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定的概率。这样，雅克就找到了一种处理随机现象的数学方法。自此之后，
概率论也就从惠更斯所最初提出的一些基本问题，开始成为一门以随机数学
现象为基本研究对象的新的数学分支。同年，雅克在《博物者学报》上发表
了关于概率论的一些初步解答。后来，他又进一步总结了他在概率论方面的
研究成果，完成了 《猜测的艺术》这一早期概率论的奠基之作。在这一著作
中，雅克比较详尽地论述了以下问题：其一，概率论的基本问题；其二，排
列与组合理论的研究；其三，机会和对策中的概率问题；其四，概率论在民
间、道德和经济问题等方面的实际应用。这样，概率论也就由雅克的《猜测
的艺术》的完成而奠定了初步的数学基础。
雅克的《猜测的艺术》虽然直到1713年才出版，但他出版后，即对概率
论的发展产生重要影响。不久以后，这一新的数学分支即成为人们极为关注
的数学领域，新的著作相继问世，新的成果不断出现，直至19世纪成为科学
研究中基本的数学方法。
雅克除了作为变分法与概率论的奠基人而闻名于近代数学史外，还在级
数与解析几何的研究中有过重要贡献。在级数方面，雅克在1704年出版了《关
于无穷级数及其有限和的算术运用》一书，推进了级数理论方面的研究。在
解析几何方面，雅克还在笛卡尔坐标的基础上建立了极坐标。由于极坐标的
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建立，使得曲线及其方程的研究有了新的发展。
雅克是贝努利家族的第一个对近代数学产生重要影响的数学家。
（3）纯粹数学与应用数学的发展
约翰早年也是莱布尼茨的拥护者之一，并与莱布尼茨进行过一些卓有成
效的合作。与此同时，约翰也曾与雅克进行过合作。但是，到了后来，约翰
因急于成名，开始与其兄进行激烈的竞争，有时甚至把其兄的研究成果作为
自己的成果抢先发表。雅克因此对约翰的行为不满。后来，两兄弟即陷入公
开的冲突和对立中，莱布尼茨曾想从中调解，但雅克认为莱布尼茨是蓄意贬
低他的数学成就，因此雅克对莱布尼茨也不满，并转到反对莱布尼茨的方面。
约翰接任巴塞尔大学数学教授席位时，年仅39岁。他活了81岁，长寿
使他有充裕的时间来完成他的数学著作，因此约翰成为近代数学史上少有的
几位多产的数学家之一。他对近代数学的贡献，除了与其兄一道建立变分法
之外，主要在纯粹数学与应用数学两方面推动了近代数学的发展。
在纯粹数学方面，其中主要是在微积分的基础理论研究方面，约翰在曲
线求长和曲面求积的微分方程，在各种不同的积分方法等问题的研究上，均
取得过一些新的成果，这些新成果进一步丰富和发展了莱布尼茨微积分的原
理和方法。
约翰对纯粹数学的贡献，还表现在对微积分所进行的系统化和理论化的
研究工作上。1691年，约翰出版了《微分学初步》，这一著作被当时的大陆
许多大学作为微分学的基础教材。1742年，约翰又发表了《积分学教程》，
这一著作也同时被一些大学作为积分学的基础教材。因此，约翰的这两大著
作被誉为早期微积分的发展中的新的里程碑。
在应用数学方面，约翰把微积分引入到普通力学与天体力学方面。在其
《微分学初步》中，就曾探讨过微分这一新的数学方法在力学以及整个物理
学中的应用问题。1727年，约翰发表了《论运动的交换规律》一文，在普通
力学问题的研究中引入了微积分方法。1734年，又发表了《讨论行星椭圆轨
道，特别是轨道的倾斜度》一文，进一步推进了微积分在天体力学中的应用。
可以说，约翰是继牛顿之后，把微积分引入普通力学和天体力学的又一代表
人物。微积分进入力学的结果，不仅推动了力学及相关的物理学和天文学的
发展，而且推动了数学本身的发展。
（4）数学家族的第二代兄弟
继第一代贝努利兄弟之后，约翰的两个儿子：大儿子尼古拉·贝努利（1695
—1726年）和小儿子丹尼尔·贝努利 （1700—1782年）也成了著名数学家。
人们因此把他们称为贝努利数学家族的第二代贝努利兄弟，亦称为小贝努利
兄弟。
与其父辈相似，尼古拉虽在数学上作过一些贡献，但与他的伯父一样早
逝，而丹尼尔则与其父一样，活到82岁高龄，在近代数学史上产生过更大影
响。
丹尼尔生於约翰在格罗宁根大学期间，后随父返回巴塞尔大学。他早年
在巴塞尔大学学医，此后不久，去德国和意大利留学。1725—1733年间，丹
尼尔应聘去俄国彼得堡科学院工作，成为彼得堡科学院的第一批外籍院士。
1733—1755年，回巴塞尔大学任解剖学和植物学等课教授。1750年以后，任
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巴塞尔大学的哲学教授。在数学研究中，丹尼尔综合了第一代贝努利兄弟的
成就，在微积分、概率论以及应用数学方面，均作出了杰出贡献。
在微积分方面，丹尼尔在1724年即出版了他的第一部数学著作《几门数
学练习》，此后，他又发表了一些关于微积分的著作。在这些著作中，他研
究了微分方程与偏微分方程的解法，特别是偏微分方程研究方面，推动了微
积分的发展。
在概率论方面，丹尼尔研究了《猜测的艺术》等早期概率论著作，首次
把微积分方法列入概率论研究。1730年，丹尼尔发表了《赌博法新论》，1759
年，又发表了《关于猜测的新问题的分析研究》。在这两部概率论专著中，
丹尼尔将概率论首次用于人口问题的统计分析，提出了正态分布误差理论，
为人口理论的发展提供了数学方法。
在应用数学方面，他把微积分方法全面引入物理学研究，并因此成为数
学物理方法的奠基人。他还应用他的数学物理方法，推进了流体动力学与气
体动力学的研究。1738年，丹尼尔建立了流体动力学与气体动力学中的基本
方程，即流体速度、压强、势能之和为一常量的流体运动方程，人们通称之
为贝努利方程或贝努利定理。同年，丹尼尔出版了《流体动力学》一书，书
中除奠定了流体力学的一般理论基础之外，还对流体的喷射推进现象进行了
最早的研究。这一研究，使他成为近代喷射理论研究的先驱之一。
在应用数学方面，丹尼尔不仅把微积分引入了流体力学研究，而且也引
入了天体力学研究。早在1734年，丹尼尔就与其父约翰合作，研究了行星轨
迹的力学问题，并以 《行星轨道与太阳赤道不同交角的原因》这一天体力学
论文而获巴黎科学院奖金。
由于丹尼尔在多种数学领域中所作的重要贡献，他因此成为贝努利家族
中与雅克和约翰齐名的著名数学家。
（5）数学家族与欧拉和哥德巴赫
在贝努利家族先后产生了11名数学家，这个家族因此成为数学史上著名
的数学家族。贝努利家族不仅在微积分、变分法、概率论以及应用数学诸方
面作出了重要贡献，而且在他们的培养和直接影响下，出现了以欧拉 （1707
—1783年）和哥德巴赫 （1690—1764年）为代表的一些著名的数学家。
欧拉是约翰在巴塞尔大学任教时的学生。他出生在巴塞尔附近的一个牧
师家庭。他的父亲曾要他去学神学，但年少的欧拉却执意追随约翰学数学。
由于成绩优异，15岁时大学毕业，16岁开始发表数学论文，19岁时以船的
立桅问题获巴黎科学院奖金。后来，由丹尼尔推荐，被聘为彼得堡科学院院
士，并在1733年前往彼得堡接任丹尼尔的数学教授席位。此后在彼得堡科学
院工作8年（1733—1741年），1741年，欧拉应普鲁士腓特烈大帝之邀去柏
林，在柏林科学院工作了25年。在此期间，欧拉给彼得堡科学院寄去了大批
数学论文。1766年，欧拉在双目即将失明的情况下，仍应叶卡特琳娜女王之
邀，重返彼得堡，一直在彼得堡科学院工作到临终。
欧拉在数学上的重要贡献，是在贝努利家族的数学成就的基础上，全面
推进了纯粹数学与应用数学在各个分支方面的发展。在纯粹数学方面，他的
主要著作《无穷小分析引论》（两卷，1748年出版）、《微分原理》（1755
年出版）、《积分原理》（三卷，1768—1770年出版）丰富和发展了微积分、
微分方程、变分法、微分几何、数论等各数学分支的内容。在应用数学方面，
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他以微积分为主要数学方法，对力学、声学、光学、热学以及多种工程技术
进行广泛的研究，并取得了有影响的成果，在力学中，欧拉继承和发展了丹
尼尔的流体力学成就，进一步奠定了流体力学的理论基础，并以流体力学与
船舶力学相结合的论文《论船舶的左右及前后摇晃》在1759年获巴黎科学院
奖金。在光学方面，他完成了折射望远镜、反射望远镜、显微望远镜的许多
计算问题，从而推动了几何光学的发展。
欧拉是科学史上罕见的多产科学家之一。据说他的科学论著若全部出
齐，估计多达74卷之多，而且其中不少论著是在他双目失明后完成的。他的
科学成就，特别是他的科学精神，确实是近代科学史上光辉的一页。
哥德巴赫生于德国，早年留学于英国牛津大学法学系。他在欧洲各国旅
行期间，由于结识贝努利家族而开始对数学产生兴趣，并开始进行业余数学
研究。1725年，哥德巴赫作为普鲁士公使出使俄国。1733年欧拉来到俄国之
后，哥德巴赫即与欧拉共同探讨一些数学问题。1741年欧拉前往柏林之后，
哥德巴赫移居莫斯科。自此之后直到哥德巴赫去世的1764年，哥德巴赫与欧
拉始终保持着通信联系。他的不少数学成就，都是与欧拉通信商讨过程中取
得的。
哥德巴赫在近代数学上的重要贡献是在数论方面。1742年6月7日，哥
德巴赫在给欧拉的信中提出：每一偶数都是两个素数之和；每一奇数或者是
一个素数，或者是三个素数之和；推而言之，任何一个整数n≥6时，都可以
用三个素数的和表示。同年6月30日，欧拉在给哥德巴赫的回信中指出：要
解决定这一问题的关键在于充分证明每一个偶数都是两个素数之和。因为其
他问题可以从这一问题中推导出来。由于这一问题是哥德巴赫最先以猜想的
形式提出的，因此这一问题被后来的数学家称为“哥德巴赫猜想”，或称为
哥德巴赫——欧拉问题。哥德巴赫猜想的提出，对近代数论的发展产生过极
大的推动作用。
此外，哥德巴赫在微积分与级数方面也有过一些重要贡献。
在贝努利家族的影响下，微积分方法在德国也得到比较迅速的普及。去
法国传播微积分的工作主要是由约翰的学生、法国数学家罗彼德（1661—1705
年）进行的，并因此为法国在18世纪末和19世纪初的近代数学的繁荣打下
了初步基础。
继牛顿和莱布尼茨之后，贝努利家族及其数学成就对欧洲大陆数学产生
了广泛的影响。
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六、化学
1。近代化学的发生
近代化学迟至17世纪中期才产生，它的产生与炼金术有很大关系。当中
国炼金术通过阿拉伯传入欧洲后，第一个真正相信炼金术，并且认真地研究
过炼金术的人，是 13世纪的实验科学的开拓者、英国哲学家罗吉尔·培根
（1214—1294年），他曾进行过炼金术的实验，并开始试制火药。1317年，
罗马教皇约翰二世颁布禁令，严禁炼金术，但炼金术仍在发展之中，为寻找
黄金和“哲人之石”——当时欧洲人对“丹”的另一种称呼，众多的炼金术
陷入了盲目的化学实验中，但却导致了某些元素、金属盐类、无机酸、酒精
等许多新的化学发现。
15世纪末和16世纪初，炼金术与炼丹术在欧洲进入了全盛时期，而以
行医和制药为职业的炼金术士瑞士的巴拉塞尔苏斯（1493—1541年）则是这
一时期内炼金术的主要代表人物。他曾用水银制剂治好过一些病，并在炼丹
术的实验中炼制过一些金属药剂，在一系列的实验中，他对蒸馏、溶解、升
华、还原、凝结等操作过程进行了研究。他相信古希腊自然哲学中四元素理
论，认为四元素在人体内变成了盐、琉、汞三要素，这三要素就构成了人体
的三基，而这三基又分别支撑着人的身体、灵魂和精神。他的炼丹术与炼金
术奠定了最初的医药化学基础。
比利时的炼金术士赫尔蒙特（1579—1644年）则是从炼金术向近代化学
过渡时期的代表人物。1609年他偕同新婚的妻子隐居于维尔伏尔德长达 7
年，从事他自己所说的“火术”（实为炼金术）的研究。在实验中，赫尔蒙
特最先发现，空气并不是一种纯净物质，不是一种元素，而是一种含有不同
类别气体的混合物，他曾发现了二氧化碳、一氧化碳、二氧化氮。因此，他
曾不止一次地把自己称为“气体发明家”。
此外，赫尔蒙特还在实验中试制并使用了硫酸、硝酸等无机酸，辨认出
人体的胃液中所含有的酸以及胆汁中所含有的碱。他还初步发现了真空的存
在。
然而，赫尔蒙特对近代化学的贡献，主要是他的化学实验方法和化学元
素理论。
在化学实验方法上，他十分重视化学实验中的定量分析，他在实验中广
泛地使用天平，这就促进了定量分析方法在化学实验中的运用和发展。定量
分析是炼金术向近代化学转变的重要一步。
在化学元素理论上，赫尔蒙特以他的实验事实为基础，否定了古希腊自
然哲学中的元素学说，他认为，元素之所以称为元素，是因为它们不能转变
成别的东西，而且也不能把它们还原为更简单的状态。根据元素这一定义，
他认为土与火并不是元素，而只有水和空气才是真正的元素。这个元素的定
义为后来波义耳确定元素的科学定义奠定了直接的理论基础，波义耳认为赫
尔蒙特“在实验方面比许多学者所乐意认为的更加伟大”。
赫尔蒙特死于1644年，他的主要著作《医学入门》于1648年出版，正
是在这一著作的影响下，英国青年波义耳踏上了把炼金术彻底转变为化学的
科学道路。
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2。波义耳的化学成就
（1）波义耳的实验化学成就
波义耳（1627—1691年）生于爱尔兰的利菲莫尔堡的一个贵族家庭。为
了学习大陆科学，少年时，曾到意大利、瑞士等国留学，在留学期间，他学
习了当时尚处于炼金术襁褓中的早期化学。1644年，他父亲、保皇党派的理
查德伯爵被击毙，他只得赶回爱尔兰多尔塞特郡老家，去看守祖传庄园并开
始过隐居生活。在隐居期间，他进行了哲学和早期化学的研究。
1646年，波义耳应邀加入了由威尔金斯组织的群众性科学社团——“哲
学学会”（亦称无形学院）。1648年，威尔金斯被克伦威尔政府任命主持对
牛津大学的改革，威尔金斯邀请波义耳到牛津去工作。本来，早在1645年，
波义耳就曾在他家的位于牛津的祖传领地斯泰尔桥筹建过物理化学实验室，
此时，波义耳也极想返回自己在牛津的实验室。1654年，波义耳应邀重返牛
津。自此以后，波义耳的实验化学研究进入了一个新的时期。
在牛津期间，波义耳重建了斯泰尔桥的物理化学实验室，聘请了包括青
年胡克在内的一批助手，开始进行多种课题的实验化学研究，如与胡克一起
进行的大气压力实验、多种燃烧实验，差不多都是在牛津进行的。波义耳在
牛津留居长达十四年之久，斯图亚特王朝复辟后，波义耳移居伦敦。�