按键盘上方向键 ← 或 → 可快速上下翻页，按键盘上的 Enter 键可回到本书目录页，按键盘上方向键 ↑ 可回到本页顶部！
————未阅读完？加入书签已便下次继续阅读！
重要的地位。
随后，我国古代数学家祖冲之又发展了刘徽的方法，一直算到圆内接正
22
24576边形，求出3。1415926＜π＜3。1215927，又求得π = 355（密率），
π =
113 7
（约率），使中国对π值的计算领先了1000年。为此，有人建议把π = 355称为
113
“祖率”，以纪念祖冲之的杰出贡献。
17 世纪以前，各国对圆周率的研究工作仍限于利用圆内接和外切正多边
形来进行。1427 年伊朗数学家阿尔·卡西把π值精确计算到小数 16 位，打
破祖冲之千年的记录。1596 年荷兰数学家鲁多夫计算到 35 位小数，当他去
世以后，人们把他算出的π数值刻在他的墓碑上，永远纪念着他的贡献（而
这块墓碑也标志着研究π的一个历史阶段的结束，欲求π的更精确的值，需
另辟途径）。
17 世纪以后，随着微积分的出现，人们便利用级数来求π值，1873 年算
至 707 位小数，1948 年算至 808 位，创分析方法计算圆周率的最高纪录。
1973 年，法国数学家纪劳德和波叶，采用 7600CDC 型电子计算机，将π
值算到 100 万位，此后不久，美国的科诺思，又将π值推进到 150 万位。1990
年美国数学家采用新的计算方法，算得π值到 4．8 亿位。
早在 1761 年，德国数学家兰伯特已证明了π是一个无理数。
将π计算到这种程度，没有太多的实用价值，但对其计算方法的研究，
却有一定的理论意义，对其他方面的数学研究有很大的启发和推动作用。
运算符号的由来
表示计算方法的符号叫做运算符号。如四则计算中的＋、…、×、÷等。
加号“＋”是加法符号，表示相加。
减号“…”是减法符号，表示相减。
“＋”与“…”这两个符号是德国数学家威特曼在 1489 年他的著作《简算
与速算》一书中首先使用的。在 1514 年被荷兰数学家赫克作为代数运算符
号，后又经法国数学家韦达的宣传和提倡，开始普及，直到 1630 年，才获得
大家的公认。
乘号“×”是乘法符号，表示相乘。1631 年，英国数学家奥特轩特提出
用符号“×”表示相乘。乘法是表示增加的另一种方法，所以把“＋”号斜过
来。另一个乘法符号“·”是德国数学家莱布尼兹首先使用的。
除号“÷”是除法符号，表示相除。用这个符号表示除法首先出现在瑞
士学者雷恩于 1656 年出版的一本代数书中。几年以后，该书被译成英文，才
逐渐被人们认识和接受。
关系符号
表示数与数、式与式或式与数之间的某种关系的特定符号，叫做关系符
号。有等号，大于号，小于号，约等于号，不等号等等。
等号：表示两个数或两个式或数与式相等的符号，记作“＝”，读作“等
于”。例如：3＋2＝5，读作三加二等于五。第一个使用符号“＝”表示相等的
是英国数学家雷科德。
大于号：表示一个数（或式）比另一个数（或式）大的符号，记作“＞”，
读作“大于”。例如：6＞5，读作六大于五。
小于号：表示一个数（或式）比另一个数（或式）小的符号，记作“＜”，
读作“小于”。例如：5＜6，读作五小于六。大于号和小于号是英国数学家
哈里奥特于 17 世纪首先使用的。
约等于号：表明两个数（或式）大约相等的符号，记作“≈”，读作“约
等于”。例如：π≈3．14，读作π约等于三点一四。
不等号：表示两个数（或式）不相等的符号，记作“≠”，读作“不等
于”。例如 4＋3≠9，读作四加三不等于九。
“ ”的来源
最早用“ ”表示根号的，是法国数学家笛卡尔。17世纪，笛卡尔在
他的著作《几何学》一书中首先用了这种数学符号。
“ ”这个符号表示两层意思：左边部分“√”是由拉丁字母“r”
演变而来的，它表示“root”即“方根”的意思；右上部的一条横线，
正如我们已经习惯的表示括号的意思，也就是对它所括的数求方根。
正因为“ ”既表示方根，又表示括号，所以凡在运算中遇到“ ”，
必须先做括号内的算式，然后再做其他运算。也就是说先要做根号运算。
奇妙的数字“9”
将循环小数化成分数，是解决有关循环小数的基本方法。怎样才能将循
环小数化成分数呢？这要请我们的老朋友——9 来帮助解决问题。我们知
道，
a
在数列计算中，有一个无穷等比数列的求和公式：S = 。其中a是这个数
1…q
列的第一项，q 是公比。下面要用这个公式来研究化循环小数为分数的方法。
先观察下面两个循环小数：0．6666……＝0．6，0．242424……＝0．24。它们都是
从小数点后的第一位开始循环的，叫做纯循环小数。为了便于计算，先将它
们写成分数的和的形式：
0．666……＝0．6＋0．06＋0．006……
= 10 100 1000 10000＋Λ
6 ＋ 6 ＋ 6 ＋ 6 Λ
0．242424……＝0．24＋0．0024＋0．000024……
= 100 10000 1000000＋Λ
24 ＋ 24 ＋ 24 Λ
1
这就变成了无穷递缩等比数列的形式。0。6666……的公比是10 ，而
1
0。242424……的公比是100。根据求和公式得：
6
0。66Λ Λ 10 6 = 6
1 =
1 101 9
10
24
0。242424Λ Λ 100 24 24
1 = =
1 1001 99
100
由此可以看出，要把纯循环小数化为分数，只要把一个循环节的数字化为分
子，让分母由 9 组成，循环节有几位数字，分母是几个 9 就行了。例如：
4
0。4444Λ Λ = 0。4 =
9
56
0。5656Λ Λ = 0。56 =
99
031233123Λ Λ = 0。3123= 3123 = 347
9999 1111
下面再来看看以下两个循环小数：
0。2888…… = 0。28 ； 0。3545454Λ Λ = 0。354它们都不是从小数点后的第一
从小数点后的第一位开始循环，这叫混循环小数。用分数的和可表示为：
2 8 8 8
0。28888 =Λ Λ 10 100 1000 10000＋Λ
＋ ＋ ＋ Λ
0。35454Λ Λ = 3 54 ＋ ＋ 54
10 1000 100000
1 1
这种和的形式，从第二项起，构成了一个分别以10、100为公比的无穷递
缩等比数列。由求和公式得：
8
2 100 2 8
0。2888Λ Λ = ＋ = ＋
10 1
1 10 10010
100
2 8 2×9＋8
= ＋ =
10 90 90
= 26 13
=
90 45
54
3 3 54
0。35454Λ Λ = ＋ 100 = ＋
10 1
1 10 100010
100
3 54 3×99＋ 54
= = ＋ =
10 990 990
= 351 = 39
990 110
由此可以看出：把混循小数化为分数，先去掉小数点，再用第二个循环
节以前的数字减去不循环部分的数字，将得到的差作为分子；分母由 9 和 0
组成，9 的个数等于一个循环节的位数，9 的后面写 0，0 的个数等于循环部
分的位数。例如：
27 2 25 5
0。27777Λ Λ = 0。27 = = =
90 90 18
0。31252525Λ Λ 0。3125= 3125 31 1547
=
9900 4950
数学的变化虽是无穷的，在研究了大量的现象或大量的例题后，应学会
从特殊的问题中，善于总结出一般规律的思考方法。
神奇的“缺 8 数”
“缺 8 数”——12345679，颇为神秘，故许多人在进行探索。
清一色 菲律宾前总统马科斯偏爱的数字不是 8，却是 7。于是有人对
他说：“总统先生，你不是挺喜欢 7 吗？拿出你的计算器，我可以送你清一
色的 7。”接着，这人就用“缺 8 数”乘以 63，顿时，777777777 映入了马
科斯先生的眼帘。
“缺 8 数”实际上并非对 7 情有独钟，它是“一碗水端平”，对所有的
数都“一视同仁”的：你只要分别用 9 的倍数（9，18……直到 81）去乘它，
则 111111111，222222222……直到 999999999 都会相继出现。
三位一体 “缺 8 数”引起研究者的浓厚兴趣，于是人们继续拿 3 的倍
数与它相乘，发现乘积竟“三位一体”地重复出现。例如：
12345679×12＝148148148
12345679×15＝185185185
12345679×57＝703703703
轮流“休息” 当乘数不是 3 的倍数时，此时虽然没有“清一色”或“三
位一体”现象，但仍可看到一种奇异性质：乘积的各位数字均无雷同。缺什
么数存在着明确的规律，它们是按照“均匀分布”出现的。另外，在乘积中
缺 3、缺 6、缺 9 的情况肯定不存在。
让我们看一下乘数在区间［10～17］ 的情况，其中 12和15 因是3的倍数，
予以排除。
12345679×10＝123456790（缺 8）
12345679×11＝135802469（缺 7）
12345679×13＝160493827（缺 5）
12345679×14＝172869506（缺 4）
12345679×16＝197530864（缺 2）
12345679×17＝209876543（缺 1）
乘数在［19～26］及其他区间（区间长度等于 7）的情况与此完全类似。
乘积中缺什么数，就像工厂或商店中职工“轮休”，人人有份，但也不
能多吃多占，真是太有趣了！
一以贯之 当乘数超过 81 时，乘积将至少是十位数，但上述的各种现
象依然存在，真是“吾道一以贯之”。随便看几个例子：
（1）乘数为 9 的倍数
12345679×243＝2999999997，只要把乘积中最左边的一个数 2 加到最右
边的 7 上，仍呈现“清一色”。
（2）乘数为 3 的倍数，但不是 9 的倍数
12345679×84＝1037037036，只要把乘积中最左边的一个数 1 加到最右边
的 6 上，又可看到“三位一体”现象。
（3）乘数为 3k＋1 或 3k＋2 型
12345679×98＝1209876542，表面上看来，乘积中出现雷同的 2，但据上
所说，只要把乘积中最左边的数 1 加到最右边的 2 上去之后，所得数为
209876543，是“缺 1”数，而根据上面的“学说”可知，此时正好轮到 1 休
息，结果与理论完全吻合。
走马灯 冬去春来，24 个节气仍然是立春、雨水、惊蛰……其次序完全
不变，表现为周期性的重复。“缺 8 数”也有此种性质，但其乘数是相当奇
异的。
实际上，当乘数为 19 时，其乘积将是 234567901，像走马灯一样，原先
居第二位的数 2 却成了开路先锋。深入的研究显示，当乘数成一个公差等于
9 的算术级数时，出现“走马灯”现象。例如：
12345679×28＝345679012
12345679×37＝456790123
回文结对 携手同行 “缺 8 数”的“精细结构”引起研究者的浓厚兴
趣，人们偶然注意到：
12345679×4＝49382716
12345679×5＝61728395
前一式的积数颠倒过来读（自右到左），不正好就是后一式的积数吗？
（但有微小的差异，即 5 代以 4，而根据“轮休学说”，这正是题中的应有
之义。）
这样的“回文结对，携手并进”现象，对 13、14、22、23、31、32、40、
41 等各对乘数（每相邻两对乘数的对应公差均等于 9）也应如此。例如：
12345679×67＝827160493
12345679×68＝839506172
遗传因子 “缺 8 数”还能“生儿育女”，这些后裔秉承其“遗传因子”，
完全承袭上面的这些特征，所以这个庞大家族的成员几乎都同其始祖
12345679 具有同样的本领。
例如，506172839 是“缺 8 数”与 41 的乘积，所以它是一个衍生物。
我们看到，506172839×3＝1518518517。
如前所述，“三位一体”模式又来到我们面前。
能被 2 和 5 整除的数
一个数的末一位数能被 2 和 5 整除，这个数就能被 2 和 5 整除。具体地
说，个位上是 0、2、4、6、8 的数，都能被 2 整除。个位上是 0 或是 5 的数，
都能被 5 整除。
例如：128、64、30 的个位分别是 8、4、0，这 3 个数都能被 2 整除。
281、165、79 的个位分别是 1、5、9，那么这 3 个数都不能被 2 整除。
在上面的 6 个数中，30 和 165 的个位分别是 0 和 5，这两个数能被 5 整
除，其他各数均不能被 5 整除。
能被 3 和 9 整除的数
一个数各个数位上的数的和能被 3 或 9 整除，这个数就能被 3 或 9 整除。
7＋4＋1＋6＝18，18 能被 3 整除，也能被 9 整除，所以 7416 能被 3 整除，
也能被 9 整除。
再如：5739 各个数位上的数之和是：
5＋7＋3＋9＝24，24 能被 3 整除，但不能被 9 整除，所以 5739 能被 3 整除，
而不能被 9 整除。
能被 4 和 25 整除的数
一个数的末两位数能被 4 或 25 整除，这个数就能被 4 或 25 整除。具体
地说，一个数的末两位数是 0，或是 4 的倍数这个数就是 4 的倍数，能被 4
整除。一个数的末两位数是 0 或是 25 的倍数，这个数就是 25 的倍数，能被
25 整除。
例如：324，4200，675，三个数中，324 的末两位数是 2424 是 4 的倍数，
所以 324 能被 4 整除。675 的末两位数是 7575 是 25 的倍数，所以 675 能被
25 整除，4200 的末两位数都是 0，所以4200 既能被 4 整除，又能被 25 整除。
能被 8 和 125 整除的数
一个数的末三位数能被 8 或 125 整除，这个数就能被 8 或 125 整除。具
体地说，一个数的末三位数是 0 或是 8 的倍数，就能被 8 整除；一个数的末
三位数是 0 或是 125 的倍数，就能被 125 整除。
例如：2168、32000、1875，3 个数中，2168 的末三位数是 168，168 是
8 的倍数，所以 2168 能被 8 整除。1875 的末三位数是 875，875 是 125 的倍
数，所以 1875 能被 125 整除。32000 的末三位数都是 0，所以 32000 既能被
8 整除，又能被 125 整除。
能被 7、11 和 13 整除的数
一个数末三位数字所表示的数与末三位以前的数字所表示的数的差（以
大减小），能被 7、11、13 整除，这个数就能被 7、11、13 整除。
例如：128114，由于 128…114＝14，14 是 7 的倍数，所以 128114 能被 7
整除。
94146，由于 146…94＝52，52 是 13 的倍数，所以 94146 能被 13 整除。
64152 由于 152…64＝88，88 是 11 的倍数，所以 64152 能被 11 整除。
能被 11 整除的数，还可以用“奇偶位差法”来判定。一个数奇位上的数
之和与偶位上的数之和相减（以大减小），所得的差是 0 或是 11 的倍数时，
这个数就能被 11 整除。
例如：64152，奇位上的数之和是 6＋1＋2＝9，偶位上的数之和是 4＋5＝9，
9…9＝0，判断出 64152 能被 11 整除。
校庆“35”
校庆 35 周年了，为了庆祝这个日子，4 个同学用 35 这个数做游戏，游
戏的要求是：只能用 5 这个数字，或者只用 7 这个数字组成一个式子，其结
果等于 35。甲和乙分别用 4 个 5 和 4 个 7 组成 35，其式子如下：
甲：5×5＋5＋5＝35
乙：7×7…7…7＝35
另两个同学丙和丁分别用 5 个 5 和 5 个 7 组成 35。其式子如下：
丙：55…5×5＋5＝35
丁：77…7×7＋7＝35
这 4 个式子有一个特点，都是在 5×7 这个基本式子引申出来的。改变其
中一个数字，使它变成 1 和 11，以及 5 或 7 的关系，那么最后的式子中就可
以保持清一色。
比如：5×（5＋1＋1）＝5×5＋5＋5＝35
5×（11…5＋1）＝55…5×5＋5＝35
7×（7…1…1）＝7×7…7…7＝35
7×（11…7＋1）＝77…7×7＋7＝35
阿凡提新传
财主正在给 9 个亲戚分一筐苹果，阿凡提来了。这时财主正不知道怎么
分好。阿凡提说：“我来帮帮你的忙，保证给他们平均分好，但是有一个条
件，最后分剩下的给我。”财主答应了。阿凡提数了 70 多个苹果，分到最后，
阿凡提剩下的苹果比其他每人分得的还多。你知道阿凡提是怎么分的，他开
始拿出了 70 几个苹果？
解答：把题的意思变成数学语言，就是
7△÷9＝○……□
其中○是商数，□是余数，要求余数最大。
由于被除数为 7△，所以○只能是 7 或 8，如果是 8，那么 7△必定在 72
到 79 之间，以 79 为例，有最大余数为 7。即
79÷9＝8……7
但如果○为 7，它的最大余数应该是比除数少 1 的数，即 9…1＝8，因此被
除数应是：
7×9＋8＝71
所以答案应是：
71÷9＝7……8
因此，阿凡提最初拿出 71 个苹果，平分给 9 人，每人是 7 个苹果，而剩
下的留给阿凡提，阿凡提反而得�