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差五十五年，折取其中，得六十七年，为日却行一度之差。施之今日，质诸天道，实为密近。
然古今历法，合于今必不能通于古，密于古必不能验于今。今《授时历》，以之考古，则增岁余而损岁差；以之推来，则增岁差而损岁余；上推春秋以来冬至，往往皆合；下求方来，可以永久而无弊；非止密于今日而已。仍以《大衍》等六历，考验春秋以来冬至疏密，凡四十九事，具列如后。
○冬至刻
《大衍》《宣明》《纪元》《天》《大明》《授时》
献公十五年戊寅岁，正月甲寅朔旦冬至。
丙辰22乙卯88丁巳33乙卯2丁巳35甲寅99
僖公五年丙寅岁，正月辛亥朔旦冬至。
辛亥94辛亥66壬子74辛亥27壬子89辛亥14）
昭公二十年己卯岁，正月己丑朔旦冬至。
己丑45己丑2庚寅25戊子92庚寅29戊子83
宋元嘉十二年乙亥岁，十一月十五日戊辰景长。
戊辰35戊辰32戊辰39戊辰51戊辰41戊辰47
元嘉十三年丙子岁，十一月二十六日甲戌景长。
癸酉59癸酉57癸酉63癸酉75癸酉65癸酉71
元嘉十五年戊寅岁，十一月十八日甲申景长。
甲申8甲申6甲申十2甲申24甲申14甲申19
元嘉十六年己卯岁，十月二十九日己丑景长。
己丑33己丑3己丑37己丑48己丑37己丑44
元嘉十七年庚辰岁，十一月初十日甲午景长。
甲午57甲午55甲午61甲午72甲午63甲午68
元嘉十八年辛巳岁，十一月二十一日己亥景长。
己亥82己亥79己亥85己亥97己亥87己亥93
元嘉十九年壬午岁，十一月初三日乙巳景长。
乙巳6乙巳4乙巳十乙巳21乙巳11乙巳17
大明五年辛丑岁，十一月乙酉冬至。
甲申7甲申68甲申73甲申89甲申74甲申79
陈天嘉六年乙酉岁，十一月庚寅景长。
庚寅12庚寅13庚寅5庚寅24庚寅8庚寅17
光大二年戊子岁，十一月乙巳景长。
乙巳8乙巳86乙巳79乙巳97乙巳81乙巳9
太建四年壬辰岁，十一月二十九日丁卯景长。
丙寅83丙寅78丙寅77丙寅95丙寅98丙寅87
太建六年甲午岁，十一月二十日丁丑景长。
丁丑32丁丑33丁丑25丁丑43丁丑27丁丑36
太建九年丁酉岁，十一月二十三日壬辰景长。
癸巳4癸巳6壬辰99癸巳16癸巳空癸巳8
太建十年戊戌岁，十一月五日戊戌景长。
戊戌3戊戌3戊戌23戊戌4戊戌24戊戌33
隋开皇四年甲辰岁，十一月十一日己巳景长。
己巳77己巳78己巳69己巳86己巳71己巳86
开皇五年乙巳岁，十一月二十二日乙亥景长。
乙亥1乙亥2甲戌92乙亥11甲戌55乙亥10
开皇六年丙午岁，十一月三日庚辰景长。
庚辰25庚辰26庚辰18庚辰34庚辰19庚辰34
开皇七年丁未岁，十一月十四日乙酉景长。
乙酉5乙酉51乙酉42乙酉59乙酉44乙酉59
开皇十一年辛亥岁，十一月二十八日丙午景长。
丙午48丙午49丙午43丙午57丙午41丙午56
开皇十四年甲寅岁，十一月辛酉朔旦冬至。
壬戌21壬戌22壬戌13壬戌3壬戌14壬戌29
唐贞观十八年甲辰岁，十一月乙酉景长。
甲申43甲申45甲申31甲申5甲申32甲申44
贞观二十三年己酉岁，十一月辛亥景长。
庚戌65庚戌68庚戌53庚戌72庚戌54庚戌66
龙朔二年壬戌岁，十一月四日己未至戊午景长。
戊午83戊午86戊午69戊午88戊午71戊午82
仪凤元年丙子岁，十一月壬申景长。
壬申25壬申28壬申10壬申28壬申12壬申22
永淳元年壬午岁，十一月癸卯景长。
癸卯72癸卯75癸卯57癸卯76癸卯58癸卯68
开元十年壬戌岁，十一月癸酉景长。
癸酉49癸酉54癸酉31癸酉5癸酉32癸酉46
开元十一年癸亥岁，十一月戊寅景长。
戊寅74戊寅77戊寅55戊寅74戊寅56戊寅7
开元十二年甲子岁，十一月癸未冬至。
癸未98甲申3癸未8癸未99癸未81癸未95
宋景德四年丁未岁，十一月戊辰日南至。
戊辰15戊辰26丁卯74丁卯82丁卯74丁卯8
皇祐二年庚寅岁，十一月三十日癸丑景长。
癸丑65癸丑79癸丑22癸丑25癸丑22癸丑23
元丰六年癸亥岁，十一月丙午景长。
丙午73丙午85丙午26丙午27丙午26丙午26
元丰七年甲子岁，十一月辛亥景长。
辛亥97壬子10辛亥5辛亥51辛亥5辛亥51
元祐三年戊辰岁，十一月壬申景长。
壬申94癸酉8壬申48壬申48壬申48壬申48
元祐四年己巳岁，十一月丁丑景长。
戊寅19戊寅32丁丑72丁丑72丁丑72丁丑72
元祐五年庚午岁，十一月壬午冬至。
癸未44癸未56壬午96壬午97壬午96壬午96
元祐七年壬申岁，十一月癸巳冬至。
癸巳92甲午5癸巳45癸巳45癸巳45癸巳45
元符元年戊寅岁，十一月甲子冬至。
乙丑39乙丑52甲子91甲子91甲子91甲子91
崇宁三年甲申岁，十一月丙申冬至。
丙申86丙申99丙申37丙申36丙申37丙申37
绍熙二年辛亥岁，十一月壬申冬至。
癸酉12癸酉27壬申57壬申47壬申57壬申46
庆元三年丁巳岁，十一月癸卯日南至。
甲辰59甲辰74甲辰3癸卯92甲辰3癸卯92
嘉泰三年癸亥岁，十一月甲戌日南至。
丙子5丙子21乙亥49乙亥37乙亥49乙亥37
嘉定五年壬申岁，十一月壬戌日南至。
癸亥25癸亥41壬戌69壬戌56壬戌68壬戌56
绍定三年庚寅岁，十一月丙申日南至。
丁酉65丁酉83丁酉7丙申63丁酉7丙申92
淳祐十年庚戌岁，十一月辛巳日南至。
壬午94壬午71辛巳96辛巳77辛巳94辛巳78
本朝至元十七年庚辰岁，十一月己未夜半后六刻冬至。
己未87庚申5己未25己未4己未24己未6
右自春秋献公以来，凡二千一百六十余年，用《大衍》、《宣明》、《纪元》、《统天》、《大明》、《授时》六历推算冬至，凡四十九事。《大衍历》合者三十二，不合者十七；《宣明历》合者二十六，不合者二十三；《纪元历》合者三十五，不合者十四；《统天历》合者三十八，不合者十一；《大明历》合者三十四，不合者十五；《授时历》合者三十九，不合者十事。
今按献公十五年戊寅岁正月甲寅朔旦冬至，《授时历》得甲寅，《统天历》得乙卯，后天一日；至僖公五年丙寅岁正月辛亥朔旦冬至，《授时》、《统天》皆得辛亥，与天合；下至昭公二十年己卯岁正月己丑朔旦冬至，《授时》、《统天》皆得戊子，并先一日，若曲变其法以从之，则献公、僖公皆不合矣。以此知《春秋》所书昭公冬至，乃日度失行之验。一也。《大衍历》考古冬至，谓刘宋元嘉十三年丙子岁十一月甲戌日南至，《大衍》与《皇极》、《麟德》三历皆得癸酉，各先一日，乃日度失行，非三历之差。今以《授时历》考之，亦得癸酉。二也。大明五年辛丑岁十一月乙酉冬至，诸历皆得甲申，殆亦日度之差。三也。陈太建四年壬辰岁十一月丁卯景长，《大衍》、《授时》皆得丙寅，是先一日；太建九年丁酉岁十一月壬辰景长，《大衍》、《授时》皆得癸巳，是后一日；一失之先，一失之后，若合于壬辰，则差于丁酉，合于丁酉，则差于壬辰，亦日度失行之验。五也。开皇十一年辛亥岁十一月丙午景长，《大衍》、《统天》、《授时》皆得丙午，与天合；至开皇十四年甲寅岁十一月辛酉冬至，而《大衍》、《统天》、《授时》皆得壬戌，若合于辛亥，则失于甲寅，合于甲寅，则失于辛亥，其开皇十四年甲寅岁冬至，亦日度失行。六也。唐贞观十八年甲辰岁十一月乙酉景长，诸历得甲申，贞观二十三年己酉岁十一月辛亥景长，诸历皆得庚戌，《大衍历议》以永淳、开元冬至推之，知前二冬至乃史官依时历以书，必非候景所得，所以不合，今以《授时历》考之亦然。八也。自前宋以来，测景验气者凡十七事，其景德丁未岁戊辰日南至，《统天》、《授时》皆得丁卯，是先一日；嘉泰癸亥岁甲戌日南至，《统天》、《授时》皆得乙亥，是后一日；一失之先，一失之后，若曲变其数以从景德，则其余十六事多后天，从嘉泰，则其余十六事多先天，亦日度失行之验。十也。
前十事皆《授时历》所不合，以此理推之，非不合矣，盖类其同则知其中，辨其异则知其变。今于冬至略其日度失行及史官依时历书之者凡十事，则《授时历》三十九事皆中，《统天历》与今历不合者仅有献公一事，《大衍历》推献公冬至后天二日，《大明》后天三日，《授时历》与天合。下推至元庚辰冬至，《大衍》后天八十一刻，《大明》后天一十九刻，《统天历》先天一刻，《授时历》与天合。以前代诸历校之，《授时》为密，庶几千岁之日至，可坐而致云。
古今历参校疏密
《授时历》与古历相校，疏密自见，盖上能合于数百载之前，则下可行之永久，此前人定说。古称善治历者，若宋何承天，隋刘焯，唐傅仁均、僧一行之流，最为杰出。今以其历与至元庚辰冬至气应相校，未有不舛戾者，而以新历上推往古，无不吻合，则其疏密从可知已。
宋文帝元嘉十九年壬午岁十一月乙巳日十一刻冬至，距本朝至元十七年庚辰岁，计八百三十八年。其年十一月，气应己未六刻冬至，《元嘉历》推之，得辛酉，后《授时》二日，《授时》上考元嘉壬午岁冬至，得乙巳，与元嘉合。
隋大业三年丁卯岁十一月庚午日五十二刻冬至，距至元十七年庚辰岁，计六百七十三年。《皇极历》推之，得庚申冬至，后《授时》一日；《授时》上考大业丁卯岁冬至，得庚午，与《皇极》合。
唐武德元年戊寅岁十一月戊辰日六十四刻冬至，距至元十七年庚辰岁，计六百六十二年。《戊寅历》推之，得庚申冬至，后《授时》一日；《授时历》上考武德戊寅岁，得戊辰冬至，与《戊寅历》合。
开元十五年丁卯岁十一月己亥日七十二刻冬至，距至元十七年庚辰岁，计五百五十三年。《大衍历》推之，得己未冬至，后《授时》八十一刻；《授时历》上考开元丁卯岁，得己亥冬至，与《大衍历》合，先四刻。
长庆元年辛丑岁十一月壬子日七十六刻冬至，距至元十七年庚辰岁，计四百五十九年。《宣明历》推之，得庚申冬至，后《授时》一日；《授时历》上考长庆辛丑岁，得壬子冬至，与《宣明历》合。
宋太平兴国五年庚辰岁十一月丙午日六十三刻冬至，距至元十七年庚辰岁，计三百年。《乾元历》推之，得庚申冬至，后《授时》一日；《授时历》上考太平兴国庚辰岁，得丙午冬至，与《乾元》合。
咸平三年庚子岁十一月辛卯日五十三刻冬至，距至元十七年庚辰岁，计二百八十年。《仪天历》推之，得庚申冬至，后《授时》一日；《授时》上考咸平庚子岁，得辛卯冬至，与《仪天》合。
崇宁四年乙酉岁十一月辛丑日六十二刻冬至，距至元十七年庚辰岁，计一百七十五年。《纪元历》推之，得己未日冬至，后《授时》十九刻；《授时历》上考崇宁乙酉岁，得辛丑日冬至，与《纪元历》合，先二刻。
金大定十九年己亥岁十一月己巳日六十四刻冬至，距至元十七年庚辰岁，计一百一年。《大明历》推之，得己未冬至，后《授时》一十九刻；《授时历》上考大定己亥岁，己巳冬至，与《大明历》合，先九刻。《大明》冬至盖测验未密故也。
庆元四年戊午岁十一月己酉日一十七刻冬至，距至元十七年庚辰岁，计八十二年。《统天历》推之，得己未冬至，先《授时》一刻；《授时历》上考庆元戊午岁，得己酉日冬至，与《统天历》合。
周天列宿度
列宿著于天，为舍二十有八，为度三百六十五有奇。非日躔无以校其度，非列舍无以纪其度，周天之度，因二者以得之。天体浑圆，当二极南北之中，络以赤道，日月五星之行，常出入于比。天左旋，日月五星溯而右转，昔人历象日月星辰，谓此也。然列舍相距度数，历代所测不同，非微有动移，则前人所测或有未密。古用窥管，今新制浑仪，测用二线，所测度数分秒与前代不同者，今列于左。
表略
日躔
日之丽天，县象最著，大明一生，列宿俱熄。古人欲测躔度所在，必以昏旦夜半中星衡考其所距，从考其所当；然昏旦夜半时刻未易得真，时刻一差，则所距、所当，不容无舛。晋姜岌首以月食冲检，知日度所在；《纪元历》复以太白志其相距远近，于昏后明前验定星度，因得日躔。今用至元丁丑四月癸酉望月食既，推求得冬至日躔赤道箕宿十度，黄道九度有奇。仍自其年正月至己卯岁终，三年之间，日测太阴所离宿次及岁星、太白相距度，定验参考，共得一百三十四事，皆躔箕宿，适与月食所冲允合。以金赵知微所修《大明历法》推之，冬至犹躔斗初度三十六分六十四秒，比新测实差七十六分六十四秒。
日行盈缩
日月之行，有冬有夏，言日月行度，冬夏各不同也。人徒知日行一度，一岁一周天，曾不知盈缩损益，四序有不同者。北齐张子信积候合蚀加时，觉日行有入气差，然损益未得其正。赵道严复准晷景长短，定日行进退，更造盈缩以求亏食。至刘焯立躔度，与四序升降，虽损益不同，后代祖述用之。
夫阴阳往来，驯积而变，冬至日行一度强，出赤道二十四度弱，自此日轨渐北，积八十八日九十一分，当春分前三日，交在赤道，实行九十一度三十一分而适平。自后其盈日损，复行九十三日七十一分，当夏至之日，入赤道内二十四度弱，实行九十一度三十一分，日行一度弱，向之盈分尽损而无余。自此日轨渐南，积九十三日七十一分，当秋分后三日，交在赤道，实行九十一度三十一分而复平。自后其缩日损，行八十八日九十一分，出赤道外二十四度弱，实行九十一度三十一分，复当冬至，向之缩分尽损而无余。盈缩均有损益，初为益，末为损。自冬至以及春分，春分以及夏至，日躔自北陆转而西，西而南，于盈为益，益极而损，损至于无余而缩。自夏至以及秋分，秋分以及冬至，日躔自南陆转而东，东而北，于缩为益，益极而损，损至于无余而复盈。盈初缩末，俱八十八日九十一分而行一象；缩初盈末，俱九十三日七十一分而行一象；盈缩极差，皆二度四十分。由实测晷景而得，仍以算术推考，与所测允合。
月行迟疾
古历谓月平行十三度十九分度之七。汉耿寿昌以为日月行至牵牛、东井，日过度，月行十五度，至娄、角，始平行，赤道使然。贾逵以为今合朔、弦、望、月食加时，所以不中者，盖不知月行迟疾意。李梵、苏统皆以月行当有迟疾，不必在牵牛、东井、娄、角之间，乃由行道有远近出入所生。刘洪作《乾象历》，精思二十余年，始悟其理，列为差率，以囿进退损益之数。后之作历者，咸因之。至唐一行，考九道委蛇曲折之数，得月行疾徐之理。
先儒谓月与五星，皆近日而疾，远日而迟。历家立法，以入转一周之日，为迟疾二历，各立初末二限，初为益，末为损。在疾初迟末，其行度率过于平行；迟初疾末，率不及于平行。自入转初日行十四度半强，从是渐杀，历七日，适及平行度，谓之疾初限，其积度比平行余五度四十二分。自是其疾日损，又历七日，行十二度微强，向之益者尽损而无余，谓之疾末限。自是复行迟度，又历七日，适及平行度，谓之迟初限，其积度比平行不及五度四十二分。自此其迟日损，行度渐增，又历七日，复行十四度半强，向之益者亦损而无余，谓之迟末限。入转一周，实二十七日五十五刻四十六分，迟疾极差皆五度四十二分。旧历日为一限，皆用二十八限。今定验得转分进退时各不同，今分日为十二，共三百三十六限，半之为半周限，析而四之为象限。
白道交周
当二极南北之中，横络天体以纪宿度者，赤道也。出入赤道，为日行之轨者，黄道也。所谓白道，与黄道交贯，月行之所由也。古人随方立名，分为八行，与黄道而九，究而言之，其实一也。