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尔能死而瞑目，他们照他的遗愿做了。 临终的几天，凯姆普坚持只要自己一个人照看阿贝尔，他要“独占这最后的时刻”。 1829年4月6日晨，这颗耀眼的数学新星便过早地殒落了。阿贝尔死后两天，克雷勒 的一封信寄到，告知柏林大学已决定聘请他担任数学教授。损失是难以估计的，如 果阿贝尔活到应的的寿命，他又将要做出多少新的贡献啊！
通过阿贝尔的遭遇，我们认识到，建立一个客观而公正的科学评价体制是至关 重要的。科学界不仅担负着探索自然奥秘的任务，也担负着发现从事这种探索的人 才的任务。科学是人的事业，问题是要靠人去解决的。科学评价中的权威主义倾向 却往往有害于发现和栽培科学人才。科不权威意味着他在科学的某一领域里曾做过 些先进工作，他可能是科学发现方面踌躇满志的权威，却不一定是评价、发现、培 养科学人才的权威，尤其当科学新分支不断涌现，所要评价的对象是天于连权威都 陌生的新领域的工作时，情况更是如此。
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第三章 划过代数理论夜空的流星
——伽罗华的早逝和群论的命运
埃。伽罗华（E。Galois，1811－1832）创立了具有划时代意义的数学分支— —群论在数学发展史上作出了重大贡献。但是，他在还不到21岁的时候就与世长辞 了。剖析伽罗华短促而坎坷的一生，对于我们如何对待人才，怎样发展科学，具有 一定的启发作用。
伽罗华是法国巴黎郊区布尔—拉—林镇镇长的儿子。12岁之前受他母亲教育的， 在这时期他学习了希腊语、拉丁文和通常的算术课。1923年他离开了双亲，考入巴 黎预科学校路易—勒—格兰学院（皇家中学），从而开始接受正规学校的教育。在 第三年，他报名选学了第一门数学课。由于他的老师深刻地讲授，伽罗华对数学产 生了浓厚的兴趣，他很快地学完了通常规定的课程，并求教于当时的数学大师。他 如饥似渴地阅读了A。M。勒让德的著作《几何原理》和T。L。拉格朗日的《代数方 程的解法》、《解析函数论》、《微积分学教程》。由于他刻苦学习，能着重领会 和掌握其中的数学思维方法，因引，这些功课的学习，使他思路开阔，科学创造的 思维能力得到了训练和提高。他的中学数学专业班的老师里查说“伽罗华只宜在数 学的尖端领域工作”。1829年3月他在《纯粹与应用数学年报》上发表了他的第一 篇论文——《周期连分数的一个定理的证明》。这时他还是一位中学生。他曾先后 两次参加综合技术大学的入学考试，结果都落第了。1829年7月2日，正当他准备入 学考试的时候，他父亲由于受不了牧师的攻击、诽谤、自杀了。这些遭遇都给伽罗 华带来了不幸。1829年10月25日，他只被师范大学录取为预备生。
当伽罗华17岁时，就着手研究数学中最困难的问题之一一般π次方程求解问题。 我们知道，一般的二次方程的解，要求对系数的一个函数求平方根。要得出三次方 程的一般解，要求对系数的函数开立方。一般的四次方程的解，要求开四次方。一 般的五次方程的解是否也能用加减乘除开方这五种运算的代数方法从方程的系数得 出呢？许多人为之耗去许多精力，但都失败了。直到1770年，法国数学家拉格朗日 对上述问题的研究才算迈出重要的一步。他精心分析了二次、三次、四次方程根式 解结构之后，提出了方程的预解式概念，并且进一步看出预解式和诸根排列置换下 形式不变性有关，这时他认识到求解一般五次方程的代数方法可能不存在。此后， 挪威数学家阿贝尔利用置换群的理论给出了高于四次的一般代数方程的代数求解公 式不存在的严格证明。伽罗华在前人研究成果的基础上，利用群论的方法，从系统 结构的整体上彻底解决了根式解的难题。他从拉格朗日那里学习和继承了问题转化 的思想，即把预解式的构成同置换群联系起来，并在阿贝尔研究的基础上，进一步 发展了他的思想，把全部问题转化成或者归结为置换群及其子群结构的分析上。高 斯早就预见到代数方程的根式解的问题终归为二项方程的求解问题。伽罗华仔细分 析了具有根式解的二项方程作为“预解方程”时所对应的置换子群的特征。结果他 发现，如果一个群可以生成一系列极大正规子群，而它们的合成因子是质数，则该 群是可解的。当大于四次的代数方程所对应的群的合成因子就不全是质数，因而五 次及高于五次的代数方程有些是不能用代数方法解出的。
1829年，伽罗华在他中学最后一年快要结束时，他把关于群论研究所初步结果 的第一批论文提交给法国科学院。科学院委托当时法国最杰出的数学家柯西作为这 些论文的鉴定人。在1830年1月18日柯西曾计划对伽罗华的研究成果在科学院举行 一次全面的意见听取会。他在一封信中写道：“今天我应当向科学院提交一份关于 年轻的伽罗华的工作报告……但因病在家。我很贵憾未能出席今天的会议，希望你 安排我参加下次会议以讨论已指明的议题。”然而，第二周当柯西向科学院宣读他 自己的一篇论文时，并未介绍伽罗华的著作。为什么会发生这样的事情？这是值得 研究的一个问题。1830年2月，伽罗华将他的研究成果比较详细地写成论文交上去 了。以参加科学院的数学大奖评选，论文寄给当时科学院终身秘书J。B。傅立叶， 但傅立叶在当年5月就去世了，在他的遗物中未能发现伽罗华的手稿。就这样，伽 罗华递交的两次数学论文都被遗失了。
人们由于受已有经验、旧传统观念和偏见的束缚，往往产生出一种墨守陈规的 倾向和不愿接受新鲜事物的惰性。我们认为：柯西之所以原先打算讨论伽罗华所提 供的报告，以后又不了了之，很可能是他思想的偏见所致，领会不了伽罗华在数学 上具有革命性的新思想。在伽罗华之前人们考虑方程求解问题，基本是一个方法一 个方法孤立地去解决，解次数不同的方程，用不同的方法。直到拉格朗日开始，才 注意到解各种代数方程的方法之间的联系，并用根的置换理论看清了以前各种解法 之间的统一性。拉格朗日这种从整体上考虑问题的新的思想萌芽被伽罗华接受过来， 并大大发展了，产生出新的思想——系统结构的整体思想。把孤立地考虑方程求解 的问题归结为数学新的对象——群及其子群的结构性质分析上去，这就从局部考虑 问题上升到整体考虑问题。这是以前数学家考虑问题不曾有的一种具有革命性的新 思想，从而开拓出群论这个新的数学研究领域。
1831年1月，伽罗华在寻求确定方程的可解性这个问题上，又得到一个结论， 他写成论文提交给法国科学院。这篇论文是伽罗华关于群论的重要著作。当时的数 学家S。K。泊松为了理解这篇论文绞尽了脑汁。尽管借助于拉格朗日已证明的一个 结果可以表明伽罗华所要证明的论断是正确的，但最后他还是建议科学院否定它。
对事业必胜和信念激励着年轻的伽罗华。虽然他的论文一再被丢失，得不到应 有的支持，但他并没有灰心，他坚信他的科研成果，不仅一次又一次地想办法传播 出去，还进一步向更广的领域探索。伽罗华诞生在拿破仑帝国时代，经历了波旁王 朝的复辟时期，又赶上路易。腓力浦朝代初期。他是当时最先进的革命政治集团— —共和党的成员。这时法国激烈的政治斗争吸引了年轻热情的伽罗华，他先后两次 被捕入狱，并且被学校开除了。第二次被捕是1831年7月14日，直到1832年4月29日 才出狱。不久，由于参加无意义的决斗受重伤，于5月31日离开了人间。在他临死 的前一夜还把他的重大科研成果匆忙写成后，委托他的朋友薛伐里叶保存下来，从 而使他的劳动结晶流传后世，造福人类。
伽罗华的重大创作在生前始终没有机会发表。直到1846年，也就是他死后14年， 法国数学家刘维尔才着手整理后，首次发表于刘维尔主编的《数学杂志》上，自此， 伽罗华的重大贡献才逐渐为人们所了解。1870年法国数学家约当根据伽罗华的思想， 写了《论置换与代数方程》一书，在这本书里伽罗华的思想得到了进一步的阐述。 今天由伽罗华开创的群论，不仅对近代数学的各个方面，而且对物理学、化学的许 多分支都产生了重大的影响。
伽罗华及其所创立的群论蒙难的历史事实深刻地告诉我们：作为在学术上有杰 出贡献的老一辈科学家，一定要积极热情地鼓励和支持年青一代的科学研究成果。 要发扬“甘当梯子”的精神，让年青科学工作者“踩着自己的肩膀”攀登到科学的 顶峰。就是说，对于创造活力的青年人，作为老一代的科学家就应该像园丁培育芳 草一样去精心浇灌，对于他们在创造过程中出现的这样或那样的问题应该耐心地予 以指教，有的问题应与他们一块去思考，共同去完善提高它。不要怕青年人超过自 己，要欢迎他们超过自己。同时青年人也要尊重老一代科学家，虚心学习他的长处， 主动取得他们的支持和帮助。只有这样，才能各自发挥所长，共同攻关，携手前进， 为迅速发展科学事业做出更大的贡献。
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第四章 从数学家到精神病患者
——集合论的创立与康托尔的遭遇
19世纪末期，数学界出现了一件引人注目的事情。一位名叫康托尔（G。Cantor， 1845－1918）的德国数学家提出一种令人费解的古怪理论——集合论。它的内容是 如此与常识格格不入，以致于一出世就引起了一场轩然大波。
无穷世界的“探险家”
集合论的出现，向人们展示了一个由无穷数量关系组成的新奇世界。康托尔是 凭着探险家的勇气闯入这个新奇世界的。他发现了许多简直难以置信的事情。
康托尔是在研究微积分理论的逻辑基础问题时，开始着手创立集合论的。自从 17世纪牛顿（I。Newton，1642－1727）和莱布尼茨（G。W。Leibniz，1646－1716） 创立微积分理论体系之后，在近一二百年时间里，微积分理论一直缺乏一个严格的 逻辑基础。它的一些基本概念的表述，还有某些混乱和自相矛盾之处。从19世纪开 始，柯西（A。L。Cauchy，1789－1857）、魏尔斯特拉斯（K。Weierstrass，1815 －1897）等人进行了微积分理论严格化的工作。他们建立了极限理论，并把极限理 论的基础归结为实数理论。那么，实数理论的基础又该是什么呢？康托尔试图用集 合论来作为实数理论，以至整个微积分理论体系的基础。
出于这一目的，康托尔用集合的观点重新考察各种数量关系，特别是无穷数量 关系。他发现，无穷集合有着有穷数量关系所不具备的性质。比如，在无穷集合领 域，所有整数和所有偶数之间是一一对应的，所有理数和所有整数之间是一一对应 的，平面上所有的点和线段上所有的点是一一对应的，……概言之，在无穷的世界 里，整体的所有元素和部分的所有元素之间可以是一一对应的。另外，无穷集合并 不都是相等的，比如所有实数和所有有理数之间就不是一一对应的。因而，无穷集 合是有大小的。集合论用“基数”这个概念来表示无穷集合间的区别。那么，有没 有一个最大的集合呢？康托尔通过研究，否定了这个想法。因为每个已知集合的所 有子集所构成集合，其基数都大于已知集合的基数。既然没有最大的基数，当然也 没有最大的集合。无穷世界里的这些性质，初看起来，真是令人头晕目眩。甚至康 托尔本人在创立集合论的过程上，也时时感到心神不定。他在获得线性连续统和π 维连续统之间有一一对应关系的结果后，写信给数学家戴德金（R。Dedekind，1831 －1916）说：“我见到了，但我不相信”。然而，集合论的成果毕竟是有严格逻辑 根据的。并且它在解决实数理论逻辑基础问题中发挥了别的理论无法取代的重要作 用。实践使康托尔坚定了信心，更加勇敢地前进，大胆挖掘无穷世界里的宝藏。他 在提出超限基数和超限序数的过程中说：“我确实不知道，什么能够限制我们这种 形成新数的活动，只要可以说明，为了科学的发展，引入一个这种无穷的新数对于 研究是需要的或者是不可少的”。
从数学家到精神病患者
康托尔的研究成果发表之后，马上遭致当时一些赫赫有名的数学家的激烈攻击。 德国数学家克隆尼克（L。Kronecker，1823－1891）是这些人中言辞最激烈、攻击 时间最长的一个。
克隆尼克比康托尔年长22岁。当康托尔还是柏林大学的学生时，克隆尼克已经 是在这个学校任教的著名数学家了。克隆尼克在数学上，特别是在高等代数方面有 很多贡献。然而他一有个坏毛病，就是习惯于用刻薄的语言无情地攻击所有和他意 见不一致的数学家。他主张，除非一种数学对象能够用有限步骤从自然数中构造出 来，否则不能认为它在数学上是存在的。他有一句“名言”：“上帝创造了自然数， 其余的一切才是人做的工作”。因此，他否认无理数的存在，也否认极限理论的意 义。他常常讥笑魏尔斯特拉斯的工作：“有趣，可惜不是数学”。他和数学家林德 曼谈话时说：“你那个关于π的漂亮研究有什么用呢？无理数根本就不存在，你为 什么要研究这种问题？虽然康托尔是他的学生，但由于集合论的内容同他的主张大 相径庭，所以克隆尼克简直到了不能容忍的程度。他认为，康托尔关于超限数的研 究，是一种非常危险的数学疯病。因而他各种用得上提尖刻语言，粗暴地、连续不 断地攻击康托尔达十年之久。他甚至在柏林大学的学生面前公开攻击康托尔，这在 许多数学家看来是很过分的事情。康托尔一直在哈勒大学任教，薪金很微薄，几次 想在柏林得到一个薪金较高、声望更大的教授职位。但由于克隆尼克横加阻挠，使 得康托尔想在柏林得到职位而改善其地位的任何努力都遭到挫折。克隆尼克的影响 还使康托尔的学术论文一再延误发表日期。总之，克隆尼克的专横无理令人震惊， 他的激烈攻击使康托尔的精神状态受到极大损害。
除了克隆尼克之外，还有一些著名数学家也对集合论发表了反对意见。法国数 学家彭加勒（H。Poi…ncare，1854－1912）说：“我个人，而且还不只我一人，认 为重要之点在于，切勿引进一些不能用有限个文字去完全定义好的东西”。他把集 合论当作一个有趣的“病理学的情形”来谈，并且预测说：“后一代将把（Cantor） 集合论当作一种疾病，而人们已经从中恢复过来了”。德国数学家魏尔（C。H。Her… mann Wey1，1885－1955）认为，康托尔关于基数的等级观点是雾上之雾。菲利克 斯。克莱因（F。Klein，1849－1925）也不赞成集合论的思想。数学家H。A。施瓦 兹原来是康托尔的好友，但他由于反对集合论而同康托尔断交。
在克隆尼克等人的围攻和反对下，康托尔的精神逐渐崩溃了。他天性神经过敏， 容易激动，经受不了这种暴风雨岙的攻击。尽管有希尔伯特（D。Hilbert，1862－ 1943）等著名数学家赞同他的集合论，尽管他的集合论事实上已取得巨大的成功， 仍未能使康托尔感到欣慰和满足。从1884年春天起，即在他40岁的时候，他患了严 重的忧郁症，极度沮丧，神态不安。在他生命的最后几十年里，这种精神病时时发 作，使他不得不经常住到精神病院的疗养所去。他变得很自卑，甚至怀疑自己的工 作是否可靠。他请求哈勒大学当局把他的数学教授职位改为哲学教授职位。不过， 在精神病发作的间歇阶段，康托尔仍然顽强地坚持集合论的研究。而且当每次从精 神病发作中恢复过来的时候，他都感到自己的脑子变得格外清晰。他在集合论方面 许多非常出色的成果，都是在精神病发作的间歇时期获得的。然而，长期的精神折 磨所造成的危害毕竟是不容忽视的。由于健康状况逐渐恶化，1918年，他在哈勒大 学附属精神病院去世。
康托尔的结局是悲惨的。英国科学史家E。T。贝尔回顾这段往事时说，克隆尼 克认为集合论的出现是一种数学疯病。然而被送进精神病院的并不是集合论而是康 托尔。克隆尼克的攻击实际上打垮了这一理论的创造者。一位数学家为自己创立的 理论付出这样大的代价，这种事情在数学史上还是不多见的。
“悲剧”的成因
在造成康托尔的悲剧的诸因素中，克隆尼克时常被人们指责�