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是气管；认为心无血等等。
文献
原始文献
＇1＇（清）王清任撰，陕西省中医研究院注释：医林改错，人民卫生出
版社，1984。研究文献
＇2＇马堪温：祖国清代杰出的医学家王清任，见《科学史集刊》第6
集，科学出版社，1963。
李锐
刘钝
李锐又名向，字尚之，号四香。江苏元和（今苏州）人。清乾隆三
十三年十二月八日（1769 年1 月15 日）生；嘉庆二十二年六月三十日（1817
年8 月12 日）卒。数学、天文学。
李锐先世居河南，祖父名■，父名章■。李章■系乾隆十七年（1752）
进士，曾任河南伊阳（今汝阳）知县，兵部主事等职。李锐“幼开敏，有
过人之资，从书塾中捡得《算法统宗》，心通其义，遂为九章八线之学”。
乾隆五十三年（1788），李锐为元和县生员。次年钱大昕来主持紫阳
书院，李锐遂受业其门。乾隆五十六年（1791），李锐从紫阳书院肄业，
开始从钱大昕学习天文、数学。钱氏“始教以三角、八线、小轮、椭圆诸
法，复引而进之于古”。钱氏撰成《三统术衍钤》之后，李锐曾为之作跋，
文中称：“是术衍说词虽浅近，然循是而习之，一隅三反，则古今推步之
源流不难一一会通其故也。”钱大昕“日以翻阅群书校雠为事，遇有疑义
辄与锐商榷”，可见他们之间已不是简单的传道授业关系。在钱大昕门下，
李锐又分别钻研了大统历法、回回历法，以及蒋友仁（M。Benoist，1715—1774）的《地球图说》等。同时，由于钱大昕的介绍，他开始与焦循通
信讨论天文、数学问题。
乾隆六十年（1795），阮元任浙江学政，开始筹划编纂《畴人传》一
事。李锐随后被邀至杭州，成为这一巨著的主笔。在此期间，他常往来于
苏杭之间，并得以广泛接触江南各藏书名家所收珍籍和文澜阁四库全书的
钞本，对中国古代天文、数学中的一些代表作品进行了研究。在数学方面，
他先后校勘和整理了李冶的《测圆海镜》、《益古演段》、王孝通的《辑
古算经》，以及秦九韶的《数书九章》，又于嘉庆三年（1798）撰成《弧
矢算术细草》一书。在天文学方面，他先后对三统、四分、乾象、奉元、
占天、淳■、会天、大明、大统等历法进行了疏解，其中前五种的书稿得
以保存下来。嘉庆四年（1799）春读《宋书·律历志》，对其中周琮转述
的何承天调日法有所悟，撰成《日法朔余强弱考》一书。同年秋天，《畴
人传》一书编竣。在经学方面，他曾协助阮元校勘《周易》、《谷梁》及
《孟子》，其成果已载入阮元编的《十三经注疏》之中；他又自撰《周易
虞氏略例》、《召诰日名考》等。嘉庆五年（1800），李锐在苏州书肆购
得梅文鼎手录《西镜录》一卷，钱大昕见到后作了一篇跋文，后来焦循又
另抄了一卷，致使这部明清之际的数学珍籍得以留传下来。
在杭州期间，李锐与焦循同居于阮元署内之诚本堂，得以朝夕相处，
“共论经史，穷天人消息之理”。大约此时，李锐通过焦循了解到汪莱的
工作。嘉庆五年（1800），李、汪得以初次见面。
汪莱于嘉庆六年（1801）授馆扬州，同年撰成《衡斋算学》第五册，
议论秦九韶、李冶开方根之“可知”与“不可知”（即是否仅有一个正根），
稿成后分别送寄张敦仁和焦循。前者似乎没有理解汪氏的意图，后者则于
半年后将此书稿示李锐。李锐看罢叹为“穷幽极微，真算氏之最”（李锐，
《衡斋算学》第五册跋），遂将汪稿中所列96 条“可知”与“不可知”归
纳为三例，于嘉庆七年八月九日（1802 年9 月5 日）写成跋文一篇。汪莱
于一年后在焦循的扬州家中见到此文，以后将其附入自己的《衡斋算学》
第六册之中。
嘉庆十年（1805），李锐前往扬州，为太守张敦仁幕宾。此时焦循、
汪莱、凌廷堪、沈钦裴等学者都在扬州，他们经常在一起切磋学问，其中
李、焦、汪（一说李、焦、凌）三人被称为“谈天三友”。张敦仁先后撰
成《缉古算经细草》、《求一算术》、《开方补记》等书，均请李锐予以
校算。他觅得宋版《九章算术》（前五章）、《孙子算经》、《张丘建算
经》等珍籍后，李锐也得以阅览并以微波榭本《算经十书》加以对校。大
约同时，汪莱撰成《衡斋算学》第七册，议论三项高次方程正根之有无及
其判别式，将他的方程论研究又向前推进了一大步。
嘉庆十一年（1806），李锐回到苏州。这一年他相继撰成了《勾股算
术细草》、《磬折说》、《戈戟考》等著作，又为张敦仁复校《求一算术》。
他又从某书商处借得梅文鼎亲批的《授时术草》加以摘抄。大约此时，李
锐的生活处于相当困难的境地，不得不靠朋友们的周济度日。在北京任工
部左侍郎的李潢闻知他的才学，也曾致函张敦仁，请“大兄老先生可少分
清俸，以瞻其家，俾得悉心著书”。嘉庆十三年（1808），李锐撰成《方
程新术草》，即将书稿寄给李潢。次年春天，李潢收到书稿后复函李锐，
对此书及两年前经由张敦仁送来的《勾股算术细草》给予高度评价。
李锐生平曾多次参加科举考试，但始终没有成功。最后一次应试是在
嘉庆十五年（1810），当时他正在南昌张敦仁府中。大概受到李潢的鼓励，
同年三月赴京参加顺天府试，途中在苏州家里休息了半月，六月初抵达北
京。这次应试虽然再次失败，他却得以与李潢这位神交已久的学者聚首畅
谈。在京期间，他们曾频繁往来，主要是讨论双方都感兴趣的《九章算术》
中的问题。李锐在李潢宅中还见到了阮元从《永乐大典》中摭录出的算书
多种，其中包括杨辉的《续古摘奇算法》数条。在京期间，李锐还收得弟
子黎应南等人。
李锐衰年仍然关念宋元算书的整理和自己所撰《开方说》一书的定稿。
嘉庆十九年（1814），李锐得到一部散乱的《杨辉算法》，遂根据文义，
重新排列整齐，成《乘除通变本末》、《田亩比类捷法》、《续古摘奇算
法》共3 种6 卷。同年他开始向黎应南讲授《开方说》中的主要内容。阮
元早年访得朱世杰的《四元玉鉴》并呈入四库，但一直无人问津。李锐通
过张敦仁见到抄本之后，于嘉庆二十一年（1816）对其中的“茭草形段”
等问题作了注释，可惜体力不支，未能完成此书的全部校释工作。阮元为
此叹道：“惜乎李君细草未成，遂无能读是书矣。”第二年夏天，李锐病
情恶化，最终咯血而死。他在临终前曾一再嘱托黎应南将其尚未定稿的《开
方说》下卷写好，黎氏乃“谨遵先生遗命，依法推衍”，于嘉庆二十四年
（1819）将这部关于方程论的著作最终完成。
除了黎应南之外，李锐的学生还有郑锡缓、尹铁香、蒋廷茱、许云庵、
万小廉、张辉祖、冯桂芬、吴子根等。李锐妻龚氏早亡，续娶张氏、章氏，
皆无嗣。四娶薛氏，生子可玖，李锐殁时还在襁褓之中。李可玖聪颖好学，
道光年间补为学生员，不幸于中年游皖江时因舟覆而淹死。
李锐生当清代乾嘉时代。这一时期，清政府对外采取了闭关政策，西
洋科学知识不能再如明末清初那样大量地输入；同时，由于满族统治阶级
对汉族知识分子采取高压政策，屡次掀起文字狱，遂使一般知识分子只好
埋头于故纸堆中，在古代经籍中寻求学问的出路，这就是以考据和复古为
特征的乾嘉学风兴起的时代背景。李锐的业师钱大昕，以及后来他所接触
的阮元，都是乾嘉学派江浙圈子中的核心人物；至于他本人和焦循、汪莱、
张敦仁、李潢、沈钦裴等，都是乾嘉学派在天文、数学领域中的杰出代表。
乾嘉学派虽然以复兴古学相标榜，但由于他们讲求考据的方法，用分
析、归纳的逻辑推理来研究古代经籍，因而在学术上取得了超越前代的成
就。在天文、数学领域，他们的成果也表现在两个方面：一是对古典天文、
数学工作的整理与挖掘；二是运用较科学的研究方法，在某些经典课题上
繁衍出新的成果。李锐在这两方面都做了杰出的工作。
李锐的主要著作，都被收集在《李氏算学遗书》之中。该书初刊于嘉
庆年间，共18 卷11 种，其子目为：《召诰日名考》、《三统术注》、《四
分术注》、《乾象术注》、《奉元术注》、《占天术注》、《日法朔余强
弱考》、《方程新木草》、《勾股算术细草》、《弧矢算术细草》、《开
方说》。此外，他还著有《测圆海镜细草》、《海岛算经细草》、《缉古
算经细草》、《补宋金六家术》、《回回历元考》等书。
除了以上著作之外，他还是《畴人传》一书的设计者和主要执笔人。
《畴人传》以历法沿革为主线，以人为纲目，共录自远古至当时的中外历
算家316 人。其文体则分为“传”、“论”两部分：“传”主要由原始文
献荟萃而成，“论”则是作者对传主的简短评语。这是中国历史上第一部
专为科学家立传的著作，所收材料大体能反映中国古代天文、数学发展的
面貌。作为该书名义上编者的阮元，提到其编纂过程时说自己“供职内外，
公事频繁”，而“元和学生李锐暨台州学生周治平力居多”。类似的话他
在为罗士琳《畴人传续》写的序言和应李锐子可玖写的“李尚之传”中也
都一再重复。阮元以地方长官的身分办学刻书，冠其名出版的《经籍纂诂》、
《十三经注疏》，《皇清经解》等无不出自其幕宾之手，此情自可推衍到
《畴人传》上。阮氏自称“本昧于天算”，又认定李锐“深于天文算术，
江以南第一人也”，自然会将这部书的具体工作委托给这位精通天算的幕
宾来干。从该书的具体内容来看，其中“张寿之”、“刘洪”、“马显”、
“吴昭素”、“周琮”、“刘孝荣”、“卫朴”、“姚舜辅”、“蒋友仁”、
“王孝通”、“李德卿”、“谭玉”、“杨级”、“耶律履”、“贝琳”
等传都与李锐有关著作中的文字完全相同；“虞■”、“王处讷”等传中
还可见“李尚之锐曰”等字样，因而华衡芳《学算笔谈》认为：“（《畴
人传》）正传成于阮氏，实为元和李氏手笔。”
李锐对方程论的兴趣发轫于对李冶、秦九韶等宋元数学家著作的整
理，但直接的导因却是汪莱对各类数字方程是否仅有一个正根的讨论。他
在“衡斋算学第五册跋”中提出的三例本是对汪氏96 条“可知”与“不可
知”的归纳，其第一例相当于说系数序列有一次变号的方程只有一个正根，
第三例相当于说系数序列有偶数次变号的方程不会只有一个正根。它们与
16 世纪意大利数学家G·卡尔达诺（Cardano）提出的两个命题极为相似。
在《开方说》卷上之中，李锐则给出了更一般的陈述：“凡上负、下正，
可开一数”，“上负、中正、下负，可开二数”，“上负、次正、次负、
下正，可开三数或一数”，“上负、次正、次负、次正，下负，可开四数
或二数”。推而广之，他的意思相当于说：（实系数）数字方程所具有的
正根个数等于其系数符号序列的变化数或比此数少2（精确的陈述应为“少
一个偶数”）。这一认识与R·笛卡儿（Descartes）于1637 年提出的一
条关于判断方程正根个数的符号法则是不分轩轾的。除了关于方程正根个
数判定的符号法则之外，《开方说》中还有其他许多重要成果：他将正根
以外的适合方程的解称之为“无数”，指出“凡无数必两，无一无数者”；
他在整数范围内讨论了二次方程和双二次方程无实根的判别条件；他引进
了负根和重根的概念；充实完善了宋元算家关于诸如倍根变换、缩根变换、
减根变换、负根变换之类的方程变形法；创造了先求出一根的首位再由变
形方程续求其余位数字乃至其余根的“代开法”。这些内容标志着他在方
程论领域的工作突破了中国古典代数学的窠臼，成为清代数学史上一个引
人注目的理论成果。
李锐对天文历法的研究体现了强烈的数理倾向，其代表工作就是《日
法朔余强弱考》中关于古代调日法的研究。调日法是中国古代天文学家以
分数来渐近表示朔望月长度的一种数理方法，但是“元明以来畴人子弟罔
识古义，竟无知其说者”。对于《宋书·律历志》中“宋世何承天更以四
十九分之二十六为强率，十七分之九为弱率，于强弱之际以求日法”这一
记载，李锐是元代以后第一个予以重视并给出了正确解释的学者。他指出：
分别以
26
和
9
为强、弱率，何承天将朔望月的奇零部分表示为
49 17
26×15 ＋ 9×1 399
49×15 ＋ 17×1
=
752
，分母、分子则分别称为“日法”、“朔余”。以此
为契机，李锐又对古代51 家历法所提供的数据进行考核，企图将每一历法
的日法、朔余值表示成上述强、弱二率带权加成的形式，并以此来判断其
与调日法有无关系。从现代数学的观点来看，这一设计是有问题的，因为
位于26 和9 之间的任何一个分数实际上都可以表示成它们二者的带权加成
49 17
形式，而许多历法的数据恰好满足这一条件，但这些数据很可能与调日法
无关。同时，由于精度所限和运算上的繁复，古代天文学家也不大可能全
都用这种累乘累加的方法来确定日法和朔余。李锐大约感到了后一困难，
他又创造了一种“以日法求强弱（数）”的方法，其目的仍然是把朔余与
26 9
日法的比值表示为
49
和
17
的带权加成。若以A表示日法，和分别表示xy
强、弱二数，李锐的“以日法求强、弱（数）”，相当于求解二元一次不
定方程
49x＋17y＝A。
其术文提供了一种依赖于求一术的简便算法，从而在中国数学史上第一次
沟通了不定方程和同余式组理论之间的关系。
李锐对古代天文、数学资料非常重视，“每得一书，其有历数者必广
搜博采，穷幽极微”。他对太初、三统、四分等历的上元积年数据进行核
算后得出了三者一脉相承的结论；他据宋代王■《易学》考察五代以后诸
历的岁实，解开了钱大昕关于《太乙统宗宝鉴》中数据来源的困惑；他在
《回回历元考》中正确地指出关于回历积年的不同说法系由于存在着太
阳、太阴两种纪年方式所致，这些都是有见地的结论。他在《勾股算术细
草》中利用图验法夹证明勾股定理，在《方程新术草》中解释刘徽的方程
新术，后来都被李潢采纳到其《九章算术细草图说》一书之中，成为后世
学者了解刘徽思想的钥匙。他在北京参加考试后的第二天就“与云门（指
李潢）先生书论合盖容圆”，据此可以断定李潢关于牟合方盖和祖■工作
的解说中也有李锐贡献的意见。李锐对《算经十书》和宋元数学名著的整
理也极大地激发了乾嘉时代学子们对中国传统数学的热情。
尽管在学术上取得了辉煌的成就，李锐的生活却经常处于贫困境地。
他没有固定的经济来源，主要是为人家当幕宾，以维系家庭生活和从事学
术活动的费用。他嗜书如命，但是由于自己买不起书，不得不靠借书和抄
书来获得珍贵的资料。但是他却能够安贫乐道，在逆境中顽强地坚持天文
和数学研究。他接到汪莱《衡斋算学》第五册时，正值妻亡子殇，而他本
人独客西子湖畔苏小小墓侧，其状“酸楚不可言”。关于符号法则的最初
探索就是在这样的环境下开始的。李锐虽然长年周旋于达官显贵们之间，
但他对名利并不十分介意：在阮元幕府时，“时有吴澹川刻《南野堂笔记》，
尚之长揖乞其去己名”。四方学者“凡有诘者，锐悉详告无隐”。他的每
部著作完成之后，都要先送给学术知己看，即使别人采纳了他的成果，他
也不在乎。钱大昕、张敦仁、阮元、李潢等人的著作中就都有一些是李锐
的研究心得。他热心扶植后学，总是把自己研究的最新成果教授给弟子们。
他的《勾股算术细草》最初就是为许云庵、万小廉两人写的讲义；《开方
说》则是在教授黎应南的过程中随时讲解随时修改完善的。
李锐的学术思想与乾嘉学派的宗旨密切相关。还在学徒期间，钱大昕
就告诫他：“数为六艺之一，由艺以明道，儒者之学也。”从而使他认识
到：“自世之学者卑无高论，习于数而不达于理，囿于今而不通乎古，于
是儒林之实学，遂下同于方技，虽复运算如飞，下子不误，又何足贵乎！”
（李锐，�