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所以，如果一个复杂的表达式出现于第四个位置，如δ在ＣαＣβＣγＣδ∈中那样，我们相继应用Ⅶ和Ⅵ能够把它移至
…… 175
３２。化归为初等表达式A ３６１
第三个位置：
ＣαＣβＣγＣδ∈～ＣＮＣαＮＣγＣδ∈由Ⅶ；
ＣＮＣαＮβＣγＣδ∈～ＣＮＣαＮβＣδＣγ∈由Ⅵ。
从这个最后的表达式，我们由Ⅶ的逆向的应用（ｔｈｅ
ＣｏｎCｖｅｒｓｅ
ａｐｌｉｃａｔｉｏｎ）得到公式：
ＣＮＣαＮβＣδＣγ∈～ＣαＣβＣδＣγ∈由Ⅶ。
现在用Ⅵ和Ⅴ就易于将δ带到第一个位置：ＣαＣβＣδＣγ∈～ＣαＣδＣβＣγ∈由Ⅵ，ＣαＣβＣδＣγ∈～ＣαＣδＣβＣγ∈由Ⅴ。
重复地在两个方向应用变形Ⅶ我们能够把任何前件从第ｎ个位置移到第一个位置，如果它是复杂的，就用Ⅱ、Ⅲ与Ⅳ使之变形为一个简单表达式。
定理（ＴＢ）
的证明就这样完成了。
现在容易表明这个定理推出对于演绎理论Ｃ—Ｎ系统的判定的证明。
如果一个给定的表达式α已经被化归为若干初等表达式，而所有这些初等表达式都是真的，亦即，如果在它们的诸前件中有两个Ｐ与Ｎｐ型的表达式，那么α就是一个断定命题并必须加以断定。
另一方面，如果α已经化归成的初等表达式中，至少有一个表达式在其中没有两个前件是Ｐ与Ｎｐ型的，那么α必须被排斥。
在第一种情况下，我们能用断定命题Ｓ１—Ｓ１３来证明。
在第二种情况下，我们能够反驳它，除了用上面的断定命题外，还得加上两条新的：Ｓ１４。
ＣｐＣｐｑＳ１５。
ＮＣｐ，以及排斥的公理：
…… 176
４６１第五章 判定问题
PＳ１６。
Ｐ。
用两个例子来把这一点说清楚。
第一个例子：断定命题ＣｐＣｐｑｑ的证明。
这个断定命题必须首先化归为初等表达式。
这是由以下的分析（Ｌ）作出的：
ＣｐＣｐｑ～ＣＮＣｐＣｐｑｒ由Ⅰ；
ＣＮＣｐＣｐｑｒ～ＣｐＣＮＣｐｑｒ由Ⅲ；
ＣｐＣＮＣｐｑｒ～ＣＮＣｐｑＣｐｒ由Ⅴ；
ＣＮＣｐｑＣｐｒ～ＣｐｑＣＮｑＣｐｒ由Ⅲ；
ＣｐｑＣＮｑＣｐｒ～ＣＮｐＣＮｑＣｐｒ，ＣｑＣＮｑＣｐｒ由Ⅳ。
ＣｐＣｐｑｑ化归成的初等表达式是ＣＮｐＣＮｑＣｐｒ与ＣｑＣＮCｑＣｐｒ。
像所有曾应用过变形Ⅰ的表达式一样，这两个都有一个不在前件中出现的变项作为最后一个词项。
这样的表达式只有在它们有两个前件是Ｐ与Ｎｐ型的条件下，才能是真的，并且这类的任何表达式都能用变形Ⅴ，Ⅵ与Ⅶ化归为Ｓ１的一个代入式，一个断定命题的证明总必须由此开始。
这里就是所需要的推演：
Ｓ１。
ｑＣＮｑｒ×（１）
＇（１）ＣｐＣＮｐＣＮｑｒ
Ｓ１０。
ｑＮｐ，ｒＣＮｑｒ×Ｃ（１）—（２）
＇（２）ＣＮｐＣｐＣＮｑｒ
Ｓ１。
ｐＮｐ，ｑｐ，ｒＮｑ，ｓｒ×Ｃ（２）—（３）
＇（３）ＣＮｐＣＮｑＣｐｒ
Ｓ１。
ｐｑ，ｑＣｐｒ×（４）
＇（４）ＣｑＣＮｑＣｐｒ。
…… 177
３２。化归为初等表达式A ５６１
在（３）和（４）之中已得到了与我们的分析（Ｌ）之末达到的相同的初等表达式，现在我们用这些相继的变形所依靠的那些断定命题从它们进到其左方的等值式，这样，一步一步地，借助于Ｓ９，Ｓ６，Ｓ１０与Ｓ２，我们得到我们原来的断定命题：
Ｓ９。
ｒＣＮｑＣｐｒ×Ｃ（３）—Ｃ（４）—（５）
＇（５）ＣＣｐｑＣＮｑＣｐｒ
Ｓ６。
ｐＣｐｑ，ｒＣｐｒ×Ｃ（５）—（６）
＇（６）ＣＮＣｐｑＣｐｒ
Ｓ１０。
ｐＮＣｐｑ，ｑｐ×Ｃ（６）—（７）
＇（７）ＣｐＣＮＣｐｑｒ
Ｓ６。
ｑＣＣｐｑ×Ｃ（７）—（８）
＇（８）ＣＮＣｐＣｐｑｒ（８）
ｒＣｐＣｐｑ×（９）
＇（９）ＣＮＣｐＣｐｑＣｐＣｐｑ
Ｓ２。
ｐＣｐＣｐｑ×Ｃ（９）—（１０）
＇（１０）ＣｐＣｐｑ。
凭借这种方式，我们能够证明任何我们想要证明的断定命题。
第二个例子：表达式ＣＣＮｐｑｑ的反驳。
我们首先在以下分析的基础上把这个表达式化归为初等表达式：ＣＮｐｑ～ＣＮＣＮｐｑｒ由Ⅰ；ＣＮＣＮｐｑｒ～ＣＮｐｑＣＮｑｒ由Ⅲ；ＣＮｐｑＣＮｑｒ～ＣＮｐＣＮｑｒ，ＣｑＣＮｑｒ由Ⅳ；ＣＮｐＣＮｑｒ～ＣｐＣＮｑｒ由Ⅱ。
…… 178
６１第五章 判定问题
表达式ＣＣＮｐｑｑ就这样化归为两个初等表达式，ＣｑＣＮｑｒ与ＣｐＣＮｑｒ，其中第一个是一个断定命题，但第二个不是真的，因为它没有两个ｐ与Ｎｐ型的前件。
所以，导致这个不真的后果的表达式ＣＣＮｐｑｑ必须加以排斥。
我们根据给定的变形相继地应用断定命题Ｓ１，Ｓ５，Ｓ７与Ｓ３来从头开始这一反驳：
Ｓ１。
ｐＣＣＮｐｑ，ｑｒ×（１）
＇ ＇（１）ＣＣＮｐｑＣＮＣＮｐｑｒ
Ｓ５。
ｐＣＮｐｑ×（１２）
＇（１２）ＣＣＮＣＮｐｑｒＣＮｐｑＣＮｑｒ
Ｓ７。
ｐＮｐ，ｒＣＮｑｒ×（１３）
＇（１３）ＣＣＮｐｑＣＮｑｒＣＮｐＣＮｑｒ
Ｓ３。
ｑＣＮｑｒ×（１４）
＇（１４）ＣＣＮｐＣＮｑｒＣｐＣＮｑｒ。
现在我们必须反驳表达式ＣｐＣＮｑｒ；为此目的我们需要新的断定命题Ｓ１４与Ｓ１５以及排斥的公理。
Ｓ１４。
ｐＮＮＣｐ，ｑｐ×ＣＳ１５—（１５）
＇ ＇（１５）ＣＣＮＣｐ（１５）×Ｃ（１６）—Ｓ１６c（P１６）ＣＮＣｐ
Ｓ１４。
ｐＣｐＣＮｐｑ，ｑＣＮＣｐ×ＣＳ１—（１７）
＇（１７）ＣＣｐＣＮｐｑＣＮＣｐＣＮＣｐ（１７）×Ｃ（P１８）—（P１６）
（P１８）ＣＣｐＣＮｐｑＣＮＣｐ（P１８）×（P１９）ｐＣｐＣＮｐｑ，ｑＮＣｐ，ｒｐ＇（P１９）ＣｐＣＮｑｒ
…… 179
３２。化归为初等表达式A ７６１
排斥了ＣｐＣＮｑｒ，现在我们就能够相继地排斥它的各前件直到原来的表达式ＣＣＮｐｑ。
（１４）×Ｃ（P２０）—（１９）
（P２０）ＣＮｐＣＮｑｒ（１３）×Ｃ（P２１）—（P２０）
（P２１）ＣＣＮｐｑＣＮｑｒ（１２）×Ｃ（P２）—（P２１）
（P２）ＣＮＣＮｐｑｒ（１）×Ｃ（P２３）—（P２）
（P２３）ＣＣＮｐｑ用这种方式，你能够反驳Ｃ—Ｎ系统的任何不真的表达式。
所有这些推导本可作得更为简短一些，但是我企图表明包含在判定证明中的这个方法。
这个方法使我们能够在仅仅十五条基本的断定命题（Ｓ１—Ｓ１５）
及排斥公理的基础上有效地去判定，究竟一个给出的Ｃ—Ｎ系统的有意义的表达式是应当被断定还是应当被排斥。
因为演绎理论的所有其它函子都可以用Ｃ与Ｎ来定义，所以演绎理论的所有有意义的表达式都是在一个公理系统的基础上可被判定的。
能够列出十五条基本断定命题的一个公理系统，在这个意义上是完全的，即所有这个系统的真表达式都可以在其中推出。
属于这一类的有：在第２３节提出的三条公理的系统，以及作为变形Ⅳ的基础的那三条公理（即ＣＣｐｑｒＣＮｐｒ，ＣｐｑｒＣｑｒ以及ＣＣＮｐｒＣＣｑｒＣCＣｐｑｒ）的系统。
根据定理（ＴＡ）
，每一个有意义的亚里士多德逻辑的表达式，能够化归为初等表达式，这个定理的证明隐含地包括在
…… 180
８６１第五章 判定问题
对于演绎理论的类似定理的证明之中。
如果我们把用于变形Ⅰ—Ⅶ中之希腊字母（除了在变形Ⅰ中最后的那个变项之外）代之以亚里士多德逻辑的命题表达式，我们能够用同样的方式应用这些变形于它们，犹如用于演绎理论的表达式一样。
在ＣＣＮＡａｂＡｂａＩａｂ的例子中，能够容易地看出这一点来。
我们得到：ＣＮＡａｂＡｂａＩａｂ～ＣＮＣＮＡａｂＡｂａＩａｂｐ由Ⅰ；ＣＮＣＮＡａｂＡｂａＩａｂｐ～ＣＮＡａｂＡｂａＣＮＩａｂｐ由Ⅲ；ＣＮＡａｂＡｂａＣＮＩａｂｐ～ＣＮＡａｂＣＮＩａｂｐ，
ＣＡｂａＣＮＩａｂｐ由Ⅳ；ＣＮＡａｂＣＮＩａｂｐ～ＣＡａｂＣＮＩａｂｐ由Ⅱ。
我们通常能够写Ｏａｂ来代替ＮＡａｂ，以Ｅａｂ代替ＮＩａｂ。
然而，应用带Ｎ的形式在今后将是更为便利的。
ＣＮＡａｂＡｂａＩａｂ所化归成的ＣＡａｂＣＮＩａｂｐ与ＣＡｂａCＣＮＩａｂｐ这两个初等表达式，都有一个变项作为它们的最后的词项。
这个变项是由变形Ⅰ引入的。
我们能够用以下的演绎等值的变形消去它，其中π是一个不在α或β中出现的命题变项：Ⅷ。
ＣαＣβπ～ＣαＮβ对于Ｓ１７与Ｓ１８而言，Ⅸ。
ＣαＣＮβπ～Ｃαβ对于Ｓ１９与Ｓ２０而言。
对于变形Ⅷ的断定命题：Ｓ１７。
ＣｐＣｑＮｑＣｐＮｑＳ１８。
ＣｐＮｑＣｐＣｑｒ。
对于变形Ⅸ的断定命题：Ｓ１９。
ＣｐＣＮｑＣｐｑ
…… 181
３。三段论系统的初等表达式A ９６１
Ｓ２０。
ＣｐｑＣｐＣＮｑｒ。
当ＣαＣβπ被断定了，用Ｎβ替代π我们从它得到表达式ＣαＣβＮβ，并随后再用Ｓ１７得到ＣαＮβ；并且，反过来，用Ｓ１８从ＣαＮβ得到表达式ＣαＣβπ。
当ＣαＣβπ被排斥时，由Ｓ１８我们得到ＣＣαＮβＣαＣβπ，所以ＣαＮβ必须被排斥；并且反过来，当ＣαＮβ被排斥时，由Ｓ１７我们得到ＣＣαＣβＮβＣαＮβ，所以ＣαＣβＮβ必须被排斥，从而ＣαＣβπ也必须被排斥。
变形Ⅸ能用同样的方式加以解释。
这一点我们可以直接地应用于我们的例子。
以Ａａｂ代α，Ｉａｂ代β，以及ｐ代π；你得到ＣＡａｂ
Ｉａｂ。
用同样方式，从ＣＡｂａ
ＣＮＩａｂｐ得出ＣＡｂａＩａｂ。
如果我们有多于两个前件的表达式，例如，有几个前件，我们必须重复地应用变形Ⅶ，首先把ｎ—１个前件化为一个前件，然后再应用变形Ⅷ和Ⅸ。
例如，举以下例子：ＣＮＩａｂＣＡｃｂＣＡｄｃＣＩａｄｐ～ＣＮＣＮＩａｂＮＡｃｂＣＡｄｃＣＩａｄｐ由Ⅶ，ＣＮＣＮＩａｂＮＡｃｂＣＡｄｃＣＩａｄｐ～ＣＮＣＮＣＮＩａｂＮＡｃｂＮＡｄｃＣＩａｄｐ由Ⅶ；ＣＮＣＮＣＮＩａｂＮＡｃｂＮＡｄｃＣＩａｄｐ～ＣＮＣＮＣＮＩａｂＮＡｃｂＮＡｄｃＮＩａｄ由Ⅷ；ＣＮＣＮＣＮＩａｂＮＡｃｂＮＡｄｃＮＩａｄ～ＣＮＣＮＩａｂＮＡｃｂＣＡｄｃＮＩａｄ由Ⅶ；ＣＮＣＮＩａｂＮＡｃｂＣＡｄｃＮＩａｄ～ＣＮＩａｂＣＡｃｂＣＡｄｃＮＩａｄ由Ⅶ。
定理（ＴＡ）
现在充分地被证明了。
所以我们能够进行到我们的主要项目：亚里士多德三段论系统的判定的证明。
…… 182
０７１第五章 判定问题
３。三段论系统的初等表达式A根据定理（ＴＡ）
，亚里士多德三段论系统的表达式都能够用演绎地等值的方式化归为一组初等表达式，亦即具有
Ｃα１Ｃα２Ｃα３Ｃαｎ１ＣαｎC形式的表达式，其中所有的α都是三段论系统的简单表达式，亦即Ａａｂ，Ｉａｂ，Ｅａｂ或ＮＩａｂ，以及Ｏａｂ或ＮＡａｂ等类型的表达式。
现在，我将表明三段论系统的每一个初等表达式都是可判定的，也就是说或者被断定，或者被排斥。
我将首先证明所有简单表达式（除Ａａａ及Ｉａａ型的表达式外）都是被排斥的。
我们已经看到（第２７节，公式P６１）
Ｉａｃ是被排斥的。
这里是其它表达式的排斥的证明：P６１×P１０。
ｃｂ＇ P１０。
Ｉａｂ８×ＣP１０１－P１００（８，ＣＡａｂＩａｂ）
P１０１。
ＡａｂＩＶ。
ｐＡａ，ｑＩａｂ×Ｃ１—１０２＇ ＇（ＩＶ。
ＣｐＣＮｐｑ）
１０２。
ＣＮＡａⅠａｂ１０２×ＣP１０３—P１０P１０３。
ＮＡａａ（＝Ｏａ）
P１０３×P１０４。
ｂａ＇ P１０４。
ＮＡａｂ（＝Ｏａｂ）
ＩＶ。
ｐＩａ，ｑＩａｂ×Ｃ２—１０５＇１０５。
ＣＮＩａＩａｂ
…… 183
３。三段论系统的初等表达式A １７１
１０５×ＣP１０６—P１０P１０６。
ＮＩａａ（＝Ｅａ）
P１０６×P１０７ｂａ＇ P１０７ＮＩａｂ（＝Ｅａｂ）
现在转向复杂的初等表达式，我将相继地研究所有可能的情况，而省去可能的形式证明，而仅提出它们如何能得以证明的提示。
有六种情况应当加以研究。
第一种情况：后件αｎ是否定的，而所有各前件都是肯定的。
这样的表达式都是被排斥的。
证明：把在这个表达式中出现的所有变项都等同于ａ，作为同一律Ａａｕ或Ｉａ，所有前件都成为真的，而后件成为假的。
我们看出，对于这个情况的解决说来，同一律乃是根本的。
第二种情况：后件是否定的，并且只有一个前件是否定的。
这个情况可以化归为只具有肯定元素的情况，并且这样的情况，如我们随后将看到的，总是可判定的。
证明：ＣαＣＮβＮγ形式的表达式都演绎地等值于ＣαＣγβ形式的表达式（对于断定命题ＣＣｐＣＮｒＮｑＣｐＣｑｒ与ＣＣｐＣｑｒCＣｐＣＮｒＮｑ而言）
，这不仅对于一个肯定的前件α是真的，而且对于任何数量的肯定的前件都是真的。
第三种情况：后件是否定的，并且一个以上的前件是否定的。
这类表达式能化归为简单表达式，以至最终化归为第二种情况。
这个情况的解需要斯卢派斯基排斥规则。
证明：让我们假定原表达式是ＣＮαＣＮβＣγ…
Ｎｐ形式的。
因为任一前件都可以移至无论那一个位置，这个假定总是可以作出的。
我们把这个表达式相应地省去其第二个或第一个
…… 184
２７１第五章 判定问题
前件，化归为两个比较简单一些的表达式ＣＮαＣγ…
Ｎｐ与ＣＮβＣγ…
Ｎｐ。
如果这些表达式有一个以上的否定前件，我们就重复这种处理，一直到我们得出只带有唯一的否定前件的公式为止。
因为根据第二种情况，这样的公式都是演绎地等值于可判定的肯定的各表达式的，所以它们总是或者被断定或者被排斥。
只要它们之中的一个被断定了，那末原表达式也必须被断定，因为用简化定律我们可以把先前加以省略的所有其它否定前件加于这个断定的公式之上。
然而如果所有具有一个否定前件的公式都被排斥了，那么我们重复运用斯卢派斯基排斥规则，从它们得出原表达式必须被排斥。
举两个例子就可以透彻地说明问题。
第一个例子：ＣＮＡａｂＣＮＡｂｃ