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现在已经证明，ＫＭｐＭＮｐe具有恒值３；同样可以表明，ＫＷｐＷＮｐ具有恒值２。
这样，我们就得到两个断定的公式：８４。
ＸＫＷｐＷＮｐ和８５。ＫＭｐＭＮｐ。
e这表明在我们的系统中存在真的Ｘ－偶然命题和真的－偶e然命题。
我们就可以将在亚里士多德意义上的偶然性和我们的四值模态逻辑协调起来。
从Ｍ１５也得出，Ｘ－偶然性和－偶然性是孪生子。
如果e我们在Ｍ１５中用３代替２，用２代替３，那末，Ｘ就变成，而e变成Ｘ。
然而，Ｘ跟是有区别的，其区别的程度比Ｍ和Ｗe的区别更大，因为命题Ｘｐ和ｐ是相互矛盾的。
容易看到，借e助于Ｍ１５，下述等式是成立的：（γ）Ｘｐ＝Ｎｐ＝Ｎｐ和 （δ）ｐ＝ＸＮｐ＝ＮＸｐ。
e
…… 260
８４２第七章 模态逻辑系统
矛盾律和排中律对Ｘｐ和ｐ都是真的，也就是说，我们有：e８６。
ＮＫＸｐｐ和８７。
ＨＸｐｐ。
e这表示，一个命题不能同时既是Ｘ－偶然的又是－偶然的，e而任何命题或者是Ｘ－偶然的，或者是－偶然的。
Ｘ－偶然e命题的否定是－偶然命题，反过来，－偶然命题的否定是e eＸ－偶然命题。
这听起来好像是自相矛盾的，因为我们习惯于认为：那种非偶然的东西，或者是不可能的，或者是必然的，不可能和必然是与同一种可能性发生联系的。
但是，非Ｘ－偶然的，或者是Ｍ－不可能的，或者是Ｍ－必然的，这种说法是不正确的；应该说，那种非Ｘ－偶然的东西，或者是Ｍ－不可能的，或者是Ｗ－必然的，而那种或者Ｍ－不可能、或者Ｗ－必然的东西是与－偶然的东西等值的。
e同样的误解是由于围绕断定命题８进行的争论而引起的，
８。
ＣＫＭｐＭｑＭＫｐｑ，它在我们系统中是被断定的。
刘易士（Ｃ。
Ｉ。
Ｌｅｗｉｓ）在他某些模态系统中断定了公式：８９。
ＣＭＫｐｑＫＭｐＭｑ，但是拒绝了它的逆换式，即８式。
他使用了下述论证①：“如果ｐ和ｑ两个都真，是可能的，那末，ｐ是可能的并且ｑ是可能的。
这个蕴涵式不能逆换过来。
例如，可能读者将立即看到它，也可能他不立即看到它。
但是，不可能他既立即看到它又不立即看到它“。
这个论证是缺少说服力的。
这里“读者”
指的是什
①刘易士和朗佛（Ｃ。
Ｈ。
Ｌ。
Ｌａｎｇｆｏｒｄ）
：《符号逻辑》，（Ｓｙｍｂｏｌｉｃ
Ｌｏｇｉｃ）
，纽约和伦敦，１９３２年版，第１６７页。
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５２。偶然性和模态逻辑的四值系统A ９４２
么呢？
如果指的是个别读者，如Ｒ，那末，或者Ｒ将立即看到这个，或者Ｒ将不立即看到这个。
在前一种情况下，第一个前提“可能Ｒ立即看到这个”
是真的，但第二个前提是假的，而一个假的命题怎样可以成为可能真的命题呢？
在后一种情况下，第二个前提是真的，而第一个前提是假的，而一个假的命题不能成为可能真的命题。
公式８中的两个前提并不是两个都可证明的，因而用这种方式是不能驳斥这个公式的。
而如果“读者”一词指的是某些读者，那末，“可能某些读者将立即看到这个”和“可能某些读者将不立即看到这个”这两个前提可以都是真的，但是，在这种情况下，“可能某些读者将立即看到这个并且某些读者将不立即看到这个”
这个结论显然也是真的。
自然，将立即看到这个并且不看到这个的不会是同一读者。
刘易士所提出的例子并没有驳斥掉公式８，相反，它还证明了它的正确性。
但是，看来这个例子是选择得不适当的。
前提增加了“立即”一词，就丧失了它的偶然的性质。
说读者将“立即”看到或者不看到这个，我们涉及的是那在看见的时刻被决定的东西。
而真的偶然性涉及的是未决定的事件。
让我们就举钱币的例子，它与亚里士多德的海战的例子是同一类的。
两个例子都是关系到现在没有决定但将来要决定的事件。
所以，“可能落下钱币的正面”和“可能不落下钱币的正面”这两个前提现在可以都是真的，而“可能落下又不落下钱币的正面”这个结论任何时候都不是真的。
但是，我们知道，偶然性不能用Ｍｐ和ＭＮｐ的合取来下定义，但可以用Ｍｐ和ＷＮｐ，或者Ｗｐ和ＭＮｐ的合取来下定义，因此，上面引述的例子就不属
…… 262
０５２第七章 模态逻辑系统
于断定命题８。
所以，它不能否证它。
这一点是为刘易士和其他逻辑学家所不知道的，而在一个错误的偶然性概念的基础上，他们就排斥了所讨论的断定命题。
５３。其他某些问题A虽然我们的四值模态逻辑系统的公理和推论规则是十分显然的，但这个系统的某些结论却可能看起来是自相矛盾的。
我们已经遇到自相矛盾的断定命题：偶然命题的否定仍然是偶然的；作为这一类的另一个断定命题，我可以提出“双重偶然性”定律，按照这个定律，下述公式是真的：９０。
ＱｐＸｐ和９１。
Ｑｐｐ。
e问题在于去发现关于这样公式的某些解释，这些解释从直观上说是可满足的，并且能解释它们表面上的奇异。
当古典命题演算刚刚为人所知的时候，也出现过对它的某些原则，特别是对ＣｐＣｑｐ和ＣｐＣＮｐｑ的激烈的反对。
这些原则具体地表现了中世纪的逻辑学家所熟悉的、并且为他们用下述语句表述出的两个逻辑定律。
语句是：“Ｖｅｒｕｍｓｅｑｕｉｔｕｒ
ａｄ
ｑｕｏｄｌｉCｂｅｔ和Ａｄ
ｆａｌｓｕｍｓｅｑｕｉｔｕｒ
ｑｕｏｄ－ｌｉｂｅｔ“
①。
就我所知，这些原则现在已经是众所周知的了。
无论如何，我们的模态系统在这一方面不会比其他的模态逻辑系统处于更坏的地位。
在某些模态逻辑系统中包含有这样非直观的公式，如：
P９２。
ＱＭＮＭｐＮＭｐ，
①真理随便从什么东西都能推出；从谬误推出所有任意的东西。
…… 263
５３。其他某些问题A １５２
这里，一个或然命题“ｐ不可能，这是可能的”与一个必然命题“ｐ是不可能的”等值。
代替这个必须加以排斥的奇怪的公式，在我们的系统中，我们有这样的断定命题：９３。
ＱＭＮＭｐＭＮｐ它和９４。
ＱＭＭｐＭｐ一起，使我们可能将所有由Ｍ和Ｎ组成的模态函子的组合化归为四个不能再行化归的、为亚里士多德已知的组合式，即Ｍ＝可能，ＮＭ＝不可能，ＭＮ＝不必然和ＮＭＮ＝必然。
第二个问题关系到将四值模态逻辑扩充到更高系统中的问题。
可以用八值系统作为例子。
我们通过将真值表Ｍ９和真值表Ｍ１相乘而得出这个系统的真值表Ｍ１６。
我们规定这些成对的值作为新的真值表中的元素：（１，１）
＝１，（１，０）
＝２，（２，１）＝３，（２，０）＝４，（３，１）＝５，（３，０）＝６，（０，１）＝７，（０，０）＝０，另外按照（ｙ）
，（ｚ）和（α）这些等式规定Ｃ，Ｎ和Ｍ的真值。
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２５２第七章 模态逻辑系统
数字１象通常一样，标志真，０标志假，而其他的数字则是真和假之间的中间值。
如果我们注意考察真值表Ｍ１６，我们就会发现，Ｃ栏的第二行与Ｍ栏是相同的。
这一行因而代表可能性的真值表。
同样，Ｃ的其余各行，除了第一行与最后一行以外，都代表某种可能性。
如果我们用Ｍ２到Ｍ７去标志它们，我们就能肯定：当２≤ｉ≤７时，Ｍｉ满足可能性的全部公理，即：９５。
ＣｐＭｉｐ，P９６。
ＣＭｉｐ，P９７。
Ｍｉｐ。
在这些不同种类的可能性中，有某些“较强一些”和某些“较弱一些”
，因为我们有，例如：ＣＭ２ｐＭ４ｐ或者，ＣＭ３ｐＭ６ｐ，但是不能反转过来。
所以，我们可以说，在八值模态逻辑中存在各种等级的可能性。
我总是认为，只有两个模态系统可能具有哲学和科学的重要性：最简单的模态系统，其中可能性看作不具有等级，这就是我们的四值模态系统，和值系统，其中有无限多的可能性的等级。
进一步研究这个问题将是有趣的，因为我们可能在这里发现模态逻辑和概率论之间的联系环节。
…… 265
第八章 亚里士多德的模态三段论
我认为，亚里士多德的模态三段论跟他的实然三段论或者他在模态命题逻辑方面的贡献相比，意义要小得多。
这系统看来好似一个逻辑练习，它虽然表面上很精密，却充满了粗心的错误，并且对科学问题没有任何适用之处。
虽然如此，在这个三段论中却有两个争论问题主要由于历史的原因而有研究的价值，这就是关于带有一个实然前提和一个必然前提的三段论问题，和关于带有偶然前提的三段论问题。
５４。有两个必然前提的各式A亚里士多德是模仿他的实然三段论的样子来论述模态三段论的。
三段论划分为各种格和式，有些式被当作完全的式，这些式作为自明的而无需证明；不完全的式则通过换位法，归谬法或者通过所谓“显示法”
而得到证明。
不正确的式则通过用具体词项加以说明的方法而予以排斥。
奇怪的是，只有一个例外，亚里士多德没有使用他的模态命题逻辑的定理。
我们将看到，在某些情况下这会得出比他所作的证明更好并且更简单的证明。
必然命题的换位律和实然命题的换位律相类似。
下述一些命题因此是真的：“如果必然任何ｂ都不是ａ，那么必然任
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４５２第八章 亚里士多德的模态三段论
何ａ都不是ｂ“
，用符号表达：９８。
ＣＬＥｂａＬＥａｂ，和“如果必然所有的ｂ或者有些ｂ是ａ，那末必然有些ａ是ｂ”
，用符号表达：９。
ＣＬＡｂａＬＩａｂ和１０。
ＣＬＩｂａＬＩａｂ①。
亚里士多德所作的证明是不能令人满意的②。
他没有注意到，定律９８—１０可以从实然三段论类似的定律借助于定理１８直接推出。
１８。
ＣｐｑＣＬｐＬｑ。
例如，从１８式，用Ｅｂａ替代ｐ，用Ｅａｂ替代ｑ，我们在前件中得出实然的换位律，由此我们可以分离出它的后件，即定律９８。
按照亚里士多德的意见，带有两个必然前提的三段论，除了对前提和结论都必须加上必然性记号以外，其余跟实然三段论都相同③。
因此，关于Ｂａｒｂａｒａ式的公式将表述为：１０１。
ＣＫＬＡｂａＬＡｃｂＬＡｃａ。
亚里士多德默然承认了，第一格的各式是完全的并且是不需
①《前分析篇》，ｉ。
３，２５ａ２９“……如果Ａ必然不属于任何Ｂ，那末，Ｂ必然也不属于任何Ａ。”
２５ａ３２，“如果Ａ必然属于所有的或有些Ｂ，那末，Ｂ也必然属于有些Ａ。”
②参阅Ａ。贝克尔，《亚里士多德的可能性推论的学说》，第９０页。
③《前分析篇》，ｉ。
８，２９ａ３５，“必然〔属于〕跟属于的情形几乎完全一样，因为，在〔前提中〕‘属于’和‘必然属于或不属于’对词项位置相同的情况下，得出和不得出的三段论仅仅具有这样的区别：给词项加上‘必然属于’或者‘必然不属于’”。
…… 267
５。有一个必然前提和一个实然前提的各式A ５５２
要证明的。
其他各格的各种式是不完全的，除了Ｂａｒｏｃｏ和
Ｂｏｃａｒｄｏ式以外，都需要按照对实然三段论的证明方法予以证明。
Ｂａｒｏｃｏ和Ｂｏｃａｒｄｏ两个式在实然三段论中是用归谬法证明的，而这里须要用显示法加以证明①。
我们再一次指出：对所有这些证明，运用定理１８要容易得多，这将在以后的例子中看出。
通过输出律和输入律ＣＣＫｐｑｒＣｐＣｑｒ和ＣＣｐＣｑｒＣＫｐｑｒ，可以表明１５式，即实然的Ｂａｒｂａｒａ式与公式１０２。
ＣＡｂａ
ＣＡｃｂＡｃａ，等值。
这个纯粹的蕴涵形式比合取形式更便于推出结论。
按照断定命题３。
ＣＬｐ，我们有：１０３。
ＣＬＡｂａＡｂａ，而从１０３和１０２借助于假言三段论，我们得出：１０４。
ＣｔＡｂａＣＡｃｂＡｃａ。
而另一方面，由于替代１８式的结果，我们有１０５。
ＣＡｃｂＡｃａＣＬＡｃｂＬＡｃａ，而从１０４和１０５推出结论：１０６。
ＣＬＡｂａＣＬＡｃｂＬＡｃａ它与１０１等值。
所有其余的带有两个必然前提的三段论的各式都可以用这样的方法加以证明，而不需要新的公理、换位律、归谬法，或者使用显示法的论证。
①《前分析篇》，ｉ。
８，３０ａ３—１４。
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６５２第八章 亚里士多德的模态三段论
５。有一个必然前提和一个实然前提的各式①A对带有一个必然前提和一个实然前提的第一格的三段论各式，亚里士多德是按照哪一个前提（大前提还是小前提）
是必然前提而分别加以论述的。
他说，当大前提是必然的，而小前提是实然的，我们就得出一个必然的结论；但是，当小前提是必然的，而大前提是实然的，我们就可能得出一个实然的结论②。
这种区别借助于下述一些Ｂａｒｂａｒａ式的例子就显得很清楚。
亚里士多德断定了三段论：“如果必然所有的ｂ是ａ，那末，如果所有的ｃ是ｂ，则必然所有的ｃ是ａ”。
但是，他排斥了三段论：“如果所有的ｂ是ａ，那末，如果必然所有的ｃ是ｂ，则必然所有的ｃ是ａ”。
用符号表达：（∈）ＣＬＡｂａＣＡｃｂＬＡｃａ被断定，（）ＣＡｂａＣＬＡｃｂＬＡｃａ被排斥。
亚里士多德将三段论（∈）
看作是自明的。
他说：“因为所有的ｂ必然是ａ或者不是ａ，而ｃ是ｂ中的一个，那末显然（R①参阅杨卢卡西维茨：《论亚里士多德模态三段论中的一个争论的问题》，W（Ｏｎｅ
ｃｏｎｔｒｏｖｅｒｓｉａｌ
Ｐｒｏｂｌｅｍｏｆ
Ａｒｉｓｔｏｔｌｅｓ
Ｍｏｄａｌ
Ｓｙｌｏｇｉｓｔｉｃ）
载《多米尼卡研究》，卷ＶⅡ，１９５４年，第１４—１２８页。
②《前分析篇》，ｉ。
９，３０ａ１５—２５，“也有这样的情况：当一个前提表达必然性，但不是任一前提，而是其中包含大项的前提，其结论是关于必然属于的。
例如，如果断定Ａ必然属于或不属于Ｂ，而Ｂ简单地属于Ｃ，而如果前提正是这样安排的，那末，Ａ就必然地属于或不属于Ｃ“。
（以下的语句我们将在下面的附注中引述）。
“而如果前提ＡＢ不表达必然性，而ＢＣ表达必然性，那末，结论就不是关于必然属于的了”。
…… 269
５。有一个必然前提和一个实然前提的各式A ７５２
α∈ρó）
，ｃ也将必然是ａ或者不是ａ“
①。
由于下面将要说到的F原因