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346．61953 日，这与理论值之差仅约15 秒，其精确度远高于前代各历法，
后世也只有纪元历（1106）所取值的误差（约7 秒）较之为小。边冈测算得月
亮过远地点时间的误差为0．35 日，精确度也较大衍历高过一筹。崇玄历
月亮运动不均匀改正表的精度（用月亮每日实行度的测算结果衡量，误差为
7．0＇ ），在历代同类表格中是最佳的。关于五星会合周期的测定，崇玄历
取木星会合周期为398。88608 日，误差为2。9 分钟，优于大衍历（误差为
13。5 分钟），而且该值对后世许多历法产生了很大的影响。崇玄历所取金、
水二星会合周期的精度亦高于大衍历，但火、土二星会合周期的误差却远
大于大衍历。边冈对火星近日点黄经进行了较精确的测算，与理论值仅差
1。57°，是为历代最佳值。边冈测得木、火、土、金、水五星近日点黄经
的进动值分别为35。20″，35。08″，34。94″，35。31″和35。12″，虽然
这些数值的误差都较大，但从总体上看比前代各历法进了一步，而且在纪
元历以前各历法均参照这些数值，影响是相当大的。对于五星运动不均匀
改正的数值表格，边冈也给出了新的格式：他把一周天分为前后不均等的
两大段“盈限”和“缩限”，每一大段又各均分为12 小段，分别列出五星
运动的具体盈缩值。在对五星近日点黄经的测量存在一定误差的情况下，
这一新格式能较真实地反映五星运动不均匀改正的不对称性，可以较好地
描述五星运动的真切状况。这一新格式对宋初一些历法产生了较大的影
响。以上这些成果表明，边冈在编制崇玄历时曾进行了相当多的且十分精
到的天文实测工作，他无愧是一位有成就的天文观测家。
边冈的主要贡献还在于一系列历算方法的创新，在崇玄历中，他设计
了不少巧妙的删繁就简的便捷算法。例如，推求任一年十一月冬至时月亮
平均行度（B），依传统方法应等于：
式中A 为上元到所求年的积年数，A≥53947308。若将有关数据代入上式，
则有：
这对于古人来说当然是一个相当繁杂的算题。边冈则设计了以下算式替代
之：
41 2
B = 19
（639
119
×■余…
37
×■周）
的余数；
周天度数
式中■周等于A／9036 的整数，其余数即为余。对于A=53947308 以及
其后600 年内，其■周均等于5970，■余则在2388 至2988 之间变动，依
两种算法所得B 值的差异将不大于0。04 度，这应是当时的计算误差所能允
许的。
又如，推求任一年冬至午中与月亮远地点间的时距（G），依传统方法应
为：
式中E 为冬至时刻与午中的时距，冬至时刻在午后时为减，午前时为加。
将有关数据代入，则有：
4930801
×A±E
G = 13500
。
的余数；
371986 97
13500
边冈又设计了如下算式以替代之：
式中C 等于■余／47 的整数，其余数即为D。对于A=53947308 及其后600
年内，C将在50至63间，而D在0至47间，依两种算法可得G值的差异
将不大于0。05 日，也在计算误差允许的范围内。由这两个例子可见，边冈
设计的新算法确比传统方法便捷得多，而且保持了必要的准确度，这表明
了边冈具有十分敏捷的思维与纯熟、巧妙的数据处理能力。应该说这些还
只是边冈在历算上小试锋芒而已，他更重要的贡献是关于先相减后相乘法
的总结与推广，以及高次函数法的发明与应用。
隋唐时期，刘焯（公元604 年）、一行（公元728 年）等人发明等间距或
不等间距二次差内插法、等差级数法等，为较好地定量描述日、月、五星
的运动提供了全新的数学方法。此外，约在公元780 年，曹士■在他的符
天历中，首创了又一种新算法，应用于太阳中心差的计算，其公式为：
1
V …M = （182 …M）·M；
3300
式中M 为太阳距冬、夏至的平行度，V 为相应的实行度。这一算法具有简
便鲜明的特点，从数学原理上考察又与二次差内插法、等差级数法等有异
曲同工之妙。可惜，直到边冈，刘焯、一行的算法倍受历算家的重视并被
广泛应用，而对曹士■的算法却几乎无人问津。在崇玄历中，边冈一方面
自如地应用等间距二次差内插法于日、月运动的计算；一方面对曹士■的
算法作了数学上的总结和归纳，从而提炼为所谓先相减后相乘法。如对上
式可表述为：M 先与182 相减，后又令其余数与M 相乘，再除以3300。并
且把这一算法广泛应用于许多历法问题的计算。
崇玄历求太阳中心差的算式为：
1
V …M =
3435
（1818682…M）·M。
。
式中V、M 的含义与上式相同，显然它受到了上式的直接影响，但其准确度
要较上式为高。
崇玄历以前各历法在计算黄赤道宿度差时，均采取文字叙述的表格计
算法，一般规定在二至或二分前后，太阳赤经每增4 或5 度，太阳极黄经
较太阳赤经增或减若干度，计算起来比较繁杂。而崇玄历则以下式求算之：
F = ± ＇（1315 …SS …（
1 144
）
1
4566 …SS ） ＇ 。
10000 10 1690
式中F 为太阳极黄经与赤经之差，S 为太阳赤经值，0＜S＜45．65685 度；
若45．65685＜S＜91．3137 度，需以91．3137 度返减之。可惜，依该式
计算结果的误差约为0．35°，精度反不如前，这是边冈对黄赤道差的变
化规律还没有很好把握造成的。
关于月亮极黄纬的计算，崇玄历应用了如下公式：
当m＜30 度，及152＜m＜182 度（需以182 度返减之）时，
193 81305
P = （ …mm
）；
350000 386
当30＜m＜91 度，及91＜m＜152 度（需以182 度返减之）时，
1733 314440 8281
P = （ …mm
） …；
2100000 1733 10500
上二式中，P 为月亮极黄纬值，m 为所求时日月亮与黄白交点的度距。依二
式计算，误差为0。37°，精度与传统的表格计算法持平。
以上各式均取先相减后相乘法。此外，在崇玄历中，在推算因定朔发
生时角不同而发生的定朔时刻与日食食甚时刻的改正值时，在交食推算中
与视差改正有关的阴历食差、阳历食差值时，亦都应用了该法。它们的共
同特点是以简易明了的算式，取代了传统的、较为繁杂的先列出数字表格，
再依表格用一次或二次差内插法计算的表格计算法。由于边冈的总结、提
倡和推广，先相减后相乘法在后世历法中被普遍采用，成为历法计算的最
重要的数学方法之一。
边冈对历法计算方法的创新还表现在关于每日晷长、太阳视赤纬、昼
夜漏刻长度等值的计算上。如果说先相减后相乘法还仅是一种二次函数的
描述的话，那么对这些历法问题，边冈更发明和应用了三次和四次函数的
描述法。
崇玄历推求每日午中时阳城的晷长（L）的算式为：
当冬至后H＜59 度时，乃夏至后H＞123。62225 度（需以182。62225 度
返减之）时，L=12。7150…（2195…15H）H2·10…6当冬至后H＞59 度（需以182．62225 度返减之）时（，） ，及夏至后H＜
123．62225 度时，
L=1。4780＋（4880—4H）H2·10…7，
上二式中H 是指二至与所求日午中之间太阳的实行度数。该二式是三次函
数式，依之计算的晷长误差为0。025 尺，与大衍历依表格计算法计算的精
度相当。该二式对仪天历（1001）和崇天历（1024）的晷长计算法产生了直接
的影响。
在计算太阳视赤纬（δ）时，边冈所应用的算式是：
δ=23．9141—T，
δ=T－23．8859，
它们分别适用于春分后和秋分后时日δ值的计算。其中
184 16
T = W2 …W4
50025 50025×3335
式中W≤91。3131 度；若W＞91。3131 度，需以182．6262 度返减之。W 为
二至到所求日夜半的太阳定行度。
而对于每日夜半定漏（Y，指每日夜漏刻长度的一半）的计算，边冈所取
算式为：
1
Y= （1752 ＋Q ），
100
1
Y= （2748 …Q ），
100
它们分别适用于春分后和秋分后时日Y 值的计算。其中
460 8
Q = W2 …W4；
6003 4004001
式中W 的含义同T 式。
同样，在崇玄历以前各历法在计算δ和Y 值时也均取表格计算法，边
冈则以相应的四次函数式替代之，依之计算，δ的误差为0。09°，Y 的误
差为4。6 分钟，二者的精度也都与大衍历所取传统的表格计算法不相上
下。边冈的δ、Y 算法对崇天历（1024）、明天历（1064）和观天历（1092）的
相应算法也产生了直接的影响。
质言之，边冈总结、推广或发明创造的二次、三次和四次函数计算法，
共同构成了一个高次函数计算法的崭新的数学模式，它们取代了一系列历
法问题计算中传统的数值表格加内插法的数学模式，是我国古代历法中数
学方法的一次极重大的变革。二、三、四次函数法与二、三、四次差内插
法在数学形式上迥异，但其实质却同，即两者是可以互通的。在边冈以前，
三次差内插法尚未出现完善的形式，一直到授时历（1281）才最终完成，而
且我国古代历法史上从未有过四次差内插法，更可见边冈首创的三、四次
函数法的重大意义。相比较而言，高次函数法较表格计算法具有形式简明、
计算便捷的突出优点，而且自边冈始，新法的计算精度已大抵达到了旧法
的水平。此外，表格计算法具有较浓重的实测型、经验型色彩，对日、月
运动和有关天文量变化的描述存在区间性及不协调的重大缺欠，而高次函
数法则把这些描述完全数学化了。所以，无论从数学上或是从天文学上看，
边冈的高次函数法都是相当成功的变革。该法极大地充实了我国古代天文
学代数学体系的内容，边冈作为该法的奠基者，在我国古代天文学史上应
占有十分重要的地位。
最后，我们还要提到边冈关于交食的研究成果。在崇玄历中，他给出
了月食食分的新算法：
K =
（1480 …D 阳或阴） …R
×10 ＋
D 阳或阴×10；
阳或阴1480 …D 阳或阴1480 …D阳或阴
34 1000N
D阳=
100
（2000 …
1337
）；
41 1000N
D 阴=
100
（2000 …
1337
）；
式中K阳、K阴分别指当月亮位于黄道南或北时的月食食分值，R 为定望时
月亮与黄白交点的度距，N 为定望时月亮的实行度分值，该值在1207 分到
1464 分之间变动，△阳、△阴分别为月亮位于黄道南或北时的食限值（阳历
食限或阴历食限）。
K 阳或阴式右边第一项分数部分的天文学含义是月面直径被遮掩部分与
月面直径的比值，而10 系指月面直径的总分数，即月全食时食分为10 分。
这是边冈汲取前人已有成果而得的，小有不同的是：传统算法均以（1480
△阳或阳）为常数值，边冈则以变量替代之。而右边第二项是边冈引进的一
特定的月食食分改正值。又从K阳或阴算式知，当N 较大（即月亮在近地点
附近）时，△阳或阴较小，K阳或阴亦较小；当N 较小（即月亮在远地点附近）
时，△阳或阴较大，K阳或阴亦较大。这就是说边冈已经虑及了月亮与远、近
地点的相对位置不同对月食食分的影响，可惜他并未给出正确的描述。此
外，边冈的算式不但首次给出了月食的阴、阳历食限的明确概念和数值，
而且还首次以月在黄道南北不同来分别计算食分，正确地反映了月亮视差
对食分计算的影响。若令K阳或阴=0，可得R=1480 分≈14。80 度≈14。59°，
此即边冈所取的可能发生月偏食的食限值，其误差约为2。1°；令K阳=5，
N=1207，可得R=946。9 分=9。51°，此即边冈所取的必定发生月偏食的食限
值，其误差约0。2°；令K阴=10，N=1207，可得R=449。9 分=4。43°，此即
边冈所取的可能发生月全食的食限值，其误差约为1。4°；又令K阳=10，
N=1464，可得R=307。7 分=3。03°，这则是边冈所取的必定发生月全食的食
限值，其误差约为0。1°，这四个不同的食限值从总体上看是我国古代所
取的最完善的数值。边冈对交食的研究还包括关于日食食分及食限、亏初
和复满时刻等的新算法。他的这一系列成果把我国古代交食研究推向了新
的高度。
文献
原始文献
＇1＇（宋）欧阳修、宋祁：新唐书·历志六下，中华书局，1975。
研究文献
＇2＇严敦杰：中国古代黄赤道差计算法，见《科学史集刊》第1 集，科
学出版社，1958。
＇3＇陈美东：我国古代对五星近日点黄经及其进动值的测算，自然科学
史研究，4（1985），2，第131—143 页。
＇4＇陈美东：崇玄、仪天、崇天三历晷长计算法及三次差内插法的应用，
自然科学史研究，4（1985），3，第218—228 页。
＇5＇陈美东、张培瑜：月离表初探，自然科学史研究，6（1987），2，第
135—146 页。
＇6＇陈美东：中国古代太阳视赤纬计算法，自然科学史研究，6（1987），
3，第213—223 页。
＇7＇陈美东：中国古代月亮极黄纬计算法，自然科学史研究，7（1988），
1，第16—23 页。
＇8＇陈美东、李东生：中国古代昼夜漏刻长度的计算法，自然科学史研
究，9（1990），1，第47—61 页。
韩鄂
范楚玉
韩鄂唐末五代时人。籍贯、生卒年不详。农学。
《旧唐书》、《新唐书》都无韩鄂传。不过《新唐书》卷七十三《宰
相世系表》上有韩鄂和韩谔两个名字。前者为唐玄宗时宰相韩休之兄，韩
■的玄孙；后者为韩休之弟，韩倩的玄孙。二人同祖、同辈。又《新唐书·艺
文志》和《宋人书目》著录的《四时纂要》，均题作韩鄂撰。农史研究者
大多认为韩谔和韩鄂为同一人。《四时纂要·十月》四十五条：“买驴马
京中”，说明韩鄂家居之地离京城长安不远。唐代自中期以后，“均田制”
彻底破坏，庄田盛行。官员以外，普通富人也有大量田庄。周围十余里的
大田庄并不罕见，庄内种花木万株，引泉水或河水灌溉良田数十顷。韩鄂
家不是大田庄主，至少也是个中小田庄主。当时小田庄主的生活也较优裕，
储光羲《田家杂兴》诗：“种桑百余树，种黍（酿酒米）三十亩；衣食既有
余，时时会亲友。”没有厚实的经济条件，韩鄂是不可能“编（遍）阅农书，
搜罗杂识”，“撮诸家之术数”而编写出《四时纂要》来的。
《四时纂要》约成书于唐末，或五代初。原书在中国早已佚失。1960
年在日本发现了明万历十八年（1590）朝鲜重刻本，且为硕果仅存的本子。
1961 年，由日本山本书店影印出版。中国根据这个影印本，由缪启愉加以
校释，于1981 年出版。
《四时纂要》为分四季十二个月，列举农家应做事项的月令式农家杂
录。书中资料大量采自《齐民要术》，少数则来自《■胜之书》、《四民
月令》、《山居要术》等及一部分医方书，也有韩鄂自己的点滴经验与总
结。全书5 卷，4 万2 千余字。内容除去占候、祈禳、禁忌等外，可分为
农业生产、农副产品加工和制造、医药卫生、器物修造和保藏、商业经营、
教育文化六大类。重点在前三类。
农业生产是本书的主体，包括农、林、牧、副、渔，表现出以粮食、
蔬菜生产为主的多种经营传统特色。农业生产技术方面，记述较前代发展
进步的有果树嫁接，合接大葫芦，苜蓿和麦的混种，茶苗和■麻、黍■的
套种，种生姜，种葱以及兽医方剂等。还有种棉，种茶树，种薯蓣，种菌
子和养蜂等则是中国最早的记载。关于种棉，有人怀疑是后人加添的，现
尚难于确定。农副产品的加工制造，记述丰富多样，特别在酿造方面有不
少创新。如最早介绍利用麦麸酿制“麸豉”，价廉，且可节约粮食。制酱，
突破以前的先制麦曲，然后下曲拌豆的分次作法，把麦豆合并一起制成干
酱醅，并两道程序为一道。又将咸豆豉的液汁加以煎熬作灭菌处理后，贮
藏以作调味品，开酱油生产之先声。药酒、果子酒、冲水调吃“干酒”的
酿制，品种多而具有特色。对各种植物淀粉的提制，从谷物扩展到藕、莲、
芡、荸荠、薯蓣、葛、百合、茯苓、泽泻、蒺藜等；从果实、球茎、鳞茎、
块根、根茎以至菌核，无不利用。医药卫生方面，最突出的是采录了很多
种药用植物的栽培技术，成为现存农书的最早记载，而《齐民要术》在这
方面是缺乏的。
《四时纂要》的最大特点，也是最大缺点，即全书共698 条，其中占
候、择吉、禳镇等迷信的东西占有348 条