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犟迹�1552—1610），他是德国数学家克拉维斯（明代学者称其为丁先生，C。Clavius，1537—1612）的学生。明朝末年，由于改革历法的需要，又陆续聘请一些通晓天文数学的西方传教士来历局工作，其中有罗雅各（Jacqaes Rho，1590—1638，意大利人）、邓玉函（Jean Terrenz，1576—1630，瑞士人）、汤若望（JeanAdam Schallvon Bell，1591—1666，德国人）等。这些人的主要活动当然是进行宗教宣传，但是，为了“巩固地位”、“增进自由”和使教会获得“极大的利益”，他们也介绍了西方的一些天文、数学、地理、制造枪炮等科学技术知识。在数学方面，这时传入的有欧氏几何、平面和球面三角学、圆锥曲线、笔算方法和一些计算工具等。西方的这些数学知识为濒于衰废的明代数学增添了新的内容，引起当时中国数学家学习和研究的兴趣，并且做出相当大的成绩，朝着中、西数学融合的方向迈出了重要的一步。
欧氏几何这一时期最早译成中文的西方数学著作是利玛窦与徐光启合译的欧几里得《几何原本》前六卷，内容为平面几何学。所用翻译底本为克拉维斯注释的《原本》十五卷拉丁文本，但仅译出原著，未译克拉维斯的注释和其他研究者的成果。在稍后编撰的《崇祯历书》等著作中，又介绍了《原本》后九卷及《原本》以外的属于欧氏几何体系的部分内容，如正多边形，多面体等。欧氏几何传入后，其丰富新颖的内容及其严谨的逻辑体系和演绎方法，在中国数学界产生了比较大的影响。徐光启曾明确指出，《几何原本》为“度数之宗”，“此书未译，则他书俱不可得论”，“此书为益，能令学理者祛其浮气，练其精心；学事者资其定法，发其巧思；故举世无一人不当学”①。对《几何原本》的意义和重要性给予了极高的评价。徐光启、孙元化等中国数学家还撰写了一些介绍与讨论《几何原本》的专著，并试图用欧氏几何的思想来研究中国古代的传统数学。清代康熙皇帝还曾请传教士南怀仁、张诚、白晋等，到宫中讲授几何，并将法国数学家巴蒂（P。Parclies）的欧氏几何著作译成满文本《几何原本》。徐光启和利玛窦所译《几何原本》中确定的一些数学名词，如点、线、直线、曲线、平行线、角、直角、锐角、钝角、三角形、四边形等等，都一直沿用至今。在翻译《几何原本》时，徐光启原来是想译完全书的，但由于利玛窦反对，说是“请先传此”，“徐计其余”，译事因而中辍。1856 年，李善兰、伟烈亚力译出《几何原本》后九卷，这已是前六卷译出之后二百五十年的事情了。
三角函数历史悠久的平面三角学和球面三角学，这时也传入中国。《崇祯历书》① 徐光启：《几何原本杂议》。
中邓玉函编译的《大测》（1631），利用单位圆上有关的八条线段定义八种三角函数：正弦、余弦、正切、余切、正割、余割、正矢、余矢，故称“八线”，最后两种三角函数现在已舍弃不用了。三角函数表造法有“六宗”（圆内接正六边形、正四边形、正三角形、正十边形、正五边形、正十五边形的边长求法，即求sin30°、sin45°、sin60°、sin18°、sin36°、sin12°的函数值），“三要”（指sin2A＋cos2A=1，倍角公式和半角公式），“二简”［指公式：sinA=sin（60°＋A）…sin（60°…A），sin（A±B）=sinAcosB±cosAsinB］等方法。此外还有正弦定理和正切定理。邓玉函编译的《割圆八线表》是五位三角函数表，间隔为分，分与分之间按比例插入法计算。罗雅各所撰《测量全义》（1631），除介绍平面三角学中的正弦定理和正切定理外，还有同角三角函数的关系、余弦定理、积化和差公式等，并且还介绍了属于球面三角学的一些基本公式。《测量全义》附有一份四位三角函数表，间隔为15′。清初，由波兰传教士穆尼阁（J。N。Smogolenski，1611—1656）讲授，后由薛凤祚整理成书的《历学会通》中，有一卷《三角算法》，其中介绍的平面三角学和球面三角学知识，比《崇祯历书》中有关三角学的内容更为丰富，并且还给出了一个六位三角函数（正弦、余弦、正切、余切）对数表。三角学是明末清初传入中国的较系统且最有实用价值的西方古典数学成就之一。
笔算李之藻和利玛窦合编的《同文算指》是介绍西方笔算的著作，主要是根据克拉维斯的《实用算术概论》编译的，并吸取了程大位《算法统宗》里的一些内容。书中主要介绍笔算定位法，四则运算，分数，比例，级数求和，开平方、立方和高次方，线性方程组等。记数与计算使用一、二、三。。等汉字，没有采用现在通用的印度—阿拉伯数码。这部书对我国算术的发展有较大影响，后来清代学者对笔算很重视并加以改进，笔算方法逐渐得到了推广。
《崇祯历书》中的数学知识在《崇祯历书》中，除平面三角法和球面三角法外，还比较零散和片断地介绍了一些有关圆锥曲线（如椭圆、双曲线、抛物线）的数学知识，以及阿基米德求圆面积、椭圆面积、球体积和椭圆旋转体体积的方法，已知任意三角形三边长求三角形面积的海伦公式等。这些也都是中国古代数学中所没有的内容，但在当时未引起足够的重视。
在学习和翻译西方数学著作的同时，我国学者也开始了初步的研究，并陆续有一些论著问世。如徐光启的《测量异同》、《勾股义》，孙元化的《几何体论》、《几何用法》、《泰西算要》，陈荩谟的《度测》，李笃培的《中西算学图说》等。这些著作大多为学习西方数学的心得体会，有些还尝试把中西数学融会贯通起来，但总的来说还没有具有创新意义的研究成果。在当时条件下，这是完全可以理解的。
第五十六章天文学明皇朝建立以后，不仅仿效前代禁止民间学习和传授天文，更将其禁令扩展到整个天文学领域，尤其是禁止私习历法。研制新历，改革旧历，历来是推动中国古代天文学向前发展的一个动力，而全面禁学天文的做法，则断绝了天文人才的广大来源，毁弃了天文学发展的群众基础，从而导致中国天文学发展出现低谷。禁令发布以后，天文工作集中到司天监，但无研制历法任务，其日常工作就是按章编算每年的民用历书，监视天空有无入占的天象。这是一种维持性的常规工作，人们不敢冒着生命危险图求进取，所以官方天文工作也墨守陈规，毫无生气。
明代末期出现了天文学研究复兴之势，可惜积弊时久，难以振兴。就在这个时候，西方耶稣会传教士进入中国，给渴望天文新知识的中国天文工作者带来了欧洲天文学知识，开始了中国天文学发展的一个特殊阶段——汉化西方天文学时期，即在传统天文学框架内，搭入欧洲天文知识构件。
第一节厉禁和抗禁按照中国历代传统，改朝换代要改换新历。一部新的历法往往与一个新的政权有关，皇帝要通过天文家沟通天人相通之途，天文家则靠解释天象向皇帝传达“天意”。明初，朱元璋不希望民间还有人懂天文，因为他们可能成为敌对政治势力所需的人才。于是，对朱氏政权千秋万代不会改换的愿望，变成了对学习天文的厉禁。据明人沈德符《野获编》记载：“国初学天文有厉禁，习历者遣戍，造历者殊死。”甚至规定，钦天监人员终生不得再从事它职，其子孙也不得学与钦天监无关的知识，以接替世袭，否则也要遣戍。厉禁造成了严重的后果，特别是天文人才的匮乏。十五世纪末，历法常常与天象不合，禁令不得不稍有松动。当时官方希望征用通历法的人以备改历之用，然而竟无人应征。《野获编》说：“至孝宗，弛其禁，且命征山林隐逸能通历者以备其选，而卒无应者。”
朱元璋的做法压制了数学与天文学，但毕竟还有抗禁的呼声和行动，这一方面表现为呼吁改历，另一方面表现为努力保存天文资料，以免其湮灭。现存常熟的一幅石刻天文图就是明代的作品，原刻于弘治九年至十二年（1496—1499）。现存的常熟石刻星图碑刻于正德元年（1506），是前后两任县令杨子器和计宗道刻制的。这幅星图翻刻的是苏州石刻星图，杨子器有如下跋文：“此图宋人刻于苏州府学，年久磨灭，其中星位亦多缺乱，乃考甘石巫氏经而订正之，翻刻于此，以示后来庶几欲求其故者得观夫大概。”这段话表现出他担心天文失传的急迫心情，并希望为改变这种状况做些实事。
比常熟石刻星图更为精巧的是隆福寺藻井星图。隆福寺初建于明景泰四年（1453），其中万善正党殿为明代当时的建筑，此殿上方藻井的装饰，是一幅绘制有据的科学星图。从此殿建成到1977 年拆除，隆福寺星图一直鲜为人知。这幅星图直径一米九八，绘有二百七十三个星官共一千四百三十二颗星。为什么在禁学天文如此严厉的情况下，竟有人敢在离皇宫不远的地方保存如此好的一幅星图？就保存资料而言，也许这样做更安全，另一方面星图也确实掩饰得很好。如深蓝色背景上的贴金星点在光亮处很显眼，但放在光线不强又正悬头顶较远的地方就很不容易看到了。由此可见，当时人们为了给后人留下天文测量的成果真是费尽心机，而其重见天日竟然经过了五百多年。
此外，万历二十三年（1595），郑王世子朱载堉自己编撰了一部新的历法，以《圣寿万年历》为名进献给皇帝。他因此而受到奖谕，得到“留心历学，博通今古”的赞语。这实际上等于宣布解除了禁习历法的禁令。但二百年的时间过去了，而明初开始实行的禁令对中国天文学的发展已经造成了不可弥补的损失。
第二节历法1364 年朱元璋称吴王，吴元年（1367）十一月冬至，太史院使刘基等向吴王进献《大统历》。洪武元年（1368），改太史院为司天监，洪武三年又改司天监为钦天监，由钦天监编算每年使用的《大统历》。洪武十七年（1384），漏刻博士元统上书，说明《大统历》其实就是元代《授时历》，且“年远数盈，渐差天度，合修改”，“以成一代之制”①。但明太祖无意编制新历，只是擢元统为钦天监监令。元统仍以《授时历》为基础，略加修订，整理成《大统历法通轨》四卷，并将历元由元至元十八年（1281）改到洪武十七年。此后，尽管多人多次上书请求改历都未获准，终明一代使用的都是《大统历》。
① 《明史》卷三一《历志一》。
第三节天文台明初未建天文台，直到洪武十八年（1385），考虑到历代都有建天文台的传统，才在南京鸡鸣山上建造了观星台，并将前一年由元大都运抵南京的郭守敬制造的天文仪器放置在天文台上。
由于南京与北京的地理纬度不同，所以元大都的仪器不适合在南京使用，于是又对其中一些仪器做了调整，并新制了一台浑仪，以便进行观测。关于南京天文台，利玛窦曾有一段较为翔实的记述：“南京也设有钦天监观星台，此台以建筑宏伟著称。。。城之一隅有小山岗，然仍处于城墙之内。上有平台，宽阔宏敞，颇适于观测之用。四周屋宇壮丽，乃昔年所建。司天者夜夜鹄立于此，以察天象，无论星陨、彗孛，皆详记奏闻。所陈仪器皆铸以青铜，制作精美，装饰华丽，其宏伟雅致非欧洲所能匹敌。且诸器屹立于此垂二百五十年，几经风霜雨雪，迄无所损。”①在二百五十年以后尚如此宏伟，可见该天文台之规模。据利玛窦记载，该台最大的天文仪器有四件，即浑象，浑仪，高表和简仪。
永乐十九年（1421），明成祖迁都北京，二十二年，曾在宫城内建一小型的内观象台。但当时随行的钦天监人员却只能在齐化门（朝阳门）迤南的城墙上进行观测，且无大型天文仪器。正统二年（1437），明英宗决定修建北京观象台，并派人按照南京观象台上的仪器制成木样，然后运回北京铸制铜仪。正统七年（1442），北京观象台建成。从正统四年到正统七年间又先后制成简仪、浑仪、浑象、八尺圭表等大型天文仪器，安装在观象台上。正统十一年，又修造晷影堂。至此，北京观象台已粗具规模。其遗址就是今北京建国门附近的古观象台。此外，景泰六年（1455），明代宗还曾在内观象台造简仪和漏壶。但关于内观象台的具体情况和观测记录，则缺乏更多的史料记载。
正统年间铸造的天文仪器十分精美，现在部分陈列在南京紫金山天文台上。但这些精美的仪器，在当时却安装得相当粗糙，如简仪极轴倾角与极高不合，浑仪二分二至与黄道实际位置不合，高表的尺寸不一等等，直到嘉靖七年（1528）才调整合适。明代的一些大型天文仪器，从制成到能正常使用，竟花费了近九十年的时间，可见当时钦天监工作的混乱和落后。
① 见China in the Sixtieth Century：the Journal of Mathew Ricci（1583—1610）， Random， Homse New York，1953。（《利玛窦中国札记》第四卷第五章）
第四节回回天文学元初来自西域的札马鲁丁等天文学家都有较高水平，他们世代执掌回回司天监，为中国天文学发展作出了重要贡献。可是到了后来他们的后人逐渐成为应付差事的官员，回回天文学出现了停滞不前的局面。明洪武元年（1368）置回回司天监，一如元制。又诏征元太史院张佑、回回司天监黑的儿等十四人，原上都回回司天台的郑阿里等十一人去南京讨论历法。这些人虽然可以编算每年行用的回回历书，但对西域天文学已不甚精通。而原藏秘书监的天文书籍又多为波斯文或阿拉伯文，“言殊字异，无能知者”。于是，朱元璋决定派遣使臣去西域再聘专家，与原回回司天监的天文学家合作翻译阿拉伯天文学著作。他说：“尔来西域阴阳家，推测天象至为精密，有验其纬度之法，又中国书之所未备，此其有关于天人甚大，宜译其书。”①《聚真堂马氏宗谱》简要记述了明初礼聘天文学家马德鲁丁的情况②：“洪武元年，为创立政府，成立钦天监，派钦使到阿拉伯满觊（麦加）政府聘请精于历学专家，乃聘到准带地方古来氏族学者，即我来华始祖德鲁丁公字彦明者，于洪武二年来至江苏省江宁县。明朝之南京成立钦天监，授钦天监监正，带来随员甚多，皆分任钦天监职务。”当时刘基为司天监监正，马德鲁丁担任的是回回司天监监正。洪武三年改称钦天监和回回钦天监，洪武三十一年（1398）罢回回钦天监，改设回回历科。马德鲁丁因其测天之学而被称为大测先生，留下了“大测堂马”的誉称。他曾以其学推测天象，预报结果优于《大统历》，因而备受尊崇。《马氏宗谱》载：“明太祖尊我祖如师，晋封回回太师。因国事初定，关于建设多所顾问，而言听计从，大为刘基所忌。”
马德鲁丁的一项重要工作是翻译阿拉伯天文书籍，但他于洪武七年逝世，所以译书的任务落到了他的儿子身上。长子马沙亦黑，字仲德，接任回回钦天监监正之职；次子马哈麻，字仲良，洪武三年起任回回钦天监监副、文林郎。马沙亦黑主要负责回回历法。《明史·历志》记载：“命翰林李翀、吴伯宗同回回大师马沙亦黑等译其书”，但汉人不懂西域文字，只能作文字加工和修饰润色，以使其符合汉语习惯，因此，主要工作是马沙亦黑做的。经过几年的研究，马沙亦黑对大统历的长处及缺陷有了较深的了解，也明白这一译事对皇帝的重要性，纯粹翻译并不适合在中国使用，所以他实际上做的是编译工作。马沙亦黑编译完成了《回回历法》三卷。
马哈麻主要负责回回天文星占著作的翻译，于洪武十六年（1383）译成了《明译天文书》（亦称《天文宝书》）四卷。此书原为阿拉伯天文学家阔识牙耳（971—1029）所著星占书，原名《占星术及原则导引》，译名还有《天文书》、《乾方秘书》、《天文象宗西占》等。朱元璋对此书给以很高的评价，他说：“今数月所译之理，知上下、察幽微，其测天之道甚是精详于我。”①《回回历法》的编译和《明译天文书》的译成，是明代天文学发展的大① 《明译天文书》吴伯宗序。
② 《聚真堂马氏宗谱》，现藏北京民族文化宫图书馆。
① 见马哈麻译《乾方秘书》，北京图书馆藏抄本。
事，对当时和后世学习和研究回回天文学产生了重要的影响。例如有一位名叫刘信的汉族学者，曾担任过明英宗正统年间的钦天监夏官正。他所撰写的《历法通径》四卷，讲的就是回回历法。此后贝琳根据回回历法的基本理论和编算历书经验，系统整理成《七政推步》一书，这是明�