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d
和 E& 必然各是一个极值的必要条件。为了提供足够的条件，推论如次：
当 任 何时刻 在 任一同 时 发生的 虚 拟变差 的 路途上 ， 例如图 示 Bb
（ X ＋ ？X ； X ＋ ？X ； t ） 或 Cc （ X ？ ？X ； X ？ ？X ； t ） 或（3）总是有效的。所以，？EC = ？？Ed ，
但是 ？EC 和 ？Ed 并不等于零。
23
图示 E？D？ 是一条水平线。因为 E&之值对于各变差途径是共同的；而 ECBD
须是一条曲线，把 E&分成两部分，在不同途径上这两部分各不等值。
e C
E 线表示某一可能变差的途径，那里速度 X&
Ke
？ 0 ，动能率 E& ？ 0 ，总能
& &
率 E ？ ESe ，运动近于停止，绝大部分输入的能率成为变形的势能率。这是一个
& & &
极限，那里 Ed 比真实途径的要小得多，而 ？EC 《 0 ， ？Ed 》 0 ，（当 x 由左向右而
增）。
C
& & & & &
d
Dd 线表示另一反向的极限，那里 X d 0 = 最大。S&指内在自发的 S&，用来替代现行的 Clausius
不等式和 Boltzman 或 S = K ln m Pmax （m 质量，P 概率）。
？S&
从图 2 中还可看到，当 x 或 t 增进，if 减小，亦即 S 递减。迄 xc 为最小：= 《 0 ，
？x
& &
？S dS dS
《 0 ， 《 0 ； ＇
= 最小。这就是 Prigogine 原理。注意：他所谓 S&趋向
？t dt
？t xc
于最小，是指瞬时的，沿程的相比。而笔者指出的 S&和 s&最大，是指当任何一定
时刻 t、一定断面 x、现实的和虚拟的比较。后者可用来解决一切动不定方程，而
前者却只是现象的描述，无补于实用，且仅是后者的推论而已。
用数式来解释：PL = PL ＇ （ h； V； ρ； ……）； （x； t） ＇
s&= s&＇（P； V ；
T ）； （x；
t ）＇ = s&（A； t ）
Prigogine 原理是沿着现实的能坡线来讨论 S&~ x ，t。最大产熵率定律是沿着虚拟
L
的立面，在任一断面 x，t 上讨论 S&~ p ，V，T，或 P
~ h ，V。 ？ 来定出那个未
知的、唯一的、现实的 s&或 PL 最大值。
30
（ ）
ds& ds& dA
s&= s&A； t ：在 x 处， = 0 = ＋
？s&
c dt
？A dt
max
？t
min
六、流速场和压力场方程
原文中提出的紊动力学的基本方程，下面是流速场和压力场的：一般性三维 方程，非恒不匀流，U = U（x； y； z），储存功率 Pr ：
？ ？ ？ y
（x ； z ） ？ y （x ； z ）
？ U 2 / 2 g
1 ？ U ？
？ ？ ？ ？
r
P = ？ x c y m z m b ＋ ＋
＋ ？Udzdydx
= min
？Pr
0 0 0 ？ ？ x
= 0 。
？ x ？ x
g ？ t ？
二维方程：当 zm ？ ？ ，取单宽 U = U（y； x），非恒不匀流。
？ ？ ？y
（x ）
？y（x）
？U 2 / 2 g
1 ？U ？
？ ？ ？
r
P = ？ xc ym b ＋ ＋
＋ ？Udydx = min ， ？Pr
= 0 。
0 0 ？ ？x ？x
？x g
？t ？
一维方程：非恒不匀流，U = U（x）为断面均速，Q = Q（x）
？ ？ ？y
（x ）
？y （x ）
？U 2 / 2 g
1 ？U ？
c
x
Pr = ？ ？
b ＋
m ＋
＋ ？Qdx = min ， ？Pr
= 0 。
？
0 ？ ？x ？x
？x g
？t ？
一维准均匀流： i f
？ J ？ i ，J 接近确定，不需要 Pr ？ min 式子。上列各式
可推导出流速、压力的空间分布、断面分布或垂线分布。
例如在恒定非匀流中， x = x1 断面上，若不知其水面下水深 ym ？ yb ，欲求其
流速垂线分布公式的格局： yb 给出， ym 为变量。
？ ym 2
b
y
？Pr = ？？ ？x ？0
（？ y ＋ y ＋ Uy
/ 2 g ）U dy = 0
？ ？ Uy 3 ？
？？ ？ ？ y Uy ＋ yU ＋ ？ = 0 。
？x b y g
？ 2 ？
在均匀流情形下，括号内为常数。
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？ Uy 2 ？
Uy？ ？ yb ＋ y ＋ ？ ＋ c = 0
g
？ 2 ？
Uy3
？ U 2 ？
y
＋ （？ y
2g b
＋ y ）U
？ U b
？ ？ yb
？
？
＋ b ？ = 0
？
2g ？
垂线上流速分布公式 U y ~ y ，底速 U b 由糙率决定。
可见 Pr 为一组未定函数或泛函数，其中只有一函数是现实的，得用变分法确
定。这是定律的数学涵意。
？ ？ y ＋ y ＋ ？ = = 0 原则仍合，
？ ？ U 2 ？ ？？
当非均匀流转化为均匀流时， i f ？ i = ？x b g x
？ 2 ？ ？
极值转化为常值。
但是在均匀流中， ym 和 U 等并非按极值决定，而由 St。 Venan 方程组解出。
因实现的 i f
= J = i ，是按自然赋给的全部底坡 i 出现，它已经代表均匀流下最大
可能的能量消散率了。注意这里的假设是把渐近线看作是直线。
七、沙流浓度场分析
泥沙在水流中的浓度分布和水流的流速场、压力场等一样，应遵从最大能量
消散率定律，沙粒不仅随着水团运移，而且相对着有移动和转动之差；不仅须克
服粘性切力，而且须克服两种物体间的磨擦而消耗能量。若 Rouse…Ippen 的断面
浓度分布的推导是完整的，则其方程中所缺的未定部分应可由这定律来补足。
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含沙水流的损能未必可援用 Chezy 公式：公式的形式、系数和指数都应改变。
长期以来笔者认为这是应该最先研究的课题，把它掩盖起来是错误的研究方针。
八、长段非恒水沙流分析
U
？ 2 ？
2
g
？ c ？
由于在控制断面上的储存能率
？ yc ＋
？
？Qc ，同时又代表一长段水沙流同
？
时刻的储存能率，这就方便了非恒流的演算：输沙率长段内的冲淤率等。
九、可塑河槽的槽形研究
过去槽形研究中造床流率按最大频率的输沙率所对应的水沙流率，槽形则按
这流率下的最小槽底阻力分析。本定律——最大能量消散率是和最小槽底阻力等 原则相对立的。据此可研究出一套新的槽形理论分析。
十 、对于利 用“最小能量消散率定律 ”或利 用“ Prigogine 熵趋向最小值”
来分析河貌的不同意见。
首先这些都是力学的定律，是分析同一时刻发生的力能现象。不应和地貌分
析中诸因素间长期的经验统计关系合起来联解或相提并论。
Prigogine 原理虽是对一段时间的，但也只能是对时程上限于一条流率时程线
的起伏过程，对路程上两个控制断面间的距离。然而讨论地貌的形成是至少经过
& &
了几十年的，这期间外加熵增率 Se 和自然产熵率 Si 已不知起伏了多�