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文，其中52 问（分别在卷二、三、八）或已注过总术，或已注过同类术，根
据简约的原则，不必再注。余下没作注的便只有商功章方堡■（方柱体）体
积公式。这不是刘徽的疏漏，而是把它看成不能证明的真理，因此可以理
解为定义。刘徽着力探讨《九章算术》各公式、解法，以至数学各部分之
间的关系。以体积问题为例。《九章算术》以■验法为主要方法，其正确
性是归纳的结果。刘徽则不然，他在用无穷小分割完成阳马与鳖■的体积
公式证明之后指出：“不有鳖■，无以审阳马之数，不有阳马，无以知
锥亭之类，功实之主也。”并且接近提出任何四面体的体积都是
61
abh。
他将方锥、方亭、刍甍、刍童、羡除等多面体分割成长方体、堑堵、阳马、
鳖■，以证明其体积公式。刘徽的多面体理论是从长方体出发，以四面体
体积公式的证明为核心，以演绎推理为主的理论体系。刘徽的其他理论都
可作类似分析。总之，数学在刘徽的头脑中形成了一个独具特色的体系。
它从规矩度量的统一出发，引出面积、体积、率、正负数的定义，运用齐
同原理、出入相补原理、无穷小分割方法，以演绎逻辑为主要推理方法，
以计算为中心，以率为纲纪。它“约而能周，通而不黩”，并且没有任何
循环推理，全面地反映了到公元3 世纪为止的中国人的数学知识。刘徽《九
章算术注》不仅有概念，有命题，而且有联结这些概念和命题的逻辑推理。
它的出现标志着中国古代数学形成了自己的理论体系。
刘徽和他的时代公元3 世纪由刘徽完成《九章算术注》这样杰出的著
作不是偶然的。中国封建社会经过两汉大发展，到魏晋发生了大变革，经
济关系的基本特征是庄园农奴制，门阀士族占据政治舞台的中心，中国封
建社会进入一个新阶段。与此相适应，繁琐的两汉经学和谶纬迷信被冷落，
儒学衰微，代之而起的是以研究三玄（《周易》、《老子》、《庄子》）为
中心的辩难之风，思想界出现了春秋战国百家争鸣之后所未有过的解放与
活跃局面。知识分子较能按自己的特长和社会需要发挥才智，而少受追求
功名利禄及代圣贤立言的精神枷锁的束缚，从而打开了数学研究中发挥创
造性的大门。以严谨为其特点的数学几百年来积累了大量公式、解法需要
证明其正确性，而“析理”，探索思维规律，互相辩难，追求理性的辩难
之风的兴起促进了这个过程的完成。刘徽注《九章算术》的宗旨“析理以
辞，解体用图”无疑是辩难之风中“析理”在数学中的反映。刘徽主张“要
约”，“举一反三”，反对以多为贵、远引繁言，主张触类而长，这都与
嵇康、王弼、何晏等思想家的主张一致，甚至他们的许多用语、句法也都
相近。因此，刘徽深受辩难之风的影响而析数学之理是顺理成章的。我们
由此而断定刘徽为嵇康、王弼的同代人而稍小一点，当生于3 世纪20 年代
后期或稍后，注《九章算术》时年仅30 岁左右，这与汉末三国多早熟夙悟
才子是吻合的。
刘徽成长在齐鲁地区为他在数学理论上做出贡献提供了良好的客观条
件。邹鲁之乡是儒学的发祥地，临淄稷下学宫招徕全国著名学者，成为先
秦百家争鸣的中心之一。经两汉到魏晋，齐鲁的学术空气一直十分浓厚，2—3 世纪更出现了徐干、仲长统、王肃、郑玄、王弼等大思想家，曹魏时
期，齐鲁地区又是正始之音辩难之风的中心之一。因此，刘徽从小能受到
良好的文化教养，并置身于辩难之风之中。另一方面，2—3 世纪，齐鲁地
区的数学比较发达，出现了刘洪、郑玄、徐岳、王粲等著名数学家，形成
了以研究《九章算术》为主的数学中心，这就给刘徽少年时师承贤哲，成
年后“采其所见”，从事深入的数学研究准备了丰富的资料。在这样的客
观条件下，使刘徽有可能改变数学偏重实践经验，忽视理论研究的传统，
向重视理论研究的方向转化。
刘徽本人具有一个大科学家的素养，是他成功的内在因素。首先，他
继承了《九章算术》开创的数学联系实际的传统。刘徽在论述包括数学本
原在内的各种问题时都坚持实事求是，没有神秘的成分。他说：“不有明
据，辩之斯难。”全部《九章算术注》的推理、论证都有可靠的论据和前
提。他指出数学“非特难为也”，批评张衡欲协其阴阳奇耦而不顾数学上
疏密的错误，指出“虽有文辞，斯乱道破义，病也。”与不可知论及数字
神秘主义划清了界限。刘徽博览群书，善于汲取历代思想家的思想资料用
于自己的数学创造。他引用《墨子》、《周礼》及《考工记》、《左氏传》、
《周易》、《论语》、《管子》、《老子》、《庄子》、《史记》、《淮
南子》等典籍的话，顺手拈来，天衣无缝，表明他谙熟诸子百家言。他置
身于时代潮流中，重视数学理论研究，他的无穷小分割中“不可割”的观
点与墨家“不可■”的思想一脉相承，“至细日微，微则无形”的观点则
源于《庄子》“至精无形”，他的推理方式受到王充《论衡》的影响，等
等，都是时代的产物。但他不迷信古人。《九章算术》在东汉已被奉为经
典，刘徽为之作注，对之自然十分推崇。然而他并不盲从。他在全面论述
《九章算术》的同时，指出了它的若干错误及不精确处。如批评宛田术和
开立圆术的错误。指出有关圆或圆体的问题或术文“以周三径一为率，皆
非也”。在中国数学史上批评《九章算术》最早最多最深刻的，要数刘徽。
他还批评世人因袭《九章算术》之旧法，“莫肯精核，学者踵古，习其谬
失”。同时，他虚怀若谷，敢于承认自己的不足。对自己设计的牟合方盖，
他“判合总结，方圆相缠，浓纤诡互，不可等正”，未能求出其体积，然
而他决不不懂装懂，故弄玄虚以欺世人，而是坦率地承认“欲陋形措意，
惧失正理，敢不阙疑，以俟能言者”，既表现了他“知之为知之，不知为
不知”的实事求是作风，又反映了他寄希望于后学，相信后人能超过自己
的坦荡胸怀。刘徽认为，用数学方法解决实际问题，应在认识数学精理的
基础上尽量灵活运用各种数学方法，所谓“设动无方”，而不应“专于一
端”，不知变通。他以《庄子》“庖丁解牛”的寓言作比喻，说“数，犹
刃也。易简用之则动中庖丁之理，故能和神爱刃，速而寡尤。”因此，他
对一个问题常常提出几种不同的解法，对一种解法，又提出不同的理解途
径，大大丰富了《九章算术》的内容。
当然，在表彰这位数学巨匠的功绩时，也不能不指出他的某些不足。
刘徽在数学上无疑是位创造者、革新者。就他的水平，完全可以写出一部
水平更高的自成体系的著作。然而他未能突破给经典著作作注的惯例，把
自己的真知灼见分散到《九章算术》中，这对后人理解《九章算术》大有
裨益，但却限制了他的数学创造、数学方法的展开，限制了他的思想对后
世的影响。比如就极限思想而言，从现存中国古算资料看，在清末李善兰
微积分思想产生及西方微积分学传入中国之前，再没有人超过甚至没有达
到刘徽的水平。因此可以说，刘徽《九章算术注》在内容上是革命的，在
形式上是保守的。刘徽说：“一者，数之母”，在有理数范围内这是正确
的，并且，这种思想对求圆周率近似值，开方不尽求微数而不必考虑哲学
上的困难，无疑是有意义的。但是这种思想也关上了考虑与1 没有公度的
数的大门，后来关于无理数的认识一直未能在《九章算术》的基础上前进
一步。
文献
原始文献
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陆机
苟萃华
陆机字元恪。三国（公元3 世纪）时吴国吴郡（今江苏吴县）人。生
卒年不详。博物学。
陆机，一作陆玑，以别于同时同郡的文学家陆机（字士衡）。其实，文
学家陆机在吴亡后入晋，应为西晋时人。以博物著称的陆机，因正史无传，
且缺乏史籍记载，其生平活动，尤其是他的生卒年，很难考订。从唯一可
资凭说的《毛诗草木鸟兽虫鱼疏》中也只能得到点滴信息，觅得少量线索。
据《毛诗草木鸟兽虫鱼疏》的作者题署，知道陆机是三国时吴郡人，
做过太子中庶子，官至乌程令。他出身于江南吴郡世族。孙吴政权是靠南
北世家大族支撑起来的。吴郡的顾、陆、朱、张在孙吴政权中占有重要地
位，特别是在孙权统治时期（公元200—256 年），孙权与顾、陆联姻，更加
深化了这种政治依赖性。顾雍掌管朝廷政权，陆逊掌管吴国兵权，朱治为
吴郡太守。这时，孙氏子弟及顾、陆、朱、张四姓子弟做大小官吏者数以
千计。而且每过几年，就有几百人被送到中央去做官。陆机可能是在这个
时期做吴太子中庶子，出任乌程令的。
据该书看来，陆机对北方的动植物颇为熟悉，也了解北方某些地方的
俚语、方俗，书中所提到的地名，也多属长江以北、黄河流域中下游地区。
可以推断他在早年曾游学于北方，到过北方很多地方。
陆机是否从师郑玄（公元127—200 年），由于史料缺乏，不便妄测。但
可肯定的是，东汉末年，北海（今山东）郑玄杂糅今古文经学，以其门徒多、
著述富，成为当时“天下所宗”的儒学。陆机即使不是郑玄的入室弟子，
至少也是深受郑学影响的儒者。
《诗经》是儒家经典之一。《诗经》中的动植物多为春秋以前长江以
北、黄河流域中下游地区的动植物，名称古老。战国以来，释《诗》者往
往以一物之别名来解释《诗》中的动植物古名。如果学《诗》者不了解“别
名”所指为何物，则《诗》中之动植物名仍令人费解。陆机治诗，师承郑
学，训诂名物，不仅参考前人著述达30 种，吸取当代《本草》中动植物知
识的新成果，更为重要的是，他根据自己在北方的实地考查所得的“活材
料”，运用写实和比喻（同类事物的类比）的方法，生动具体地解释《诗》
中的动植物古名，把它置于科学认识的基点上（不仅仅是文字训诂），形成
自己独特的风格，大大地超越了前人注释的水平，在古代生物学史上做出
了特殊的贡献。
首先，陆机治诗，将动植物知识分列出来单独成册，著成《毛诗草木
鸟兽虫鱼疏》，这本身就是史无前例的创举。而且，由于它的出现，使古
典博物学开始从儒家经典注疏中分出一支。
《毛诗草木鸟兽虫鱼疏》分上、下2 卷，上卷为植物部分，计有草本
植物60 种，木本植物47 种；下卷为动物部分，其中鸟类27 种，兽类12
种，虫类24 种（内有鼠类、两栖类），鱼类11 种（含兽类、贝类）。该书对
动植物形态（种类辨别）、生态（习性）、地理分布，以及栽培、驯化和利用，
具有一定深度的认识，类似于近代的“自然历史”。
第二，陆机对动植物的形态描述翔实，突出动植物的形态特征，可据
之以辨别其种属。
例如他对鹭的描述：“水鸟”，羽毛“洁白”，“青脚高七八寸，尾
如鹰尾，喙长三寸余。头上有长毛十数尾，长尺余，毵毵然与众毛异”。
即如今鹳形目的白鹭。鹈鹕的形态特征是“颔下胡大如数升囊”。鼍（扬子
鳄）“形似水蜥蜴”，“长丈余”，“卵生”。至于植物的形态特征更为详
尽：■“今药草贝母也。其叶如栝楼而细小。其子在根下如芋子（块根），
正白，四方连著有分解（块根、簇生）也”。显然是葫芦科的贝母。“薇，
亦山菜（野生）也。茎叶皆似小豆，蔓生，其味如小豆，藿可作羹，亦可生
食。”薇即如今豆科植物大巢菜。基于对形态特征的认识，陆机能依据某
些植物的共同特征来进行归类。如：“榛，栗属”，是以榛、栗果实相似
而定；“梅，杏类”也是以其树、叶、果实相似而定。尤为重要者，他根
据植物的形态特征正确地辨识了《诗经》中的同名异物的植物名称。他认
为“苕之华”的“苕”和“邛有旨苕”的“苕”，是两种不同种属的植物，
前者“似王刍，生下湿水（沼池、下湿地）中，七、八月中华紫（开紫花），
似今紫草”（似为禾本科植物，《辞海》以为是紫葳科植物，恐非是）；后
者则是幽州人所说的翘饶，蔓生，“茎如劳豆而细，叶似蒺藜而青。其茎、
叶绿色，可生食，如小豆藿也”，显然是豆科黄芪属植物紫云英。“标有
梅”的“梅”，是“杏类也”，即如今蔷薇科植物；而“终南何有”的“梅”，
却是荆州人所说的“梅”，也即“■”，“终南及新城、上庸皆多樟■。
终南山与上庸、新城通，故亦有■也”，即如今樟科润楠属植物楠。其他
如“蒲”，“有蒲有荷”的“蒲”，即如今生于浅水中的香蒲；“扬之水
不流束蒲”的“蒲”却是“柳”，即如今杨柳科的蒲柳。“杞”，“集于
苞杞”的“杞”为枸杞（“地骨”）；“无折我树杞”的“杞”，是生于“水
旁”的“柳属也”，即如今杨柳科植物杞柳。
第三，陆机在该书中不仅记载了动植物的生长地和栖息地，而且特别
着重记载了动物的种群生态现象。
鹳“树上作巢，大如车轮”，即言其树栖，集群营巢，苍鹭（“负釜”、
“背灶”、“黑尻”）则“泥其巢，一旁为池，含水满之，取鱼置池中。。”，
集群营巢于水边，共食。鹈鹕也是群栖共食，“好群飞，若小泽中有鱼，
便群共抒水，满其胡（皮囊）而弃之，令水竭尽，鱼在陆地，乃共食之，故
曰淘河”。如果说白鹳营巢简陋的话，那末鸱■（巧妇鸟）营巢可谓精巧。
鸱■“取茅莠为巢，