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算有重要意义，而且在世界数学发展史上也具有一定的意义。
一行在阳城（今河南登封）对冬至时刻的测定，做了十分认真的测影工
作。
祖冲之 （429—500）关于冬至时刻的测定，首创了巧妙的测量与计算方
法，并取得相当好的测算结果。一行在测影工作的基础上，依据祖冲之的冬
至时刻计算法，推求得开元十二年十一月癸未日九十九刻 （公元724年 12
月18日23时45分36秒）为冬至时刻，这一结果与理论值完全吻合。
大衍历对于每年冬至时刻的计算，正是建立在这样准确的测算前提之下
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的，所以具有很高的准确度，这也就大大提高了二十四节气时刻等一系列与
太阳运动有关的历法问题的计算精度。
一行对于冬至时太阳所在恒星间位置的测算，也做了相当出色的工作。
由于太阳的光芒强烈眩目，只要太阳处于地平线之上，便将背景中的恒
星全部隐去，而失去直接判断太阳位置的参照物。人们最早时是当太阳落下
之后或升起之前的短暂时刻，通过观测昏旦中星 （过子午圈的恒星）来间接
推测得知。
后秦时的姜芨首创了在月食时测量月亮在恒星间的位置，由此可知与之
正相对的太阳的位置，这样就可以消除在昏旦时进行间接测量由于时刻不准
确等原因所导致的误差，得到较为准确的结果。姜芨的这种方法称为月食冲
法。
一行利用姜芨发明的月食冲法，得到开元十二年冬至时太阳在赤道斗宿
10。5度的结果，这个数值与理论数值的误差为1。9度，这个误差主要是由于
二十八宿距度测量的累积误差造成的，而用月食冲法测量的偶然误差仅0。1
度。
由于地球绕日自转轴与公转轴倾斜，使地球上日照的倾角发生周期性变
化，从而发生季节变化，其变化周期可用中午日影长度的变化度量。然而，
中国天文学产生的初期，却是利用季节星象判断季节的。日照倾角的变化为
回归年，季节星象为恒星年，回归年和恒星年每年相差不到1分，叫做岁差。
由于中国古时的度量系统是赤道式的，而且采用二十八宿入宿度这种以赤径
差计量的特殊表达方式，致使古人不知存在差异，发现岁差较晚。
约330年，虞喜 （281—356）发现，依照《尧典》的记载，冬至时的昏
中星为昴星，而到了虞喜的时代，冬至昏中星为壁9度。这就是说，从帝尧
到东晋这段时间内，冬至昏中星已从昴宿，经胃宿14度、娄宿12度、奎宿
16度，退行至壁宿9度，合计退行51度。虞喜估计唐尧时代相距2700年，
由此可求得约53年岁差1度。
一行应用冬至时太阳所在恒星间位置的测算工作得到的客观结果，又基
于对大量的历史纪录的详尽考查，对岁差现象确信无疑。为此，他写成了洋
洋万余言的《大衍历议·日度议》，他说：
“古历，日有常度，天周为岁终，故系星度于节气。其说似是而非，故
久而益差。虞喜觉之，使天为天，岁为岁，乃立差以追其变，使五十年退一
度。”
这段话告诉我们，虞喜曾指出，古历将节气与星度相等同是不正确的，
寒暑变化1周不等于太阳在恒星间运行1周。因此便分清了周天与周岁的不
同概念，并且求出了二者具体的差数为50年退1度。这个差数便称之为岁差，
其含义是，太阳在黄道上运动，经过1岁之后并未回到原处，尚差1／50度
（赤经差）。这个岁差概念，与近代所理解的赤道岁差相当。
但是唐初的李淳风和王孝通不相信有岁差。
李淳风由于不相信有岁差，所以在他撰写的《晋书·天文志》和《律历
志》中，对虞喜的这个重大发现并未予以记载。
王孝通在公元626年校正傅仁均历时，还根据远远落后于当时天文学发
展水平的隋张宾开皇历来指责傅仁均，说他不应该在计算时使用岁差。
一行在《日度议》中驳正了李淳风、王孝通这两位历算名家对岁差现象
的怀疑，从而结束了虞喜发现岁差现象以后约400年间的一些历家对这一重
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要天文概念的犹疑以至反对的状况，使岁差成为定论。
一行推算得每经1年太阳沿赤道西退36。75分（3040分为1度），即赤
经岁差为每82。72年退1度（约等于42。9″），该值偏小，但却对唐宗一些
历法产生了较大的影响。
一行对太阳运动的研究成果还反映在关于每日晷长和昼夜漏刻长度的测
算上。在大衍历中，一行列出了阳城二十四节气午中日影长和昼夜漏刻长度
的数值表（晷漏表），它们是经由实测，再经一定的推算得到的。这个表与
以前不同的地方是，把平气改为定气，而且精度大为提高，他的晷长表的误
差是0。022尺，漏刻表的误差是0。5刻。
一行在晷漏问题上，更主要的贡献是创立了晷漏长度随地理纬度不同而
不一样的近似算法，也就是所谓“九服晷漏”计算法。
大衍历的九服晷长计算法包括以下五个步骤：
第一，先给出太阳天顶距（Z）为1至78度时，8尺表的各相应影长（L）
的数值表格（Z—L表）。这个表格的天文和数学含义应是：L=8×tgz。根据
这个含义可以认为它是一份正切函数表，而且是世界上最早的正切函数表。
但是，它不是纯正的正切函数表，而是为解决特定的天文学问题而编制的数
值表格，而且它不是由纯数学的方法导出的。这个表中与Z＜44度相应L值
的准确度较高，而与Z＞44度相应的L值的准确度骤减，这可能是由于Z＜
44度相应的L值是参用了在阳城测影的实际结果，而Z＞44度相应的L值是
应用某种数学方式或者是经验方法外推得到的。
第二，以某地实测得到的夏至和冬至的影长值为引数，由Z—L表依一次
差内插法反推出相应的Z值，它就是某地夏至和冬至时太阳午中天顶距的
度值（Z ）
1
第三，在大衍历的晷漏表中还载有阳城在二十四节气时太阳去极度的数
值，任意节气与夏至、冬至太阳去极度的差，也就是夏至、冬至两节气时太
阳午中天顶距的差（Z0 ），它不但适用于阳城，而且也适用于其他任意地
点。于是，某地二十四节气时午中天顶距的度值Zh = Z 1
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六、日月食、五星运动的计算
一行还创立了九服食差的计算法。所谓食差是由月亮视差引起的月亮视
位置、真位置同黄白交点之间的度距差。月亮视差的大小因为月亮天顶距的
不同而异，而天顶距的大小与地理纬度有关。也就是说食差的大小与地理纬
度有关，九服食差计算法就是因为这个原因而提出来的。对于这个问题，大
衍历的算法，是分别以某地夏至、冬至及定春分、秋分午中影长的实测值为
引数，由晷漏表依一次差内插法反推出与它相应的日期和时刻；又以这些日
期和时刻为引数，由阳城二十四节气食差表也依一次差内插法求出相应的食
差值；以此分别作为某地夏至、冬至及定春分、秋分时的食差值；在这个基
础上，再依近似方法求得该地任意时日的食差值。这个算法在大的原则上并
没有错误，但是由于在某地和阳城测影以及阳城二十四节气食差表本身存在
误差，而且一次差内插法的应用和由某地夏至、冬至食差等推演出来的食差
值都是近似值，所以一行的九服食差的计算方法也还是一种近似算法。
在我国古代的传统历法中，关于晷长、漏刻和日食等的推算一般仅限于
某一地点有效，例如在京师地区等。一行大衍历中创造的九服晷长、昼夜漏
刻和食差计算法，就是力图打破这种局面，使历法适用于全国各地，这种大
胆的尝试大大扩展了历法的普适性，这在我国古代历法史上是一个划时代的
创举。
关于阳城二十四节气食差，大衍历是用表格的形式分别给出各定气的二
十四个食差值，这种食差表也是一行首创的，它实质上是反映太阳处于黄道
不同位置时对月亮天顶距大小的影响，而造成的食差各异的状况。这个食差
表的误差是2°左右。阳城二十四节气食差和九服食差与各地日食食时、食
分等的预报有关，它们对于日食预报质量的提高是大有裨益的。
一行对于月食的研究，也取得了很大的进展。他在大衍历中，给出了一
个十分简捷的月食食分 （g）的计算公式：
3523。9339
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且对后世的一些历法产生了重大影响。大衍历的月食食分计算公式成为以后
绝大多数历法所承用的基本形式。
一行对于五星运动也有独到的研究。
第一：一行最早提出了五星运动的轨道与黄道并不重合，五星运动的轨
道与黄道之间存在着一定的夹角，而且给出了计算五星位置在黄道南或北的
具体方法。
第二：他最早提出了五星近日点进动的概念，并给出了五星近日点每年
的讲动值（△2），见表1
2
星名 进动值 （△ ） 与理论值之差
木星 39。9 ″ 18。1 ″
火星 37。4 ″ 28。9 ″
土星 26。8 ″ 43。7 ″
金星 35。6 ″ 15。1 ″
水星 159。7 ″ 103。7 ″
表1
在此基础上，一行建立了计算五星近日点黄经的方法：已知某年五星近
日点黄经为2，N年后五星近日点黄经则为2＋△2·N。据此推算一行得到了
728年五星近日点黄经，见表2
星名 近日点黄经 误差
木星 345。1 ° 8。9 °
火星 300。2 ° 12。5 °
土星 69。9 ° 16 °
金星 260。1 ° 146。3 °
水星 286。6 ° 228。9 °
表2
第三，他最先编制了以五星近日点为起算点，每经15°给出一个五星实
际行度与平均行度之差的数值表格。
北齐张子信曾发现五星运动的不均匀性，但是自张子信以来，人们采用
的都是每经一个节气给出一个相应数值的初始方法。一行的数值表格取代了
这种方法，并对五星运动的不均匀性的描绘给出了更加明晰的天文意义。经
对这个数值表格的分析可以知道五星盈缩的最大值，见表3
星名 盈缩最大值 误差
木星 239。5 ′ 79。6 ′
火星 377。5 ′ 256。7 ′
土星 507。6 ′ 95。3 ′
金星 77。0 ′ 26。3 ′
水星 192。0 ′ 1220。1 ′
表3
其中木、土二星数值表格的总体误差分别为70。6′和59。4′。上面各数
值的误差都是比较大的，只有土星近日点黄经值等少数数值精度较高，这说
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明一行只是初步认识了五星运动的规律。但是，他的3项创新为以后历家的
进一步探索开拓了正确的方向，标志着我国古代对于五星运动的研究进入了
一个崭新的时期。
一行还十分注重探求用新的数学方法去描述由实测得知的日、月、五星
运动以及交食等的客观状况。刘焯曾经首创了等间距二次差内插法，等间距
二次差内插法可以概括为：
T △
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七、一行天文活动的思想特征
一行对恒星位置进行过十分认真的观测。他对二十八宿距星去极度测量
的误差约为1。6°，这比旧测值的误差（约3。5°）大为降低。
西汉的落下闳测定的二十八宿赤道距度（赤经差）的误差为0。48°，一
行测定的误差为0。56°，误差稍微大了一点，但由于落下宏的测定值已经过
去了800年，如果继续使用，误差比0。56°会更大，所以，一行的测定值取
落下闳的测定值，还是具有较高精度的。
一行在对二十八宿距星去极度的新、旧测值进行比较时发现：从牛宿到
井宿，除了女宿是古小今大，危宿是古今同度外，其余各宿都是古大今小；
从鬼宿到斗宿，除鬼宿是古今同度外，其余都是古小今大。用现代的岁差理
论推算，结果是，从牛宿到井宿是古大今小，从鬼宿到斗宿是古小今大。也
就是说，一行的观测结果和由分析所得到的结论基本上是可信的。
一行在对二十八宿距度的新、旧测值比较时，也发现了斗、虚等六宿是
古今不同度的。
一行对文昌、北斗、天关等20多个星官的入宿度或去极度也进行了测
量，也发现了古今不同的现象。由这些发现，他得出了星宿位置古今变化的
重要结论，这个结论的意义和影响都很大，到宋元时期，更频繁地进行了恒
星位置的测量工作。
一行从事天文活动有几个明显的思想特征：
第一：他十分注重观测实践，特别是直接的、第一手的实践结果，为了
达到这个目的，他从新天文仪器的设计制造开始入手，仪器铸成了以后，他
就充分利用仪器进行勤勉和精细的测量工作。他还十分珍视前人观测实践的
间接成果，尽量详尽地收集和整理前人关于交食、晷影、五星、冬至太阳所
在宿度等等的记录。他的一系列天文数据表格、数学方法的厘定，都是以这
些古今观测结果为准绳的。
第二，他十分重视接受天象的检验，强调历法必须要“有验于今”而且
要“有证于古”。他对于冬至时刻和回归年长度等的确定，是接受了从春秋
以来冬至、夏至的日影测量结果“凡三十一事”的校验；与交食有关的各天
文数据和计算方法，则接受了从汉武帝元光年间（前134年—前129年）以
来“日食有加时者凡三十七事”，以及古史所记载的“月食九十九事”的检
验；对于五星运动，就利用了“史官所记岁星二十七事，荧惑二十八事，镇
星二十一事，太白二十二事，辰星二十四事”，加以校算；对于赤道岁差，
一行更是遍考帝尧以来的有关记载，详细地予以验算。他正是以接受天象的
检验作为立数、立法的根本，而且也作为判别立法优劣的依据。
第三，一行善于吸收前人的研究成果，他曾对先秦的天文遗产，以及“太
初 （历）至于麟德（历）二十三家之众义”进行广泛、深入的比较研究，吸
取其精华，为大衍历的编制奠定基本的模式。他还曾经对印度的天文历法知
识给以足够的重视，从中获取新思想和新概念，大衍历中关于太阳、五星运
动的某些创新，也许就曾经受到了这种启迪。
第四，勇于创新。一行并不满足于原有的结论，他善于发现疑点，提出
问题，而且还敢于提出新的结论或解决问题的新方法，这些都是以对翔实的
客观素材的深入研究作为前提的，譬如关于太阳运动不均匀性的新描述，赤
道岁差的考定，九服晷漏和九服食差的新算法、对五星运动的很多新认识，
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新数学方法的探求，恒星位置的古今变化，子午线1°的长度的概念和数值，
等等问题，都是这样去做的。一行对于印度的天文学，也是经过实践，谨