前者为五六七八九，倍之数不走，
二三须当半，遇四两折扭。
倍折本从法，实即反其有，
用加以代乘，斯数足可守。
这种诗歌简炼生动，朗朗上口，便于读者记诵。另外，杨辉书中还有许多
乘除法歌诀，也是有助于读者熟记有关算法的。
杨辉不仅总结了当时的各种数学知识，还批评了以往数学著作中的一
些错误，这种作法在杨辉以前的算书中很少见。例如，他在《田亩比类乘
除捷法》一书中便批评了《五曹算经》中的三个错误，一是在田亩计算中
用方五斜七之法（即把正方形边长与对角线之比取作5：7），二是题问概念
不清，三是四不等田求法之误。
在数学教育方面，杨辉总结了自己多年的经验，写了一份相当完整的
教学计划——“习算纲目”（《算法通变本末》），具体给出各部分知识的
学习方法、时间及参考书。他主张循序渐进，精讲多练，特别强调要明算
理，要“讨论用法之源”。例如，他讲减法时不只讲算法，而且指明：“加
法乃生数也，减法乃去数也，有加则有减。凡学减，必以加法题考之，庶
知其源。”针对教师和学生两种不同的对象，杨辉又提出“法将题问”和
“随题用法”两条不同原则。教师编书或讲课时，应“法将题问”，“凡
欲见明一法，必设一题”（《法算取用本末》），就是以算法统帅习题，每
种算法都设有相应的题目。而对学生来说，则应“随题用法”，即根据具
体题目来选择相应的算法。他说：“随题用法者捷，以法就题者拙。”（《乘
除通变算宝》）
文献
原始文献
＇1＇（宋）杨辉：详解九章算法，《宜稼堂丛书》本，1842。
＇2＇（宋）杨辉：日用算法，见《诸家算法》，抄本，自然科学史研究所
藏。
＇3＇（宋）杨辉：乘除通变本末，《宜稼堂丛书》本，1842。
＇4＇（宋）杨辉：田亩比类乘除捷法，《宜稼堂丛书》本，1842。
＇5＇（宋）杨辉：续古摘奇算法（缺上卷），《宜稼堂丛书》本，1842。
＇6＇（宋）杨辉：续古摘奇算法，抄本，自然科学史研究所藏。研究文献
＇7＇钱宝琮主编：中国数学史，科学出版社，1964。
＇8＇严敦杰：（宋）杨辉算书考，见钱宝琮等《宋元数学史论文集》，科
学出版社，1966。
扎马鲁丁
胡铁珠
扎马鲁丁（Jamāl al…Din）生年不详，主要活动于13 世纪50 年代
至80 年代；1290 年前后卒。天文学、地理学。
关于扎马鲁丁的早期历史，目前有两种说法：一种认为他是波斯马拉
盖城（今属伊朗）的天文学家，受当时统治波斯等地区的旭烈兀汗派遣而到
忽必烈处供职；另一种则认为他可能是中亚细亚的布哈拉（今属乌兹别克共
和国）人。据《元史·百官志》记载，元世祖忽必烈尚未登位时，曾征召回
回天文学家为他服务，扎马鲁丁于1259 年前后应召而至（也有人认为他是
40 年代或50 年代早期到中国的），此后数十年扎马鲁丁在中国从事过众多
的科学活动。至元四年（1267），扎马鲁丁曾造西域仪象7 件，并于同年撰
进《万年历》。至元八年（1271），元世祖在上都（今内蒙古自治区正蓝旗境
内）建成回回司天台，扎马鲁丁被任命为提点（相当于台长）。当时这一回回
司天台由西域天文学家用阿拉伯天文仪器进行观测，并负责每年编印回历
供政府颁发。司天台内还藏有西域文字的天文学和数学书籍，其中包括托
勒玫（Ptolemy）的《天文学大成》（Almagest）、欧几里得（Euclid）的《几何
原本》（Elements）等，因此它堪称是当时中国的研究阿拉伯天文学的中心。
至元十年（1273），扎马鲁丁以回回司天台提点的身分被任命为新设立不久
的秘书监的两名长官之一，其主要职责是掌管皇家收藏的历代书籍和阴阳
禁书、从事皇帝特命的撰述任务。至元二十二年（1285），他向忽必烈提出
了编纂全国地理图志的建议，后来这项工作在扎马鲁丁的领导下进行，它
的成果就是755 卷本的《元一统志》。同年，他率人匠织造撒答刺欺，这
是波斯的一种纺织品，这说明扎马鲁丁把波斯的纺织技术带到了中国。至
元二十四年（1287），扎马鲁丁升任为集贤大学士中奉大夫行秘书监事，成
了管理与中国传统文化相关的最高机构的从二品大员。
扎马鲁丁一生中较为重要的科学工作是制造西域仪象、撰进《万年历》
以及编纂《元一统志》。
《元史·天文志》中详细记载了扎马鲁丁制做的7 件西域天文仪器的
形制、结构和用途：（1）“咱秃哈刺吉”，为托勒玫式的黄道浑仪，用来测
定天体的黄道经纬度。（2）“咱秃朔八台”，为托勒玫式的长尺，用来测定
任意方向上天体的天顶距。（3）“鲁哈麻亦渺凹只”，是一种测量太阳过赤
道时的位置的仪器，用来确定春、秋分的时刻。（4）“鲁哈麻亦木思塔余”，
是测量太阳过子午线时的位置的仪器，用作确定冬、夏至的时刻。（5）“苦
来亦撒麻”，即天球仪。（6）“苦来亦阿儿子”，即地球仪，特别值得指出
的是，在中国，统一的、比较科学的经纬度概念和明确的地球概念是在这
架地球仪上第一次反映出来的。（7）“兀速都儿刺不”，即星盘，是一种测
量天体高度的仪器。这7 件西域仪象和中国传统的天文仪器相比，除了少
数相似点之外，无论从结构还是功用来说，都是大不相同的。它们虽满足
了回回司天台的需要，但对中国传统天文仪器的发展没有产生很大影响。
其主要原因，一是这些仪器不符合中国天文学所特有的使用赤道坐标的传
统；二是与这些仪器运用有关的数学知识、计算方法（如三角学、欧氏几何
学、球面三角学）等并没有在当时就译成汉文，因此除了回回司天台上的工
作人员外，传统的中国天文学家就很难使用这些仪器。尽管如此，有人认
为元代郭守敬对浑仪的简化及所制简仪中采用的360°分划制、窥衡、圆
室以及元、明两代修建的晷影堂等，都有可能是受了扎马鲁丁制成的西域
仪象的启发。
据《元史·历志》记载：“至元四年（1267），西域扎马鲁丁撰进万年
历，世祖稍颁行之。”这个《万年历》到底是什么样的历法，史书上没有
留下一点具体的资料，只能从《元史·仁余本纪》中知道它曾行用过几十
年。据分析，《万年历》与1278 年以后由扎马鲁丁的副手可马剌丁以《回
回历》名称编算颁行的历法可能是同一回事，即便不同，它们的宇宙体系、
计算系统和数学方法也应都是建立在阿拉伯天文学基础之上的。《万年历》
的编纂适应了我国信奉伊斯兰教的各民族人民的生活需要，开创了以后三
百多年间我国政府编纂回历的传统。
《元一统志》（当时也称作《大元大一统志》或《大一统志》）是一部
官修的全国地理书。《元秘书监志》中摘录了扎马鲁丁发起纂修这部书的
奏文。据记载，在此书的编纂过程中，扎马鲁丁做了许多具体的学术研究
和组织工作。全书于1291 年完成，共755 卷。1303 年经孛兰■等人重修
后达1300 卷。目前该书绝大部分已经佚失，近人赵万里曾汇辑现存残片，
于1966 年出版了《元一统志》辑本两册。由于《元一统志》曾引用了大量
宋、金、元时代的地方志，加之从扎马鲁丁在奏文中提出的要把他掌握的
大量西域地图与原有汉文地图汇总成一个图的建议推断，他很可能把阿拉
伯的地理知识和地图绘制法传入了中国，因此该书具有重要的学术价值，
它的散佚也就格外令人惋惜。
文献
＇1＇薄树人：回族先民扎马鲁丁的科学贡献，科学，1986，4，第299—304 页。
＇2＇陆思贤、李迪：元上都天文台与阿拉伯天文学之传入中国，内蒙古
师范大学学报（自然科学版），1981，1，第80—89 页。
＇3＇中国天文学史整理研究小组：中国天文学史，科学出版社，1981。
郭守敬
陈美东
郭守敬字若思。顺德邢台（今河北邢台）人。元太宗三年（1231 年）
生；延■三年（1316 年）卒。天文学、水利工程学。
郭守敬出生在一个殷实的家庭，从小跟随祖父郭荣长大，得到良好的
教育。郭荣不但通晓《五经》，而且精通数学和水利之学，这对郭守敬产
生了很大的影响。约1246 年，郭守敬得到一幅拓印的北宋燕肃的莲花漏
图，依图他能将这一计时仪器的原理讲得十分清楚。他还曾依据古图用竹
篾扎制成浑仪，并积土为台，用扎制的浑仪进行恒星观测。这些都显露出
年轻的郭守敬对天文观测的浓厚兴趣，和在仪器制作方面的才华。
约1247 年，郭荣把郭守敬送到他的老朋友刘秉忠处学习深造。刘秉忠
是当时著名的学者，深通天文、数学、地理等学问，这时正在磁州西紫金
山（今河北武安），与另两位学识渊博的学者张文谦、张易一起读书并研
讨学术，参与其间的还有一位少年朋友，名叫王恂，他比郭守敬小四五岁，
也是才华出众。郭守敬与这些良师益友朝夕相处，经过数年的共同学习和
钻研，学问大有长进，尤其是在天算历法方面打下了坚实的基础。这些人
后来先后出仕元廷，张文谦、张易，特别是王恂又都是参与制定授时历的
重要人物，他们此时的聚会，很可能已经对历法改革的问题进行了初步讨
论。
约1250 年，郭守敬返回家乡。1251 年，受张文谦等人的邀请，他在
邢台参与了一项河道疏浚的规划工作，妥善地设计了其中的关键工程，已
在水利工程上崭露头角。此后数年中，他一直在家潜心学习与研究，不断
增长自己的学识。
1260 年，应张文谦的邀请，郭守敬到大名（今河北大名一带）任职，
协助处理有关政务。其间，他考察了该地区的水利状况以及地形水势，多
有心得。他还曾仿制成燕肃的莲花漏，以供城市计时之用。
1262 年，张文谦正式将郭守敬推荐给忽必烈。晋见时，郭守敬依据多
年对水利的考察与思考，向忽必烈提出了兴修6 项水利工程的建议，受到
了忽必烈的重视和赞赏，被授予提举诸路河渠的职务。自此到1276 年的
10 余年中，郭守敬一直在水利部门任职，先后升任副河渠使（1263）、都
水少监（1265）、都水监（1271）、工部郎中（1276）等职，分管以至全
面负责全国河渠、水利的治理工作。其间，他先后完成了修复西夏古渠、
兴修北京地区若干水利设施、黄河下游诸水系的整治等重要工程。
1276 年，忽必烈诏令编制新历法，为此设立了专门机构太史局，并任
命王恂和郭守敬二人为主要负责人，先后参与改历工作的还有张文谦、张
易、许衡、杨公懿等人，他们各尽所能，分工合作，终于在1280 年编成了
新历法，即著名的授时历。在4 年的编历过程中，郭守敬共创制了简仪、
高表等17 种天文仪器，并主持开展了一系列卓有成效的天文观测工作，他
还积极参与对前代历法的研究和新历法的编修，为授时历的制定做出了重
大贡献。其间于1279 年，忽必烈改太史局为太史院，诏令王恂为太史令，
郭守敬为同知太史院事，共同负责太史院这一规模宏大的皇家天文台的筹
建工作，郭守敬为太史院的规划和建设付出了大量心血。
1281 年，授时历颁行天下，但由于时间紧迫，授时历所采用的天文数
据、天文表格以及推算方法都还未经缜密的考定，只是一堆未经整理的草
稿。到1282 年，编制授时历的主要参与者王恂、许衡、张易先后去世，张
文谦、杨公懿则隐退还乡，因此，完成定稿的工作全部落在了郭守敬身上。
又经过约4 年的艰辛努力，郭守敬撰成了《推步》7 卷，《立成》2 卷，《历
议拟稿》3 卷，《转神选择》2 卷和《上中下三历注式》12 卷，共5 种26
卷，圆满地完成了这项任务。
1286 年，郭守敬升任太史令，继续进行天文历法的研究工作。又先后
完成了一批重要的天文历法著作：《时候笺注》2 卷，《修改源流》1 卷，
《仪象法式》2 卷，《二至晷景考》20 卷，《五星细行考》50 卷，《古今
交食考》1 卷，《新测二十八舍杂座诸星入宿去极》1 卷，《新测无名诸星》
1 卷，《月离考》1 卷，共9 种79 卷。其中有对日、月、五星运动以及二
至晷影、交食等的详细考证，有关于历法改革源流的论述，有关于天文仪
器制造方法、尺度的详细说明，有恒星位置测量的最新成果，它们是郭守
敬对1276 年以来，特别是新近的天文历法工作进行的总结。这些与前述5
种26 卷合计14 种105 卷，构成了一个十分严密、完整的天文历法巨著。
1291 年，郭守敬又向忽必烈提出了兴修10 余处水利工程的新建议，
其中以修建通惠河工程最为重要。同年，忽必烈复置都水监这一统理全国
水利的机构，命郭守敬兼职主管其事。1293 年，通惠河通航，郭守敬又被
任命兼提调通惠河漕运事。
1294 年，由于在天文历法以及水利工程上的杰出贡献，郭守敬被任命
为昭文馆大学士，并兼管太史院的工作。这一年，他制成了七宝灯漏和木
牛流马。次年，他又制成柜香漏、屏风香漏、行漏等计时仪器。1298 年，
他还制成了灵台水浑运浑天漏，并曾对京郊的一项水利工程提出重要的建
议。后又曾试图仿制张衡地动仪，可惜未获成功。
1303 年，郭守敬请求退休，但没有得到批准，一直到1316 年，卒于
任上。
纵观郭守敬的一生，他对科学技术的贡献是令人赞叹不已的。在31
岁以前，是他勤奋学习、增长才干并在天文和水利方面初露锋芒的时期。