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欧拉是一位能在任何地方、任何条件下工作的大数学家。他非常喜欢孩
子。常常是一边怀抱着一个婴儿一边写他的论文，同时稍大一点的孩子们在
他周围嬉戏着。他写最困难的数学论文时的那种轻松自如是令人难以置信
的。同时，他又是位慈祥而称职的父亲，他为子女的教育付出了大量的心血。
每到晚上，孩子们围坐成一圈，由欧拉亲自布置和检查他们的作业，解答他
们的问题。他还编了许多数学趣题启发他们的思考。下面就是其中的一个：
“父亲临终时立下遗嘱，按下述方式分配遗产：老大分得100克朗和剩
下的1/10；老二分得200克朗和剩下的1/10；老三分得300克朗和剩下的
1/10；老四分得400克朗和剩下的1/10；……依此类推分给其余的孩子。最
后发现所有的孩子分得的遗产相同。问遗产总数和孩子总数以及每个孩子分
到的遗产各是多少？”
一道初等数学的简单应用题，经过欧拉的精心编写，大大激发起孩子们
的学习兴趣。但是，最受孩子们欢迎的还是他那讲不完的故事和诗朗诵，如
果他有空能和孩子们在一起唱歌游戏，消磨一个愉快的晚上，更会使孩子们
久久难忘。孩子们的嬉笑声和朗朗的读书声时时从窗口飘出来，许多过路的
行人还以为这里一定开办着一个很好的幼儿园呢！
欧拉是那种极为罕见的数学家，就在子女绕膝、笑闹之声不绝的环境中，
在沙皇恐怖统治的浓重阴影下，一篇篇论文源源不断地从欧拉的手中流出。
他用拉丁文写的论文深入浅出，雅俗共赏，字句极少改动。尤其是他创造了
现代数学的语言，更使他的作品受到广泛的欢迎。今天我们常用的许多数学
符号，像用∑表示求和；用i表示
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一天，吃完午饭，欧拉点燃烟斗，拿起刚刚送到的信件阅读起来。从欧
洲各地向他求教的来信每天都有一大堆。今天有一封从柯尼斯堡的来信引起
了欧拉的特别兴趣。偏僻的东普鲁士的柯尼斯堡坐落在美丽的普雷格尔河
畔，河上旖旎的风光吸引了小镇的居民来这里散步、休息、野餐、垂钓。普
雷格尔河上有两座小岛，从河的两岸分别有三座桥和它们相连，同时又有一
座小桥把两个小岛连接起来。时间一久，有位爱思考的居民提出来一个有趣
的问题：一个散步的人能不能一次走七座桥，而且每座桥只能走一次？这个
问题谁也回答不了。有人说可以，可是走来走去，始终没能完成；有人说不
行，可惜又说不出令人信服的理由。这个不大不小的问题竟然一下子难住了
全镇的居民和外地游客。于是，一位小学教师写信向大名鼎鼎的欧拉求教。
欧拉是位出了名的“好好先生”，连中小学生有解不出的“难题”来求
教，他也总能使他们如愿以偿。只要需要，无论是多么平凡、琐碎的事情，
他也总会不假思索地去尽力完成。他从来不去考虑这些“杂事”是否会影响
自己的研究，降低自己的身份。其实，欧拉不仅仅是把它们当作自己应尽的
责任，他对这些问题也确实怀有浓厚的兴趣。像柯尼斯堡七桥这类问题在数
学史上还从来没有人处理过。它显然不是我们所熟悉的代数问题，因为它并
不是研究数量的大小。它和平面几何也不相同，平面几何里的图形不是直线
就是圆，是讨论它们角度的大小或线段的长短。可是在柯尼斯堡七桥的问题
中，桥的准确位置无关紧要，陆地的大小和形状也不需要考虑，重要的是考
虑一共有几块陆地、几座桥以及它们的连接情况如何。根据这个特点，欧拉
经过认真的思考，先把柯尼斯堡七桥画成一个线条图（见图1—2），在他的
图形里，小岛和河岸都演变成了点，桥则成了边接这些点的线。这样，问题
就被简化成为：从图上某一点开始，中间任何一条线不得重复画两遍，铅笔
不准离开纸面，能不能把这张图一笔画出来？经过一番思索，欧拉终于找到
了一个彻底而漂亮的答案。说它彻底，因为它给出了能否一笔画出“河—桥”
图的明确条件；说它漂亮，因为它的条件非常简单，对于任何一张“河—桥”
图，只要很短的一两分钟就可以作出准确的判断。
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柯尼斯堡七桥问题的圆满解决使柯尼斯堡人心满意足，而对于欧拉来
说，这仅仅是个良好的开端。发现一块矿石可能意味着藏有巨大的宝藏。经
过精心的开掘，欧拉果然发现了一个只需要考虑位置的关系和性质的全新的
数学领域——拓扑学 （拓扑学是研究图形在双方单值连续变换下不变性质的
几何学），建立起了网络的概念并推导出拓扑学中非常有价值的重要关系式。
拓扑学在近代有了重大发展，它已经渗透到数学的各个分支，获得了非常广
泛的应用。比如，安排运输路线或邮递路线就需要考虑这样的问题：如何把
货物或邮件送到指定的地点而又不走回头路。
不嫌弃平凡的工作，并且善于从平凡的工作中发现不平凡的内容，正是
欧拉难能可贵的优秀品质。在欧拉琳琅满目、美不胜收的创作宝库里，珍藏
着他为柯尼斯堡七桥、国际象棋中骑士的跳步等一类数学游戏所写的大量光
彩照人的作品。
正当这位从巴塞尔城来的年轻数学家以神话般的速度在数学的各个领域
里一篇接一篇地发表他的独具匠心的论文的时候，欧拉遇到了他一生中又一
次重大的挫折：他的右眼突然失明了。
当时，欧拉正决心赢得一项关于天文学问题的巴黎大奖。天文学中彗星
轨道的计算历来是数理天文学中的一个大难题，因为它牵涉到两个或两个以
上的星体之间的关系。没有计算机的帮助，要想得到比较精确的结果，即使
是一位极具才能的数学家，一般也要花好几个月的辛勤劳动。为了吸引更多
科学家们的兴趣，1739年，法国巴黎科学院特别为这一课题设置了巨额奖
金，征求解答。欧拉决定在这个领域中施展一下他超群的计算才能。他对通
常采用的方法进行了一系列重大的改进。尽管这样，计算仍是十分困难。可
是一旦开始工作，让欧拉中途停下来是不可能的。他在书房之中着迷似地干
了起来。饿了就啃几口面包，困了就靠在椅背上迷糊一会儿。凯塞琳娜看着
丈夫这样不顾一切地工作，只有干着急，爱莫能助。虽说进展神速，但等他
计算出彗星的运行轨道的时候，时光已经不知不觉地过去了3天。晨曦透过
窗帘悄悄报告着新的工作日的来临。欧拉的眼睛里布满了血丝，头昏沉沉的，
身体疲惫不堪。他轻轻阖上刚刚写好的论文，随手推开窗户，张开双臂伸了
个懒腰。突然，欧拉的眼前一片发黑，他一头栽倒在地！他在床上整整躺了
一个星期。病后，他的右眼完全失明了。
欧拉作为计算方法的大师，无疑从来没有人超过他，甚至连比较接近他
的人也不容易找到，或许雅可比应该除外。算法专家就是为解决特殊类型的
问题而设计计算方法的数学家。举一个很简单的例子，我们假设（或证明）
每一个正实数都有一个真正的平方根，如何去计算这个根呢？有许多已知的
方法可以计算，而算法专家则设计实际可行的方法。再举一个例子，在丢番
图分析，也在积分学当中，一个问题的解答可能不是现成的，要用其它变量
的函数关系做一些巧妙的（通常是简单的）代换，一个算法专家就是能自然
地想到这种代换的数学家。想出代换的过程没有统一的方法——算法专家就
像机敏的打油诗人一样，是天生的，而不是造就的。
看不起“纯粹的”算法专家的情况在今天是很流行的，然而，当一个像
印度的罗摩拏阇那样的真正的数学家从不知道的什么地方突然冒出来的时
候，就连分析专家们也都会把他当作从天而降的天才而向他欢呼：对于表面
上无关的各种公式，他那几乎是以超自然洞察力揭示了从一个领域通向另一
个领域的隐秘的线索，这就为分析学者们提供了弄清这个线索的新任务。一
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个算法专家其实是一个“形式主义者”，他为这些公式的美丽而热爱这些美
丽的公式。欧拉就是其中的佼佼者。
应该提到的是，现代考证已经表明，天文学的问题无论如何对欧拉眼睛
的失明没有太大的责任。这种考证在使数学史上所有的奇闻轶事遭到怀疑方
面起了很大的作用。但是富有学究气的批评家们 （或者任何其他的人）怎么
会知道这么多关于所谓的因果关系的东西呢？这个秘密恐怕需要大卫·休谟
（欧拉的同代人）的在天之灵去解决了。尽管有这样的一个告诫，我们还是
再讲述一个欧拉与无神论的 （或许只是泛神论的）法国哲学家德尼·狄德罗
（1713～1784）的著名故事给我们的读者听。这里我们稍稍偏离了编年史的
顺序，因为这件事发生在欧拉第二次留居彼得堡期间。
那一次，叶卡捷娜女皇邀请狄德罗访问她的宫廷，狄德罗试图通过使朝
臣们改信无神论来证明他确实是值得被邀请的。他喋喋不休的高谈阔论令女
皇厌烦了，她命令欧拉去让这个只会空谈的哲学家闭上他的嘴巴。这很容易
办到，因为狄德罗对数学一无所知。德·摩根在他的经典著作《悖论汇编》
（1872年出版）中详细叙述了事情的经过：
狄德罗被告知，一个很有学问的数学家用代数证明了上帝的存在，要是
他想听的话，这位数学家将当着所有朝臣的面给出这个证明。狄德罗高兴地
同意了。……欧拉站起来朝狄德罗走去，他用一种非常肯定的语调一本正经
地说：
a
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普鲁士在各个方面都雄居欧洲之首。柏林科学院的现状使他非常失望，由于
缺乏称职的领导人，科学院死气沉沉，最多只能在欧洲充当二三流的角色。
而此时的彼得堡科学院却是另一番景象。在欧拉的领导下，那里人才辈出，
成果累累，呈现出一派蓬蓬勃勃的生机与活力。因此，当腓特烈打听到欧拉
在俄国生活非常苦闷的消息以后，大喜过望。他立刻向欧拉发出盛情的邀请
函，请他到柏林科学院来主持工作。
此时，在俄国，安娜女皇去世，俄国政府变得更为开明，但是欧拉已经
厌倦了在这里的生活，他非常高兴地接受了腓特烈大帝请他作柏林科学院院
士的邀请。
腓特烈大帝的王宫金碧辉煌。风尘仆仆的欧拉一身便装前来谒见腓特
烈。腓特烈见新来的数学家身着皱皱巴巴的西服，围着一条发黄的旧丝围巾，
连礼帽也没有戴，心里非常不高兴。这无异是对“欧洲最伟大的国王”不可
容忍的怠慢。他爱搭不理地敷衍了欧拉几句后就拂袖而去。和国王貌合神离
的王后倒是十分喜欢欧拉。他看到欧拉的打扮和风度与众不同，很想同他好
好聊聊。可是，欧拉在俄国几乎与世隔绝地沉默了十多年，他担心王后连珠
炮似的问话是不是别有用心。
“您为什么不愿意和我讲话呢？”王后不解地问欧拉。
“王后陛下”，欧拉回答说，“我是从那样的一个国家来的，在那里，
要是谁爱多讲话，谁就会被吊死。”
欧拉并没有把宫廷不愉快的谈话放在心上，他的心早已经被一大堆数学
问题所占据，已经容不下其它琐事了。这些日子以来他一直在认真地考虑，
如何对17世纪中最伟大的发明——微积分作系列的介绍。因为自从牛顿和莱
布尼兹建立起微积分以来，它在物理学、天文学、航海学以及工程学等广大
领域里已经显示出无比的威力，并且由此产生了一系列新的分支，如微分方
程、无穷级数、变分法、函数论等，迅速形成了一个数学中最庞大、最重要
的分支——数学分析。数学家们热衷于分析这些新分支的发展。但是要想做
到这一步，首先必须扩展微积分本身。牛顿和莱布尼兹创造了微积分的基本
方法，可是从它的逻辑基础到实际应用还有大量的问题有待解决，而为了让
更多的人掌握分析的武器，还需要扫除从初等代数过渡到微积分的重重障
碍。欧拉决心肩负起这项艰巨而有意义的任务。在当时健在的数学家中，的
确没有谁比他更适合干这项工作的了。不久，闻名遐迩的杰作 《无穷小分析
引论》和《微分学原理》先后问世。连同他后来在彼得堡出版的《积分学原
理》，它们都是分析学中里程碑式的经典著作，为鼓舞和造就一批批有才华
的青年成为伟大的数学家建立了不朽的业绩。先有拉格朗日、拉普拉斯，后
有高斯、柯西、黎曼等等，这些大数学家都是在欧拉著作的指引下迈进庄严
的数学殿堂的。甚至在今天大学课程里的某些内容，实际上仍然和200多年
前欧拉留下来的一样。欧拉在分析学中所表现出的高深的造诣和超凡的技巧
立刻博得了“分析学的化身”的美誉。
欧拉关于数论的大部分工作也是在柏林完成的。17世纪的大数学家费马
生前提出的大量重要而有趣的命题，到今天为止，世界上还没有人能够把它
们全部证明出来，唯有欧拉证明了其中的大部分。不仅如此，许多命题他还
进一步加以引申和推广，特别是在1745年前后，他发现了18世纪数论中最
重要的定理——二次互反律，这是一项极其了不起的成就。后来的数学家们
为探求它的含义引申出大量极有价值的成果。
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但是，欧拉在柏林期间最杰出的成就是关于变分法的工作。
在儿童游乐场里，您一定见到过孩子们喜爱的滑梯吧。顺着后面的梯子
一级级地爬到顶部，身子往滑槽里一坐，哧溜一下就滑到了地面。可是有谁
想过，从顶部A到着地处B，滑梯做成什么形状才能使人在上滑行的时间最
短呢？见图 （1—3）。一般人都可能会认为把滑梯做成直的就行了，因为这
样从A点到B点的距离最短。可是，距离短并不等于时间最省，因为这里没
有考虑到加速度的大小。要知道，直的滑梯的下滑速度是增加得比较慢的。
那么，滑梯到底应该做成什么形状才好呢？早在1696年6月号的《教师学报》
上，欧拉的老师约翰·伯努利就把这个问题提出来向其他数学家挑战。提出
这个著名的“最速降线问题”比欧拉的出生还要早10年。这一类寻求极大或
极小值的问题还可以举出许多例子，它的萌芽可以追溯到古希腊以前的时
代。在古代，传说迦太基人建造城市的时候允许居民拥有用一天时间犁出一
条沟所围成的土地。由于一个人在一天中犁沟的长度一般是确定的，所以对
他们来说，问题就是应该把沟犁成什么形状，所围的面积才最大。
约翰·伯努利的难题在提出以后的第二年就由牛顿、莱布尼兹、雅各布·伯
努利以及约翰·伯努利本人先后给出了解答。可惜他们的工作只做到这里为
止了。在约翰·伯努利的建议下，欧拉在1728年开始涉足这个十分艰难的领
域。他以研究曲面 （主要是地球）上的测地线问题着手，也就是连接曲面上
（地球表面上）的两点，什么样的曲线距离最短？欧拉很快就找到了答案。
不久，他又把最速降线问题加以推广，并且考虑了摩擦力和空气阻力的问题。
接着，他又致力于寻找解决这类问题的更简便的方法。经过前后16年的不懈
努力，他终于获得了成功。虽然他所采用的是分析和几何相结合的方法，而
不是用纯分析的方法，论证过程十分复杂，但是最后的结果却同样简单而且
优美，有广泛的应用价值。 1744年，欧拉的《寻求具有某种极大或极小性
质的曲线的技巧》一书在柏林正式出版。这部杰作立刻使他被公认为当时最
伟大的数学家。随着这本书的出版，变分法作为一个新的数学分支诞生了。
10年以后，数学界又升起了一颗灿烂的新星。年方19岁的约瑟夫·路
易·拉格朗日（1736～