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67．井边会 93．蛤蜊 118．除法
68．热电偶 94．螳螂 119．言接语送
69．饱和 95．鹦鹉 120．誓不两立
70．天仙配 96．猞猁 121．伐子都
71．联合国 97．梧桐 122．世界观
72．金殿锁鸳鸯 98．茼蒿 123．武也文
73．花墙会 99．玻璃 124．至爱亲朋
74．双拜月 100．鸟岛 125．程万里
75．二锅头 101．饿、铜、镱 126．热处理
127．安道尔 150．天琴（星） 12．可可
128．真定女 151．童第（周） 13．油条
129．国外地质 152．比重 14．糕
130．文成公主 153．重量 15．白干
131．不乏其人 154．好望角 16．老窖
132．自负盈亏 155．重水 17．四特
133．眼儿媚 156．儿童文学 18．李渡
134．端正好 157．王夫之 19．防患未然
135．群芳谱 158．等明天 20．了望台
136．除三害 159．枇杷 21．安乃近
137．穴位（目）涌 160．大蒜 22．美加净
泉（底） 161．水稻 23．面友
138．成语（目）有 24．增白皂
言在先（底） 综合 25．被单
139．中药（目）没 26．加工、变项
药（底） 1．维吾尔 27．大连、二连、
140．乒乓 2．京、景颇、壮 合奏
141．苁蓉 3．夏令时装 28．除草、方成
142．苜蓿 4．猎装 29．①战斗里成
143．茉莉 5．包子 长。
144．林黛玉 6．速熟面 ②冲破黎明前的
145．葡萄牙 7．花卷 黑暗。
146．李白、杨朱 8．刀削面 ③为了和平。
147．拾玉镯 9．豆腐 ④万家灯火。
148．含羞草 10．巧克力 ⑤两代人。
149．内行 11．面包 ⑥第二个春天。
⑦女兵。 32．四进士； “三人”失踪了，
⑧英雄虎胆。 挑滑车； 故
⑩ 不 是 为 了 爱 将相和。 猜《三个失踪的
情。 33．不管三七二 人》。这样，黑板
30．红方：寸步难 十一。 上
行。 34．谜底是《三个 只剩下用红粉笔
黑 方 ： 马 到 成 失踪的人》、 写
功。 《红日》。因为 的“日”字，故又
31．第一车间： 小马把 猜《红日》（指红
18。 “春”字上半部 色
第二车间：22。 分 的“日”字）。
第三车间：10。 “”擦掉，暗示 35．夺印；毁灭；
第四车间：40。 着 皆大欢喜。
数学天地
自然数
自然数是在人类的生产和生活实践中逐渐产生的。人类认识自然数的过
程是相当长的。在远古时代，人类在捕鱼、狩猎和采集果实的劳动中产生了
计数的需要。起初人们用手指、绳结、刻痕、石子或木棒等实物来计数。例
如：表示捕获了 3 只羊，就伸出 3 个手指；用 5 个小石子表示捕捞了 5 条鱼；
一些人外出捕猎，出去 1 天，家里的人就在绳子上打 1 个结，用绳结的个数
来表示外出的天数。这样经过较长时间，随着生产和交换的不断增多以及语
言的发展，渐渐地把数从具体事物中抽象出来，先有数目 1，以后逐次加 1，
得到 2、3、4……，这样逐渐产生和形成了自然数。因此，可以把自然数定
义为，在数物体的时候，用来表示物体个数的 1、2、3、4、5、6……叫做自
然数。自然数的单位是“1”，任何自然数都是由若干个“1”组成的。自然
数有无限多个，1 是最小的自然数，没有最大的自然数。
零
可以说，自然数是从表示“有”多少的需要中产生的。在实践中还常常
遇到没有物体的情况。例如：盘子里一个苹果也没有。为了表示“没有”，
就产生了一个新的数“零”。
“零”是一个数，记作“0”，“0”是整数，但不是自然数，它比所有
的自然数都小。“0”作为一个单独的数，不仅可以表示“没有”，而且是一
个有完全确定意义的数，是一个起着很多重要作用的数。具体作用有：
（1）表示数的某位上没有单位，起到占位的作用。例如：103．04，表示
十位和十分位上一个单位也没有。0．10 为近似数时，表示精确到百分位。5．00
元表示特别的单价是 5 元整。
（2）表示某些数量的界限。例如在数轴上 0 是正数与负数的界限。“0”
既不是正数，也不是负数。在摄氏温度计上“0”是零上温度与零下温度的分
界。
（3）表示温度。在通常情况下水结冰的温度为摄氏“0”度。说今天的
气温为零度，并不是指今天没有温度。
（4）表示起点。如在刻度尺上，刻度的起点为“0”。从甲城到乙城的
公路上，靠近路边竖有里程碑，每隔 1 千米竖一个，开始第一个桩子上刻的
是“0”，表明这是这段公路的起点。
在四则运算中，零有着特殊的性质。
（1）任何数与 0 相加都得原来的数。例如：5＋0＝5，0＋32＝32。
（2）任何数减去 0 都得原来的数。例如：5…0＝5，42…0＝42。
（3）相同的两个数相减，差等于 0。例如：5…5＝0，428…428＝0。
（4）任何数与 0 相乘，积等于 0。例如：5×0＝0，0×78＝0
（5）0 除以任何自然数，商都等于 0。例如：0÷5＝0，0÷345＝0。因此
0 是任意自然数的倍数。
（6）0 不能作除数。因为任何自然数除以零，都得不到准确的商。例如：
5÷0，找不到一个数与 0 相乘可以得 5。零除以零时有无数个商，因为任何
数与 0 相乘都能得到 0，所以像 5÷0、0÷0 都无意义。
为什么 1 不是素数
全体自然数可以分为三类：
（1）只能被“1”和它本身整除的数叫素数，如：2、3、5、7、11……。
（2）除了“1”和它本身以外，还能被其他数整除的数叫合数，如：4、
6、8、9……。
（3）“1”既不是素数也不是合数。
有人要问，“1”也只能被 1 和它本身整除，为什么不能算素数呢？而且
“1”算作素数后，全体自然数分成素数和合数两类，岂不是更简单吗？
这要从分解素因数谈起。比如，1001 能被哪些数整除，其实质是将 1001
分解素因数，由 1001＝7×11×13，而且只有这一种分解结果，知道 1001 除
了被 1 和它本身整除以外，还能被 7、11、13 整除。若把“1”也算作素数，
那么 1001 分解素因数就会出现下面一些结果：
1001＝7×11×13
1001＝1×7×11×13
1001＝1×1×7×11×13
……
也就是说，分解式中可随便添上几个因数“1”。这样做，一方面对求
1001 的因数毫无必要，另一方面分解素因素结果不唯一，又增添了不必要的
麻烦。因此“1”不算作素数。
整数
正整数、零、负整数统称为整数。正整数：1、2、3、4 ……；零：0；
负整数：…1、…2、…3……。正整数即自然数。在小学阶段不学负数，小学学
的自然数和零都是整数，也就是说，小学只学习了大于零和等于零的整数。
小数的经历
小数是十进制分数的另一种表示方法。有了小数，使记数更方便了。如
圆周率近似值3。1416，若用分数表示，就得写成3927，书写、计算都很麻烦。
1250
有位著名美国数学家说：“近代计算的奇迹般的动力来自三项发明：印度计
数法，十进分数和对数。”这里所说的十进分数就是指小数。
最早使用小数的是中国人。公元 3 世纪，我国魏晋时期刘徽在注《九章
算术》时就指出，开方不尽时，可用十进制分数（小数）来表示，比西方早
1300 年。元朝刘瑾（1300 年左右）著《律吕成书》中记 106368．6312 为：
把小数部分降低一格，可以说是世界上最早的小数表示法。
中国之外第一个应用小数的是阿拉伯人卡西，他用十进分数（小数）给
出了π的 17 位有效数值。
在欧洲，比利时人斯蒂文于 1585 年第一次明确地阐述了小数的理论，他
把 32．57 记为
① ②
3 2 5 7 或 32 5①7②
1492 年法国人佩洛斯出版的算术书中首次应用了小数点“．”，但他的
意思是做除法时，如果除数是 10 的倍数，例如，12356÷600，先将末两位用
点分开然后除以 6，即 123．56÷6，仅仅为了做除法时的方便。
直到 1608 年意大利人克拉乌斯出版的代数书中才明确地以小点“．”作
为整数部分和小数部分的分界，即现代用法。
同时也有人用“，”来作小数点的记号。直到 19 世纪末，小数点还有种
种写法，如 2．5 可写为 2 5；2．5；2·5；2△5 等。
现代小数点的使用大体分为两大派，欧洲大陆派（德国、法国、苏联等）
用逗号作小数点，圆点“·”用作乘法记号，面不用“×”号，因它易与“x”
相混。英美派小数点用圆点“．”，逗号用来作分节号（每三位分为一节）。
如一亿五千万，记作 150，000，00，而大陆派则写作 150 000 000，不用分
节号而每三位数空一格。
无论是东方还是西方，人们对小数的认识，都经历了几百年甚至上千年
的演变。
负数的引入
今天人们都能用正负数来表示两种相反意义的量。例如若以冰点的温度
表示 0℃，则开水的温度为＋100℃，而零下 10℃则记为…10℃。若以海平面为
0 点，则珠穆朗玛峰的高度约为＋8848 米，最深的马里亚纳海沟深约…11034
米。在日常生活中，人们常用“＋”表示收入，用“…”表示支出。可是在历
史上，负数的引入却经历了漫长而曲折的道路。
古人在实践活动中遇到了一些问题：如两人相互借用东西，对借出方和
借入方来说，同一东西具有不同的意义；再如从同一地点，两人同时向相反
方向行走，离开出发点的距离即使相同，但其表示的意义却不同。久而久之，
古人意识到仅用数量表示一个事物是不全面的，似乎还应加上表示方向的符
号。因此为了表示具有相反意义的量和解决被减数小于减数等问题，逐渐产
生了负数。
我国是世界上最早使用负数概念的国家。《九章算术》中已经开始使用
负数，而且明确指出若“卖”是正，则“买”是负；“余钱”是正，则“不
足钱”是负。刘徽注《九章算术》，定义正负数为“两算得失相反”，同时
还规定了有理数的加、减法则，认为“正、负术曰：同名相益，异名相除。”
这“同名”、“异名”即现在的“同号”、“异号”、“除”和“益”则是
“减”和“加”，这些思想，西方要迟于中国八九百年才出现。
印度在公元 7 世纪才采用负数，公元 628 年，印度的《婆罗摩修正体系》
一书中，把负数解释为负债和损失。在西方，直到 1484 年，法国的舒开才给
出了二次方程的一个负根。1544 年，德国的史提菲把负数定义为比任何数都
小的数。1545 年，意大利的卡当著《大法》，成为欧洲第一部论述负数的著
作。虽然负数早已出现在人们的计算过程中，但却迟迟得不到学术界的承认，
直到 17 世纪，数学、力学、天文学获得广泛发展，使用负数可以大大简化计
算，所以负数才正式进入了数学。特别是 1637 年，法国数学家笛卡尔发明了
解析几何学，建立了坐标点，将平面点与负数、零、正数组成的实数对应起
来，使负数得到了解释，从而加速了人们对负数的承认。但直到 19 世纪，德
国数学家魏尔斯特拉斯等人为整数奠定了逻辑基础以后，负数才在现代数学
中获得巩固的地位。
无理数的风波
无限不循环小数叫无理数。据说，它的发现还曾掀起一场巨大的风波。
公元前 6 世纪，古希腊有个毕达哥拉斯学派——一个宗教、科学和哲学
性质的帮会，在数学研究上有很大成绩，以勾股定理、无理数的研究最为著
名。毕达哥拉斯学派有一个信条：宇宙间的一切数都能归结为整数或整数之
比。毕氏的一个门徒希伯索斯，在研究等腰直角三角形斜边与一直角边之比，
或正方形对角线与其一边之比时，发现其比不能用整数之比表达时，便很吃
惊。他们证明了这个数不是整数，绞尽脑汁也找不到这个分数，所以希伯索
斯等人阐述了这个发现。因其理论违背毕氏学派的信条而引起同伴们的狂
怒，竟被抛入大海。另有传说，毕氏学派规定，每当有新的发现发明，都要
保守秘密，不得外传，否则要受到严厉制裁。他们发现无理数后，视无理数
为一种不能言说的记号。有一门徒泄露了这一发现，便遭到覆舟毙命的惩罚。
然而真理是封不住的，不管毕氏门徒如何反对，无理数终于闯入了数的圣地，
使数的概念又扩展了一步。无理数是稠密的，任何两个有理数之间，不管它
们多么接近，都存在着无限多个无理数。
真实的虚数
“虚数”这个名词，使人觉得挺玄乎，好像有点“虚”，实际上它的内
容却非常“实”。
虚数是在解方程时产生的。求解方程时，常常需要将数开方，如果被开
方数是正数，就可以算出要求的根；但如果被开方数是负数，那怎么办呢？
比如，方程x2 ＋1= 0，x2 = …1，x= ± 1。那么 1有没有意义呢？很
早以前，大多数人都认为负数是没有平方根的。到了 16 世纪，意大利数学家
～
卡当在其著作《大法》（1545年）中，把 15记为R· m·15，这是最早
的虚数记号。但他认为这仅仅是个形式表示而已。1637 年法国数学家笛卡
尔，在其《几何学》中第一次给出“虚数”的名称，并和“实数”相对应。
1777年，欧拉在一篇论文中首次用“i”来表示 1，但以后很少有人注意它。
直到 19 世纪初，高斯系统地使用了这个符号，并主张用数偶（a、b）来表示
a＋bi，称为复数，虚数才逐步得以通行。
由于虚数闯进数的领域时，人们对它的实际用处一无所知，在实际生活
中似乎没有用复数来表达的量，因此在很长一段时间里，人们对它产生过种
种怀疑和误解。笛卡尔称“虚数”的本意就是指它是虚假的；莱布尼兹则认
为：“虚数是美妙而奇异的神灵隐蔽所，它几乎是既存在又不存在的两栖物。”
欧拉尽管在许多地方用了虚数，但又说一切形如
1、 2的数学式都是不可能有的，纯属虚幻的。
继欧拉之后，挪威测量学家维塞尔提出把复数（a＋bi）用平面上的点来
表示。后来高斯又提出了复平面的概念，终于使复数有了立足之地，也为复
数的应用开辟了道路。现在，复数一般用来表示向量（有方向的量），这在
水利学、地图学、航空学中的应用十分广泛，虚数越来越显示出其丰富的内
容。真是：虚数不虚！
虚数的发展说明了：许多数学概念的产生并不直接来自实践，而是来自
思维，但只有在实际生活中有了用处时，这些概念才能被接受而获得发展。
π的“马拉松计算”
圆的周长同直径的比值，一般用π来表示，人们称之为圆周率。在数学
史上，许多数学家都力图找出它的精确值。约从公元前 2 世纪，一直到今天，
人们发现它仍然是一个无限不循环的小数。因此，人们称它为科学史上的“马
拉松”。
关于π的值，最早见于中国古书《周髀算经》的“周三经一”的记载。
东汉张衡取π=3。1466（又取π= 10）。第一个用正确方法计算π值的，要算
我国魏晋之际的杰出数学家刘徽，他创立了割圆术，用圆内接正多边形的边
数无限增加时，其面积接近于圆面积的方法，一直算到正 192 边形，算得π
3927
=3。14124，又继续求得圆内接正3072边形时，得出更精确的π= =3。1416，
1250
割圆术为圆周率的研究，奠定了坚实可靠的理论基础，在数学史上占有十分
重要的地位。
随后，我国古代数学家祖冲之又发展了刘徽的方法，一直算到圆内接正
22
24576边形，求出3