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合。即扣盈缩损益之数，未得其真。今新法加减诸表，乃以圆齐圆，始可合天。五曰随时随地可求诸曜之经度。旧法欲得某日曜经度，必先推各曜冬至日所行宫度宿次，后乃以各段日度比算始得。今法不拘时日方所，只简本表推步即是。六曰径一围三，非弧矢真法。盖古历家以直绵测圆形，名曰弧矢法，而算用径一围三，廖也。今立割圆八绵表，其用简而大。弧矢等绵，但乘除一次，使能得之。七曰球上三角三弧形，非句股可尽。盖古法测天以句股为本，然句股能御直角，不能御斜角。且天为圆球，其面上与诸道相割生多三弧形，句股不足以尽之。
恒星之议四：一曰恒星本行，即所谓岁差，从黄道极起算。盖各星距赤极度分，古今不同。其距赤道内外地也，亦古今不同。而距黄极或距黄道内外，则皆终古如一，所以知日月五星俱依黄道行。其恒星本行，应从黄极起算，以为岁差之率。二曰古今各宿度不同。盖恒星以黄道极为极，故各宿距星行度，与赤道极时近时远。行渐近极，即赤道所出过距星绵渐密，其本宿赤道弧则较小。渐远极，即过距星绵渐疏，其本宿赤道弧则较大。此缘二道二极不同，非距星有异行，亦非距星有易位也。如觜宿距星，汉测距参二度，唐测一度，宋崇宁测半度，元郭守敬五分。今测之，不啻无分，且侵入参宿二十四分，非一症乎？三曰夜中测星定时。盖太阳依赤道左行，每十五度为一小时。今任测一星距子午圈前后度分，又以本星经行与太阳经行查加减，得太阳距子午圈度分，因以变为真时刻。四曰宋时所定十二宫次，在某宿度，今不能定于某宿度。盖因恒星有本行，宿度已右移故也。
太阳之议四：一太阳盈缩之限，非冬、夏二至，所谓最高及最高冲出也。此限年年右行，今已过二至后六度有奇。二曰以圭表测冬夏二至，非法之善。盖二至前后，太阳南北之行度甚微，计一丈之表，其一日之影差不过一分三十秒，则一秒得六刻有奇，若测差二三秒，即差几二十刻，安所得准乎？今法独用春、秋二分，盖以此时太阳一日南北行二十四分，一日之景差一寸二分，即测差一二秒，算不得满一刻，较二至为最密。三曰日出入分，应从顺天府起算。盖诸方北极出地不同，晨昏时刻亦因以异。《大统》依应天府算，上以昼夜长短，日月东刃西带食，所推不准。今依天罕改定。四曰平节气，非上天真节气。盖旧法气策，乃岁周二十四分之一。然太阳之行有盈有缩，不得平分。如以平分，则春分后天二日，秋分先天二日矣。今悉改定。
太阴之议四：一曰朔望之外，别有损益分，一加减不足以尽之。盖旧定太阴平行，算朔望加减，大率五度有奇，然两弦时多寡不一，即《授时》亦言朔望外，平行数不定，明其理未著其法。今于加减外，再用一加减，名为二三均数。二曰纬度不能定于五度，时多时寡。古今历家以交食分数及交泛等，测量定黄白二道相距约五度。然朔望外两道距度，有损有益，大距计五度三公度之一。若一月有两食，其弦时用仪求距黄道度五度，未能合天。三曰交行有损益分。盖罗喉、计都即正交、中交行度，古今为平行。今细测之，月有时在交上，以平求之，必不合算。因设一加减，为交行均数。四曰天行无紫气。旧谓生于闰余，又为木之余气。今细考诸曜，无象可明，知为妄增。
交食之议四：一曰日月景径分恒不一。盖日月时行最高，有时行最高，有时行最卑，因相距有远近，见有大小。又因远近竿太阴过景，时有厚薄，所以径分不能为一。二曰日食午正非中限，乃以黄道九十度限为中限。盖南北东西差俱依黄道，则时差安得不从黄道道论其初末以求中限乎？且黄道出地平上，两象限自有其高，亦自有其中。此理未明，或宜加反减，宜减反加，凡加进不合者由此也。三曰日食初亏复圆，时刻多寡恒不等，非二时折半之说。盖视差能变实行为视行，则以视差较食甚前后，鲜有不参差者。夫视差既食甚前后不一，又安能令视行前后一乎？今以视行推变时刻，则初亏复圆，其不能相等也明矣。四曰诸方各依地经推算时刻及日食分。盖地面上东西见日月出没，各有前后不同即所得时刻亦不同。故见食虽一而时刻异，此日月食皆一理。若日食则因视差随地不一，即太阴视距不一，所见食分亦异焉。
五纬之议三：一曰五星应用太阳视行，不得以段目定之。盖五星皆以太阳为主，与太阳合则疾行，冲则退行。且太阳之行有迟疾，则五星合伏日数，时寡时多，自不可以段目定其度分。二曰五星应加纬行。盖五星出入黄道，各有定距度。又木、土、火三星冲太阳纬大，合太阳纬小。金、水二星顺伏纬小，逆伏纬大。三曰测五星，当用恒星为准则。盖测星用黄道仪外，宜用弧矢等仪。以所测纬星视距二恒星若干度分，依法布算，方得本星真经纬度分。或绘图亦可免算。
是时新法书器俱完，屡测交食凌犯俱密合，但魏文魁等多方阴挠，内官实左右之。以故帝意不能决，谕天经同监局虚心详究，务祈书一。是年，天经推水星伏见及木星所在之度，皆与《大统》各殊，而新法为合。又推八月二十七日寅正二刻，木、火、月三曜同在张六度，而《大统》推木在张四度，火、月张三度。至期，果同在张六度。九年正月十五日辛酉，晓望月食。天经及《大统》、《回回》、东局，各顶推亏圆食甚分秒时刻。天经恐至期云掩难见，乃按里差，推河南、山西所见时刻，奏遣官分行测验。其日，天经与罗雅谷、汤若望、大理评事王应遴、礼臣李焻及监局守登、文魁等赴台测验，惟天经所推独合。已而，河南所报尽合原推，山西则食时云掩无从考验。
帝以测验月食，新法为近，但十五日雨水，而天经以十三日为雨水，令再奏明。天经覆言：
谕节气有二法：一为平节气，一为定节气。平节气者，以一岁之实，二十四平分之，每得一十五日有奇，为一节气。故从岁前冬至起算，必越六十日八十七刻有奇为雨水。旧法所推十五日子正一刻者此也，定节气者，以三百六十为周天度，而亦以二十四平分之，每得一十五度为一节气。从岁前冬至起算，历五十九日二刻有奇，而太阳行满六十度为雨水。新法所推十三日卯初二刻八分者此也。太阳之行胡盈有缩，非用法加减之，必不合天，安得平分岁实为节气乎？以春分症之，其理更明。分者，黄赤相交之点，太阳行至此，乃昼夜平分。旧法于二月十四日下，注昼五十刻、夜五十刻是也。夫十四日书夜已平分，则新法推十四日春分者为合天，而旧法推十六日者，后天二日矣。知春分，则秋分及各节气可知，而无疑於雨水矣。
已而天经于春分屈期，每午赴台测午正太阳高度。二月十四日高五十度八分，十五日高五十度三十分。末经乃言：
京师北极出地三十九度五十五分，则赤道应高五十度五分，春分日太阳正当赤道上，其午正高度与赤道高度等，过此则太阳高度必渐多，今置十四日所测高度，加以地半经差二分，较赤道已多五分。盖原推春分在卯正二五分弱，是时每日纬行二十四分弱，时差二十一刻五分，则纬行应加五分强。至十五日，并地半径较赤道高度已多至三十分，况十六日乎？是春分当在十四，不当在十六也。秋风京然。又出《节气图》曰：
内规分三百六十五度四分度之一者，日度也。外规公三百六十度者，天度也。自冬至起算，越九十一日三十一刻六分，而始历春分者，日为之限敢，乃在天则已逾二度余矣。又越二百七十三日九十三刻，一十九分，而即交秋分者，亦日为之限也，乃在天不及二度余。岂非旧法春分每后天二日，秋分先天二日耶？
十年正月辛丑朔，日食，天经等预推京师师见食一分一十秒，应天及各省分秒各殊，惟云南、太原则不见食。其初亏、食甚、复圆时刻亦各异。《大统》推食一分六十三秒，《回回》推食三分七十秒，东局所推止游气侵光三十馀秒。而食时推验，惟天经为密。时将废《大统》，用新法，于上管理另局历务代州知州郭正中言：“中历必不可尽废，西历必不可专行。四历各有短长，当参合诸家，兼收西法。”十一年正月，乃诏仍行《大统历》，如交食经纬，晦朔弦望，因年远有差者，旁求参考新法与回回科并存。上年，进天经光禄寺卿，仍管历务，十四年十二月，天经言：“《大统》置闰，但论月无中气，新法尤视合朔后先。今所进十五年新历，其十月、十二月中气，适交次月合朔时刻之前，所以月内虽无中气，而实非闰月。盖气在朔前，则此气尚属前月之晦也。至十六年第二月止有惊蛰一节，而春分中气，交第三月合朔之后，则第二月为闰正月，第三月为第二月无疑。”时帝已深知西法之密。迨十六年三月乙丑朔日食，测又独验。八月，诏西法果密，即改为《大统历法》，通行天下。未几国变，竟未施行。本朝用为宪历。
按明制，历官皆世业，成、弘间尚能建修改之议，万历以后则皆专己守残而已。其非历官而知历者，郑世子而外，唐顺之、周述学、陈壤、袁黄、雷宗皆有著述。唐顺之未有成书，其议论散见周述学之《历宗通议》、《历宗中经》。袁黄著《历法新书》，其天地人三元，则本之陈壤。而雷宗亦著《合壁连珠历法》皆会通回回历以入《授时》，虽不能如郑世子之精微，其于中西历理，亦有所发明。邢云路《古今律历考》，或言本出魏文魁手，文魁学本虑浅，无怪其所疏《授时》，皆不得其旨也。
西洋人之来中土者，皆自称瓯罗巴人。其历法与回回同，而加精密。尝考前代，远国之人言历法者多在西域，而东南北无闻。唐之《九执律》，元之《万年历》，及洪武间所译《回回历》，皆西域也。盖尧命义、和仲叔分宅四方，义仲、义叔、和叔则以隅夷、南交、朔方为限，独和仲但曰“宅西”，而不限以地，岂非当时声教之西被者远哉。至于周末，畴人子弟分散。西域、天方诸国，接壤西陲，百若东南有大海之阻，又无极北严寒之畏，则抱书器而西征，势固便也。瓯罗巴在回回西，其风俗相类，而好奇喜新竞胜之习过之。故则历法与回回同源，而世世增修，遂非回回所及，亦其好胜之欲为之也。义、和既失其守，古籍之可见者，仅有《周髀》范围，亦可知其源流之所自矣。夫旁搜采以续千百年之坠绪，亦礼秀求野之意也，故备论也。
张廷玉》明史》志第八 历二
志第八 历二
▲大统历法一上法原
造历者各有本原，史宜备录，使后世有以考。如《太初》之起数钟律，《大衍》之造端蓍策，皆详本志。《授时历》以测算术为宗，惟求合天，不牵合律吕、卦爻。然其法所以立，数之所从出，以及晷影、星度，皆有全书。郭守敬、齐履谦传中，有书名可考。《元史》漫无采摭，仅存李谦之《议禄》、《历经》之初稿。其后改三应率及立成之数，与夫割圆弧矢之法，平立定三差之原，尽削不载。使作者精意湮没，识者憾焉。今据《大统因通轨》及《历草》诸书，稍为编次，首法原，次立成，次推步。而法原之目七：曰句股测望，曰弧矢割圆，曰黄赤道内外度，曰白道交周，曰日月五星平立定三差，曰里差刻漏。
▲句股测望
北京立四丈表，冬至日午正，测得景辰七丈九尺八寸五分。随以简仪测到太阳南至地平二十六度四十六分半，为半弧背。求得矢度，五度九十一分半。置周天半径，截矢余五十四度九十六分为股，乃本地支戴日下之度。以弦股别句术，求得句二十六度一下七分六十六秒，为日出地半弧弦。
北京立四丈表，夏至日午正，测得景长一丈一尺七寸一分。随以简仪测到太阳南至地平七十四度二十六分半，为半弧背。求得矢度，四十三度七十四分少。置周天半径，截矢余一十七度一十三分二十五秒为句，乃本地去戴日下之度。以句弦别股术，求得股五十八度四十五分半，为日出地半弧弦。
以二至日度相并，得一百度七十三分，折半得五十度三十六分半，为北京赤道出地度。以赤道出地度转减周天四之一，余四十度九十四分九十三秒七十五微，为北京北极出地度。
▲弧矢割圆
周天经一百二十一度七十五分少。少不用。半径六十零度八十七分半。又为黄赤道大弦。二至黄赤道内外半弧背二十四度。所测就整。二至黄赤道弧矢四度八十四分十二秒。黄赤道大句二十三度八十分七十秒。黄赤道大股五十六度零二分六十八秒。半径内减去矢度之数。
割圆求矢术 置半弧度自之，为半弧背幕，周天径自之，为上廉。上廉乘半弧背幕，为正实。上廉乘径，为益从方。半弧背倍之，乘径，为下廉。以初商乘上廉，得数以减益从方，余为从方。置初商自之以下廉，余以初商乘之，为从廉。从方、从廉相并，为下法。下法乘初商，以减正实，实不足减，改初商。实有不尽，次第商除之。倍初商数，与次商相并以乘上廉，得数以减益从方，余为从方。并初商次商而自之，又以初商自之，并二数以减下廉，余以初商倍数并次商乘之，为从廉。从方、从廉相并，为下法。下法乘次商，以减余实，而定次商。有不尽者，如法商之，皆以商得数为矢度之数。黄赤道同用。
如以半弧背一度求矢。术曰：置半弧背一度自之，得一度，为半弧幕。置周天径一百二十一度太自之，得一万四千八百二十三度零六分二十五秒，为上廉。上廉乘半弧背幕，得一万四千八百二十三度零六分二五，为正实。上廉又乘径，得一百八十零万四千七百零七度八十五分九十三秒七五，为益从方。半弧背一度倍之，得二度，以乘径得二百四十三度五十分，为下廉。初商八十秒。置初商八十秒乘上廉一万四千八百二十三度零六二五，得一百一十八度五八四五，以减益从方一百八十零万四千七百零七度八五九三七五，余一百八十零万四千五百八十九度二七四八七五，为从方。又置初商八十秒自之，得六十四微，以减下廉余二百四十三度四九九三六。仍以八十秒乘之，得一度九四七九九九四八八，为从廉。以从廉、从方并之，共得一百八十零万四千五百九十一度二二二八七四四八八，为下法。下法乘初商，得一万四千四百三十六度七十二分九七八二九九五九零四，以减正实，余实三百八十六度三十三分二七一七零零四零九六。次商二秒。置初商八十秒倍之，得一分六十秒。加次商二委六十二秒，乘上廉一万四千八百二十三度零六二五，得二百四十零度一三三六一二五，以减益从方，余一百八十零万四千四百六十七二五七六二五，为从方。又置初次商八十二秒自之，得六十七微。加初商八十秒自之之数，得一秒三十一微，以减下廉，余二百四十三度四九九八六九。以前所得一分六十二秒乘之，得三度九十四分四六九七八七七八，为从廉。以从廉、从方并，得一百八十零万四千四百七十一度六十七分零四六零三七八，为下法。下法乘次商，得三百六十零度八九四三三四零九二零七五五六，以减余实，仍余二十五度四三八三八二九一二零二零四四。不足一秒叶不用，下同。
凡求得矢度八十二秒，余度各如上法，求到矢度，以为黄赤相求及其内外度之根。数详后。
▲黄赤道差
求黄赤道各度下赤道积度术。 置周天半径内减去黄道矢度，余为黄赤道小弦。置黄赤道小弦，以黄赤道大股乘之大股见割圆为实。黄赤道大弦半径为法。实如法而一，为黄赤道小股。直黄道矢自乘为实，以周天全径为法，实如法而一，为黄道半背弦差。以差去减黄赤道积度，即黄道半弧背。余为黄道半弧弦。置黄赤道半弧弦自之为股幕，黄赤道小股自之为句幕，二幕并之，以开平方法除之，为赤道小弦。置黄赤道半弧弦，以周天半径亦为赤道大弦乘之为实，以赤道小弦为法而一，为赤道半弧弦。置黄赤道小股，亦为赤道横小句以赤道大弦即半径乘之为实，以赤道小弦为法而一，为赤道横大句，以减半径，余为赤道磺弧矢。横弧矢自之为实，以全径为法而一，为赤道半背弦差。以差加赤道半弧，为赤道积度。
如黄道半弧背一度，求赤道积度。术曰：“置半径六十零度八十七分五十秒，即黄赤道大弦。内减黄道矢八十二秒余六十零度八六六八，为黄赤道小弦。置黄赤道小弦，以黄赤道大股五十六度零二六八乘之，得三千四百一十零度一七二零三零二四为实，以黄赤道大弦六十零度八七五为法，实如