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& &
了几十年的，这期间外加熵增率 Se 和自然产熵率 Si 已不知起伏了多多少少次，无
法分析其热力与动力的现象。
所以根本不适于用上述诸力学定律来讨论水文地貌的分析问题。
十一、所谓“能量消散率最大”是对比什么最大？
在§五里已 明确指出， 而且从现象 指出，这是 指任何时 刻 t 在 任何断面
x，
33
Q
&
P = （热能量增率） = P ＇（h；V ； ？ ？ ？ ）； （x ； t
）＇ = P
（h；V ； ？ ？ ？ ） = 最大
L ？ L
1 1 L？x = x1 ，
消散率
参变量
自变量
t =t1
同时， S&=体统在 t = t1 ，x = x1 处也是最大 =
Q& ？P
= L
= 最大。而且在任何 x = x1
T T
断面上，比熵 S&= ？S 最大。意思是，同样一组服从连续方程和运动方程的 h； V；
？x
？ ，……场，只有那组 h； V； ？ ；……场在任何 x，t 处造成最大的 PL ， Q&或 S&， s&
才会出现，而别的组是根本不会出现的，所以对比是针对那些不会出现的，也是
非现实的，虚拟的（Vitual）压力 h 场、流速 V 场和密度 ？ 场的。数学物理学中
就是这样用泛函（Functional）和变分法（Variational method）来推求那些未知的
物理量。
& &
Prigogine 学说是，产熵比率 S&是随着时程而递减的。即 ？S 《 0 ，若 ？S 《 0 ，
？t ？x
&
则合起来 dS 《 0 ，这是指不同时刻 t 之间各 S&的对比规律，和 S = 最大定律不一
dt
样，但不相抵触，而且是后者的推论。
十二、这个定律的证明
x；t
凡是一个定律，据理，是不能从本定律的推理范围里证明出来的；但是它在
规定范围里对任何实例都能适用，且获得证实，若有一个例子不能证实，则这定 律整个不成立。
最大能量消散定律的证明载于原文附录中，是用变分法引证的。又比熵增率
S 最大的定律载于《增订非平衡热力学定律》，是用统计力学的方法证明的。
为了说明能量消散率最大，另外提供了一些实例，见图 4。1）以前说的是水
力学中控制断面处消散率最大的现象也导出任一断面都是最大。这可替代并解释
了 H~Q 关系。2）球在平板上滚下，只会沿最陡坡降 OA 滚下。那样当任何时刻
t、任何地点 x、能量消散率总是最大。而虚拟的 OB、OC 路线则斜率小，其消散
率也小，是决不会出现的。3）固体受压后变形的功在静荷载过程中，假定无穷时
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间下变形，损能 = O，从 O 至 A 点静止。外力所施之功等于变形到头的变形功。
服从 Castigliano 最小储能即变形功最小的定律。 设在上 述静 载基础 上在 ？t
时间内再 加力 ？P ，新 生变形
AB，至 B 而停止。这时总荷载
P＋ ？P ，变 形 OB ，仍应 服从 Castigliano 定理，储藏能最小。 两次储能都是最小，而 P 是
任意值，所以其差值 ？P 在 ？t 时 间内，所 增添的储 存能率
s
？P / ？t ，也是最小。给定的总功 率 E&是变形的能率 E& ，动能变率
d
K
E 与消散 能率 E&
之和：
& & & & & &
E = Es ＋ EK ＋ Ed 。因为 Es ＋ EK =
d
最小， E&是给定的，？ E& = 最大。
这三个例子都说明消散率为最大。只要一个例存在就足以否定能量消散率
最小的幻想了。（据定律的逻辑含义。）况且谁也拿不出一个例子说明消散率表现
为最小。若真有人能举出一现象实例，就可反过来推翻最大消散率的定律。请大 家多多想想究竟是最大还是最小，把它确定下来。
十三、用水流现象来解释熵的变化— —最大能量消散定律 和 Prigogine 定理
热力学指出， S = ？V ？sdV ， M = ？V ？dV ， S&= dS ， s&= ds ， S&= S& ＋ S&，
dt dt e i
&
其中，下标 e ——exterior 外界来的，i ——interior 内部自发的。按第二定律，Si ？ 0
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& Q&
（平衡情形= 0；不可逆情形 》 0）， s&i ？ 0 ， Se = 外界来的热或机械功。可正
T
可负。 S ？ Q&
T
（封闭系统）。
S = ？V ？dV
其中， ？ 为单位容积产熵率， si 单位质量产熵率。 熵 S 的物理意义可从比仿而体会。
p ？ （？ V ） = 机械功
& &
Se ？ Se ＋ Si ？ Q&/ T
T·S = 热能 （Q；P； ？ ）
强列性、延展性变量
& &
Prigogine 定理是，不单体内 S i （不包括 S e ）总是增加着的，即 Si ？ 0 。但其
？S
&
i
增率则循时而减着：
？t
《 0 ，达一最小值而静止并稳定。最大能量消散率定律是，
&
不单体内 S i 总是增加的，即 Si ？ 0 。
i
而且其增率 S&在随时随地其有关组成因素，A，B，C，…总是自动地组合得
& &
使 S i 最大，只有这最大的 S i 才会出现，其它绝对不会出现。
S
=
&
i
t = t1
i
S&（A，B，C，……）
t = t1
x = x1
dS
&
i
x = x1
dS&dA ？S&dB
＋ ＋ ？ = 0
= ？
dt ？A dt
& &
？B dt
&
？S
？ = 0
？A
？S
= 0
？B
？S
= 0
？C
这是一般性的物理概念，怎样在水流现象里体现呢？请参考图 1 和图 2 上的
两图，在任一断面 x 上从水平线 H0 HC 向下量到实际能坡线，PL 和 S&表示这断面 x
上的总体的能量消散率和产熵率。它们分别比量到相应的虚拟能坡线为大，所以
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说， PL 和 S 在任一 断面 x 上总是出现最大的值。又在任一 x 断面上
？S&
？PL 和
？x
= S&= i （一元运动中）也总是出现最大的值。当然，它们同时为连续方程和
？x f
运动方程所制约，以连成一条落水线和能坡线。
注意这个比熵 S&是 S&和 S&的总和：S&= S& ＋ S&。S&外界进入体统的比熵是什
e i e i e
& & &
么呢？它即槽底坡降 i（另乘一常数免计），所以 Si = S ？ S e = i f
？ i ，这个不断自
& ？ ？
V 2 ？
发地增值着的 Si ？ 0 ，也就是 Si = ？x ？ h ＋ 2g ？ ，即等于储存能的沿路程递减度，
？ ？
在控制断面 xc 上，它为 0； S i = 0 = i f
？ i ，？ i f = i 。用 Prigogine 的话说就是自
发产熵率 S i 沿程（时程及路程）递减，迄控制断
面而驻定（Stationary）。注意他并未说：各断面 x
& &
上 S i 为最小。而作者提出的是：任一断面上 S i 出
现的是最大可能之值，这和他的说法并不矛盾， 两者讨论的范畴是相正交的，是风马牛不相及的，
但是相辅的。
最 大能量消 散率定律 把热力学 第二 定律
i
Si ？ 0 进一步增订为 S& = S
ix = x1 ；t =t1
（P。 V。 T。 ……）=最大，籍此可具体地定出各未
知因素，而不再是 Clausius Duhem 定律中只能定出未知因素的极限值，它是力学
的一个新的定律。
十四、最大均匀流中最大能量消散率定律仍然适用
在恒定均匀流中水面线、能坡线和槽底线平行只是一假设，实际上是两条渐
近线各和水面线和能坡线相切，所以这个定律仍然适用，于是有许多目前未能解 决的水流问题都得迎刃而解了。
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图 6 所示能坡线 PL ~ x 中在一定断面 x 上有某个 PL ， S&~ P ，V，T 等关系
c
线和 PL ， S&~ x 能坡线成正交，这种线在 x 处较陡；在 x 越小的断面上曲线越坦
开；到 x 极小，能 坡线渐切 近直线处 ，则曲线 平坦得近 乎直线了 。
？ ？ V 2 ？
i f ？ i =
？ h ＋ ？ ？ 0
？x g
。假定 三线平行 ，就是渐 近线到达 极限线，
？ 2 ？
？ ？ V 2 ？
i f ？ i =
？ h ＋ ？ = 0 ， i f
？x g
= i = J 。这时所有自然赋与的能坡 i 全部消散掉，仍
？ 2 ？
然符合最大能量消散率之本意。 说明定律的普遍性含义。
十五、力学分析和统计分析
力学分析是对现象同一时刻的分析。
统计分析是对现象长时段内综合的分析，杨志达和 Leopold 等把它们混淆起 来，论理只能用前者解释后者，不能用后者解释前者。
例如 Leopold 在他的书里，请读《河槽的水力几何形态及其在地文学上的意 义》1957 年。他把
W = aQb
d = cQ f
V = kQ m
（1）
（2）
（3）
称为函数关系，而实际为相关关系。是从资料统计出来的。在对数纸上点子紊乱，
并未用最小二乘法得出它们最可能的关系。从这些线得出的结果意义是：当 Q =
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某值，W 大概等于 aQb 算出的值，又 d 和 V 也同样。但却不能说当 Q = 某值，
同时 W，d，V 就等于上式算出的值。他又说三式“代表天然河流断面上的水力
关系”。他从许多河的资料归纳出 b = 0。26，f = 0。40，m = 0。3。又袭用一个真正的
力学公式 Q = ？dV ，按量纲分析，应得
b ＋ f ＋ m = 1， a·c·k = 1
又说，沿下游方向，b = 0。50，f = 0。40，m = 0。10。但若真按量纲分析应是 b = 0。40，
f = 0。40，m = 0。20。似乎在两套资料之间。
必须认清：用力学分析的结果，用量纲分析的结果，都严谨的，诸式应是同
时发生的现象关系；而用统计分析的结果只是大概的，最可能的，而非确定的， 它们只是长期综合性关系，性质迥然不同。
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论水文地貌的演变规律 *
缘起地貌学家每谓当今尚无足够资料足以归纳成地貌演变的规律，乃至水文
地貌学始终处于幼稚阶段。下面试据水沙流现象与理论分析拟具地貌与河貌演变 的规律。
水沙流和地貌演变遵从两类规律：动力规律，包括质量守恒定律、能量守恒
定律、和最大能量消散定律（见黄万里：清华学报 1981 年第一期）；与以大数定
律为基础的统计规律。动力规律是对水沙流各因素间当同时发生的关系所分析出
的力学规律，而统计规律是对现象从长期演变的资料所归纳成的规律。 水文地貌演变的规律乃是治河原则的理论根据。
水文地貌演变的动力规律
导言 在水流的动力作用下，地貌不断演变着，在地面或沟槽里一小片表面上可
同时发生冲刷和淤积。冲刷可表现为向水沙流底面、边岸和沟源的剥夺；而淤积
只对原底面的抬高。一小片表面上冲刷率和淤积率之差便是这面上总的冲刷或淤 积率。下面的分析既是对槽流，也对地面流。
动力分析 地面水沙流冲刷率
？ 3W
1 = ？m？
？x？z？t
？H
s ？t
（x；z 地平面长、宽；t 时间，W 冲起的沙重；H 地面高程，m 密实度， ？ s 沙容重）
是下列两类因素相对差的函数：一定水温 T 下单位流程消耗的功率 P 及其时变率，
其中
P = Q？
m ie ；
？P
= ？
？t
m ie
？Q
＋ Qi
？t e
？？ m ＋ Q？
？t m
？ie
？t
（Q 水沙流率， ？ m 水沙混合容重，ie 水沙流能坡，ib 底坡，h 水深，V 流速）
在一维流中，Q = BhV = hV，（B 水面宽，取单宽则 B=1。）
* 1984 年 4 月 1 日
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i = i
？h
＋
b （i 水面坡降）。
？x
注意 Q ？ m 是床面上的水沙重量流率，它同时带动了河床或地面下泥沙在下面
移动；而 ie 则是指总的消散着的能坡 iet 中 Q ？ m 所消散的部分，它不能直接量测
？ ？ V 2 ？
V？V
到，所能测到的是 iet 。iet
= ib ＋ ？ h ＋ ？ = i ＋ ； P = Qrm ie 只是床面上水沙
？x ？
2 g ？
g？x
流的消耗功率，另外床沙移动的功率 Pb 是 Pb = ？ m hibVd （Vd 流水在床面的底速）
m
b
按 plandtl…Karman 分析，Vd = 8。5
ghib ；故
当ib ？ i；
Pb = 26。62？
（hi
）3 2
m
Pb ？ 26。62？
（hi）3 / 2
这就是水沙流（其容重为 ？ m 推动床沙每单位行程所消耗的功率。
另一类是床沙惯性的抵抗功率，床沙在表面所受剪力 ？ m hib 最大，其移动速度
VD 也是最大。向下层愈深，两者俱减，以至于 0。惯性功率按 Meyer…Peter…Muller
式推论，在床面应为 0。047 ？ S D ？VD （D 泥沙粒径，VD 表面泥沙速度，愈深愈慢，
以至 于 0 ）。设 D 改为泥沙 平均粒径， VS 为垂直 平均速度， 则惯性抗动 功 率
Pr = 0。047？ S DVS 。因 为地 上为 非均 匀沙 ，故 分析 中必 给出 沙粒 径的 分布
D ~ Pn （D ） ，（PN 指超过某粒径 D 的泥沙颗粒数对总数之比）及泥沙的粘固性系
数 CO ，它影响着泥沙松散而运移的速度 VS 。
总的结果，地面水沙流单宽（dz = 1）冲刷率
？ 2W ？H
I = ？m？
？x？t S ？t
是上述两类功率综合的结果；又同时进行着淤积率
？ 2W
II = ？
？x？t
s？ o Co
（ ？o 近底泥沙沉速，Co 容积含沙浓度。）
水文地貌演变动力定律 地面单宽净淤积率（负号为冲刷率）为
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2 2 2
？ W ？ W ？ W
= II ？ I = ？ ？ C
＋ m？ ？H
？x？t
2
？x？t
？x？t
s o o
s ？t
其中 ？ WII = ？
？x？t
s？ o Co
？ 2 ？ ？ ？ ？
WI = F ？ P
Pb ； P
Pr ？ = F＇m； C ；？ ； ？
； （hi ）3 / 2 ； D； P （D）；V
？ ？ ＇
？x？t
？ b ？t
r ？t ？
o s m b n s
2 2
b b
？i ？H ？ i ？ H
这里 随 同增或同减；且 《 0 ， 《 0 ，其变率绝对值循时而减。
？t ？t
？t 2
？t 2
说明本定律确认冲淤在一小片平面上总是同时进行着的。因淤积只在垂向发
生，而冲刷兼及岸边及源头，故对一定河槽形貌演变总是向宽长发展的。
本定律不认为存在“挟沙能力”（既最大含沙浓度）之说，不认为超过这“能
力”水沙流便发生淤积，未达此“能力”之前发生冲刷。
本定律根据分析力学原理：为了完整地描述某时刻的现象，必须另提供各有
？P ？Q ？V
关因素之时变率，例如 P 以外，再次提供 。式中 C，V，D 等皆受 ； 等
作用而变。
？t ？t ？t
？H
推论一，地貌演变当每一时刻的综合结果，若原是冲刷的，（ 《 0 ），会使
？t
？H ？ 2i ？H
= b
坡降 ib 减平（ 《 0 ）；原是淤积的，（ 2 》 0 ），会使坡降 ib 加陡（ 》 0 ）。
？t ？t ？t
减平和加陡之际发生最大能量消散率而使然。这种自然的作用，称为逆应作用（或
称 反 馈效应 Feedback effect ）。这种作 用的 强度在 外力 不变下 是循 时而递 减的
？ 2i
（ = b 《 0 ），也是符合 Prigogine 原理的。
？t 2
说明逆应作用必然随时存在，但在有的河流或流域里，上游可能因坍岸而掩
饰了冲刷减坡作用；下游因河口延伸而掩饰了淤积增坡作用。
推论二，在纵坡较平的流域河流里，左右岸土质差异使剥落不平衡；使最陡
坡降自深泓中线转向弯岸。按能量消散最大定律．这水流只会顺着陡坡的方向前
进，于是产生弯道横流，使水流分散，边岸坍落，河弯加曲，曲极而又裁直。
说明推论二是河流纵坡较平者产生乱流（或多叉流）河貌和婉蜒弯曲河貌的 理论根据。
42
水文地貌演变的统计规律
导言 在水流连续约十年以上的长期作用下，地貌或河貌在有冲有淤演变过程中，
若总结果显示冲多于淤，则据动力规律推论一，坡降趋向于减平（即长段内坡降
ib 减小： ？
T 》10
？i
dt 《 0 ），但其减势渐缓，趋向于某一冲刷平衡坡降 i 冲平 。若总
0 ？t
T 》10 ？i
结果显示淤多于冲，则坡降趋向于加陡（即长段内 ？0
dt 《 0 ），其增势渐缓，
？t
可能趋向于某一淤积平衡坡降 i 淤平 。诚然而在河口向海中延伸的情形下，将另添
一个流长，坡减起着更大的作用，使综合结果的连海坡降只见减平，其减势亦循 时渐缓。
水 文 地貌 演变的统 计定律 凡 在长期广 播减坡的 地面或河 道（ Degrading
reach），会继续在长期内冲刷减坡，并有进有退地发生溯源冲刷，趋向于某一冲
刷平衡坡降。凡在长期淤积增坡的地面或河段（Aggading reach），