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后来，不少论著中对此三法的解释，反而不很清楚。现再扼要加以说明。
根据裴秀的序文和胡渭的解释，可以把“高下”释为“高取下”（如图1，
取AB），“方邪”释为“方取斜”（如图2，取AB），“迂直”释为“迂取
直”（如图3，取AB）。就是说，当地物间人行的道路里程不是水平直线距
离时，则需将此道路里程通过数学运算变成水平直线距离，再制图。这样
图上地物的位置才能准确。
晋裴秀以前，中国在地图学方面虽然积累了十分丰富的实践经验，但
是缺少理论概括和指导。自裴秀提出“制图六体”之后，即为中国地图学
者所遵循，如唐代的贾耽和宋代的沈括等都曾在论述中表明，裴秀“六体”
是他们绘制地图的规范。可以说，在明末清初欧洲的地图投影方法传入中
国之前，裴秀的“六体”一直是中国古代绘制地图的重要原则，对于中国
传统地图学的发展影响极大。
文献
原始文献
＇1＇（唐）房玄龄等：晋书·裴秀传，中华书局，1974。
＇2＇（唐）房玄龄等：晋书·武帝纪，中华书局，1974。
＇3＇（晋）陈寿：三国志·魏书·裴潜传、杜夔传，中华书局，1964。
研究文献
＇4＇周世德：马钧，见《中国古代科学家》，科学出版社，1959。
＇5＇侯仁之主编：中国古代地理学简史，科学出版社，1962。
＇6＇陈连开：中国古代第一部历史地图集——裴秀《禹贡地域图》初探，
中央民族学院学报，1978，3，第76—84 页。
＇7＇曹婉如：中国古代地图绘制的理论和方法初探，自然科学史研究，
2（1983），3，第246—257 页。
＇8＇刘盛佳：晋代杰出的地图学家——京相■，自然科学史研究，
6（1987），1，第58—65 页。
陈卓
胡铁珠
陈卓三国时吴国人。约公元3 世纪30 年代生；公元4 世纪20 年
代前后卒。天文学。
陈卓青壮年时即任吴国太史令。他善于星占，精通天文星象，曾与吴
国天文学家王蕃同时或稍后作《浑天论》，并于这一时期开始收集当时流
行的甘氏、石氏、巫咸氏三家星官，进行汇总的工作。公元280 年晋灭吴
后，陈卓自吴都建邺（今南京）入洛阳，任晋国太史令。这期间他绘成了总
括三家星官的全天星图，并写了占和赞两部分文字，还撰写了《天文集占》
10 卷，《四方宿占》和《五星占》各1 卷，《万氏星经》7 卷，《天官星
占》10 卷等占星学方面的著作。4 世纪初，陈卓已从太史令职位上离任，
但仍参与皇室天文星占事宜。公元316 年，西晋亡，陈卓重返江东，于317
年在东晋都城建康（今南京）参与了元帝司马睿的立国，复为太史令。此后
史籍中再未见到有关他活动的记载。
陈卓一生中最重要的工作是综合甘、石、巫咸三家源于战国或秦汉的
天文学派所定的星官，将其构成了一个有283 官、1464 颗恒星的相对完整
的全天星官系统。由于原著已佚，现在推求陈卓的工作情况依据的都是后
代的作品，主要有《敦煌写本》中的“三家星经”和《玄象诗》中的“玄
象诗”，唐代所编的《晋书》和《隋书》中的天文志及《开元占经》等。
据这些材料分析，陈卓所定的全天星官系统中，石氏中外官共有93 官，627
星，甘氏118 官，511 星，巫咸氏44 官，144 星，加上二十八宿的182 星，
共283 官，1464 颗恒星。（由于依据的原始材料不同，各研究者所列星数
小有差异。）研究表明，陈卓总三家星著于图录的大体步骤是，先以二十八
宿为基础，再将石、甘、巫三家星去其重复，存其不同补入其中，对石、
甘、巫三家星的重复者基本上采取先石氏、次廿氏、再巫咸氏的原则。
陈卓所总结的全天星官名数一直是后世制作星图、浑象的标准。据记
载，刘宋钱乐之在元嘉十三年（公元436 年）和十七年（公元440 年）两次铸
造浑象，都采用陈卓所定的数字，并用三种不同的颜色来区别三家星。隋
代庾季才等人即以这种浑象为基础，参照各家星图，绘为盖图。7 世纪末
—8 世纪初，又有唐代学者王希明作《丹元子步天歌》，以七字一句的诗
句介绍了陈卓所总结的283 官，1464 颗星，并创造性地把全部天空分作三
十一个大区，即后世流传的三垣二十八宿分区法。这一分区法一直到近代
都是我国观测星象的基础。陈卓的全天星官系统由此沿用了1000 多年。
文献
＇1＇潘鼐：中国恒星观测史，学林出版社，1989。
＇2＇刘金沂、王健民：陈卓和甘、石、巫三家星官，见《科技史文集》，
第3 辑，上海科学技术出版社，1978。
＇3＇中国天文学史整理研究小组：中国天文学史，科学出版社，1981。
马钧
张柏春
马钧字德衡。三国时曹魏人。生于扶风（今陕西兴平东南），生卒
年不详。机械学。
马钧少年游乐，未认识到自己的才华。当博士时，生活贫困，于是改
进绫机，并因此而出名。后来，在魏朝担任给事中，同时研制机械。
他虽然一生不大得志，但刻苦钻研，设计制造出多种机械。绫是一种
表面光洁的提花丝织品。在曹魏时的旧织绫机上，为了织出复杂、精美的
花纹图案，经线要分成几十组，每组经线由一“综”控制，每一“综”由
一“蹑”操纵，因此，50 综需要50 蹑，60 综需要60 蹑。综控制着经线的
分组、上下开合，以便梭子来回穿织；蹑是踏具。考虑到旧绫机“丧功费
时”，即劳动强度高、效率低，马钧重新设计，把几十综的绫机，一律改
为12 蹑，从而简化了操作工序，降低了劳动强度，提高了生产效率。这种
高效的新式绫机传播到其他地区，被广泛采用，促进了中国纺织业的发展。
指南车至晚在西汉时已出现，东汉时张衡再次制造，三国时已失传。
马钧担任给事中时，一天在朝房里，与散骑常侍高堂隆、骁骑将军秦朗辩
论，谈到了指南车。高、秦认为，古书上关于指南车的记载是虚构的。马
钧则坚信古代有指南车，只要肯钻研，是可以造出来的。但他遭到了高、
秦的讥笑和挖苦。马钧反驳说，空口争论，不如试制一下容易分清是非。
于是，高、秦奏准魏明帝，下诏命马钧造指南车。经过钻研，他果然制造
成功，以实际成果结束了这场争论。从此，全国都信服他的智巧。
据《后汉书·张让传》记载，东汉中平三年（公元186 年），毕岚曾制
造翻车，用于取河水洒路。马钧在京城洛阳任职时，城内有地，可辟为园。
为了能灌溉，他制造了翻车（即龙骨水车）。清代麟庆所著的《河工器具图
说》记载了翻车的构造：车身用三块板拼成矩形长槽，槽两端各架一链轮，
以龙骨叶板作链条，穿过长槽；车身斜置在水边，下链轮和长槽的一部分
浸入水中，在岸上的链轮为主动轮；主动轮的轴较长，两端各带拐木四根；
人靠在架上，踏动拐木，驱动上链轮，叶板沿槽刮水上升，到槽端将水排
出，再沿长槽上方返回水中。如此循环，连续把水送到岸上。马钧所制的
翻车，轻快省力，可让儿童运转，“其巧百倍于常”，即比当时其他提水
工具强好多倍，因此，受到社会上的欢迎，被广泛应用。直到20 世纪，中
国有些地区仍使用翻车提水。
造翻车之后，有人进献一种“百戏”模型给魏明帝，造型精美，但不
能活动。明帝问马钧，能否使它活动起来，并变得更精巧？马钧回答说，
可以。于是，马钧奉诏改进“百戏”。他用木材制成水轮，以水力驱动旋
转，通过传动机构，使女乐表演歌乐舞蹈，木人击鼓吹箫；又出现山岳模
型，木人在其间跳丸掷剑，攀绳倒立，出入自在；另有百官行署，舂磨斗
鸡，动作复杂，灵活多变。“水转百戏”的制作再次展示了马钧在机械传
动设计与制造方面的才能。
马钧还善于制造兵器。诸葛亮出师伐魏时使用了一种连弩，可以连续
发射十箭。对此，魏军颇为惊奇。马钧则认为它虽然精巧，但未尽善，声
称若经过他的改进，功效可提高五倍。三国时官渡之战，曹操曾使用“发
石车”攻击袁绍的阵地，但只能单发，效率不高。马钧担心敌方在城楼上
挂起湿牛皮，就能挡住发石车抛出的石头。于是他打算制造一种大轮，轮
上系着数十块大石头，以机械驱动大轮急速旋转，然后切断系石的绳索，
石头便连续飞击城楼，使敌方来不及防御。他曾在车轮上系数十块砖，进
行试验，结果砖可飞数百步，证明自己的设计可行。然而，这种设计却遭
到地图学家裴秀的讥笑和发难，但得到文学家傅玄的理解和支持。傅玄对
安乡侯曹羲说，马先生要制造的是国家之精器、军队之要用，只要费一点
木材，用两个人，就能制造，不妨试验一下，免得埋没有用的东西。曹羲
接受了这个建议，并把情况转告给武安侯曹爽。但曹爽未予理睬。对此，
傅玄感慨地说，试验一下，本来是极易办到的事，马先生是有名的巧人，
尚且不受重视，何况那些怀才的无名之辈呢？
马钧善于巧思，注重实践，对技术问题有自信心，但不擅长辞令。
文献
原始文献
＇1＇（晋）傅玄：马先生传，见《全上古三代秦汉三国六朝文·全晋文》
卷五十，中华书局，1958。
＇2＇（南朝）裴松之引注：马钧，见《三国志·魏书》卷二十九，中华书
局，1964。
研究文献
＇3＇刘仙洲：中国机械工程发明史，科学出版社，1962。
＇4＇刘仙洲：中国机械工程史料，清华大学，1935。
刘徽
郭书春
刘徽淄乡（今山东邹平）人。生卒年不详，活动于公元3 世纪。数学。
刘徽自述“幼习《九章》，长再详览，观阴阳之割裂，总算术之根源，
探赜之暇，遂悟其意，是以敢竭顽鲁，采其所见，为之作注”。《晋书》、
《隋书》之“律历志”称“魏陈留王景元四年（公元263 年）刘徽注《九章》”。
《九章算术注》原10 卷，第10 卷“重差”为刘徽自撰自注，大约在南北
朝后期单行，因其第1 问为测望海岛之高、远，遂称为《海岛算经》。唐
李淳风编纂《算经十书》，刘、李注《九章算术》与《海岛算经》并列为
其中的两部。刘徽又著《九章重差图》1 卷，已失传。刘徽在北宋大观三
年（1109）被封为淄乡男。同时所封60 余人，多依其里贯。据《汉书》“地
理志”、“王子侯表”以及北宋王存《元丰九域志》所载资料考证，淄乡
在今山东省邹平县境，汉淄乡侯为文帝子梁王刘武之后。
《九章算术》及刘徽前的中国数学刘徽登上数学舞台时，面对着一
分堪称丰厚而又有严重缺陷的数学遗产。其基本情况是：世界上当时最先
进的十进位值制记数法和计算工具算筹在中国使用已千年左右，算筹的截
面已由圆变方，长度缩短为8—9 厘米，筹算四则运算法则已确立。西汉张
苍、耿寿昌在先秦遗文基础上删补而成的《九章算术》集先秦到西汉中国
数学知识之大成，并在东汉成为官方制造法定度量衡器所依据的数学经
典。《九章算术》包括方田、粟米、衰分、少广、商功、均输、盈不足、
方程、勾股九部分内容，奠定了中国古代数学的基本框架；提出了近百个
一般性公■
图1《九章算术》圆田术及刘徽注书影（南宋本，现藏上海图书馆）
式、算法，确立了以计算为中心的特点；含有246 个应用题，体现了数学
密切联系实际的风格；确定了中国古代数学著作算法统率应用问题的基本
形式。它提出了完整的分数四则运算法则，比例和比例分配法则，开平方、
开立方法则，盈不足术，方程术（即线性方程组解法），正负数加减法则，
若干面积、体积公式及解勾股形公式，除个别失误外，都是正确的，许多
成就处于当时世界领先地位。《九章算术》之后，中国数学著述采取两种
形式，一是为《九章算术》作注，一是以《九章算术》为楷模编纂新的著
作。但是，《九章算术》只有术文、例题和答案，没有任何证明。汉魏时
期，许多学者如马续、张衡、郑玄、刘洪、徐岳、阚泽等都研究过《九章
算术》，他们的著作失传，但由刘徽《九章算术注》中“采其所见”者，
可以了解其大概。数学家们力图改进圆周率值，成绩却不理想，如张衡求
得π= 10，可见并未找到求圆周率的正确方法。人们广泛使用出入相
补方法证明几何问题。对平面图形，后人称作图验法，在直线形中，它是
可靠的，但在曲线形中，却不能真正完成证明。对立体图形，后人称作■
验法。刘徽说：“说算者乃立■三品，以效高深之积。”三品■即长、宽、
高均1 尺的立方、堑堵（斜解立方得两堑堵）、阳马（即直角四棱锥，斜解堑
堵得一阳马，及一鳖■，即各面均为勾股形的四面体）。一般说来，■验法
只可用来验证标准形立体（即可分解或拼合成三品■者）的体积公式，对一
般情形则无能为力。人们在论证圆锥、圆亭、球等体积公式时，采用比较
其底面积的方法。这是祖■原理的最初阶段。齐同原理在数学计算中已经
使用。总之，人们尽管在论证《九章算术》公式的正确性上作了可贵的努
力，为刘徽采其所见准备了丰富的资料，但这些方法多属归纳论证，对《九
章算术》大多难度较大的算法尚未给出严格证明，它的某些错误没有被指
出。刘徽之前的数学水平没有在《九章算术》的基础上推进多少，这就给
刘徽“探赜之暇，遂悟其意”，留下了驰骋的天地。自然，他的业绩主要
在数学理论方面。
算法及其纲纪——率长于定量分析，以算法为中心，是中国古代数
学的特点。《九章算术》上百个一般性公式、解法，每个都是一种算法，
除个别失误外，都具有完全确定性、普适性和有效性等现代算法理论对算
法的要求。刘徽《九章算术注》的主要篇幅在于对《九章算术》算法的正
确性进行证明论述。进行计算，关键在于找到一种量作为标准，进而找到
各种量之间的关系，这就是率。率的本意是规格、标准。经过《孟子》、
《墨子》、《周髀》等阶段的演变，到《九章算术》，率成了一个明确的
数学概念。刘徽认为“凡九数以为篇名，可以广施诸率”，借助率论证了
《九章算术》的大部分算法，约200 个题目，使率的应用空前广泛深化，
把率概念提高到理论的高度。刘徽给出了率的定义：“凡数相与者谓之率。”
相与即相关，数在这里是量。一组量，如果它们相关，就称为率。由此刘
徽得出率的性质：“凡所得率知，细则俱细，粗则俱粗，两数相抱而已。”
换言之，一组有率关系的数，在投入运算时，其中一个扩大（或缩小）某一
倍数，其余的数必须同时扩大（或缩小）同一倍数。刘徽进而提出了率的三
种等量变换：乘以散之，约以聚之，齐同以通之。它们最初都是从分数运
算抽象出来的。分数的分母、分子可以看作相与的两个量，因而成率关系，
关于分数的三种等量变换自然推广到率中来。实际上，刘徽关于率的定义
就是在经分术（分数除法）注中提出来的。成率关系的一组数若有等数（公因
子），则可用此等数约所有的数，是为约以聚之。相反，对成率关系的一组
数可以同时扩大某倍数而不改变率关系，是为乘以散之。利用这两种等量
变换可以把成率关系的一组数化成没有公因子的一组整数，从而提出了相
与率的概念。“等除法实，相与率也”。刘徽的运算大都使用相与率。只
有将几个分数化成同一分数单位才能作加减运算，于是产生了齐同术。刘
徽说：“凡母互乘子谓之齐，群母相乘谓之同。同者，相与通同共一母也。
齐者，子与母齐，势不可失本数也。”同样，对比较复杂的问题，常常有
相关的分别成率关系的两组或几组数，要通过齐同，化成有同一率关系的
一组数，齐同原理成为率的一种重要运算。刘徽说：“齐同之术要矣，错
综度数，动之斯谐，其犹佩■解结，无望而不理焉。”刘徽对齐同原理的
应用是多方面的。若甲、乙之率为a，b，乙、丙之率为c，d，欲从甲求丙，
可以先从甲求乙，再从乙求丙，称为重今有术。刘徽认为，亦可应用齐同
原理，先同乙之率，为bc，再使甲、丙之率与乙相齐，分别为ac，bd，则
三率悉通，然后应用今有术。刘徽指出。“凡率错互不通者，皆积齐同用
之。放此，虽四五转不异也；”刘徽创造的方程新术，就是先求出诸物的
两两相与之率，再通过齐同，化成同一率关系，用今有术或衰分术求解。
同一问题，同什么量，齐什么量，可�