按键盘上方向键 ← 或 → 可快速上下翻页，按键盘上的 Enter 键可回到本书目录页，按键盘上方向键 ↑ 可回到本页顶部！
————未阅读完？加入书签已便下次继续阅读！
的薄板弯曲的微分方程。薄板的平面应力或平面应变问题可采用类似的方法。从这里也可以看出，从一维的杆到二维的板，我们仅仅把增加的一维作用简单的叠加上去就可以了，小变形满足线性关系，因此可以使用叠加原理。至于拱和壳的情况，要复杂些。尤其是壳的情况，增加了双向的曲率。但可以预见的是，如果能使用刚体的一般理论，将非常有助于对弹性稳定理论的理解。
另外，对经典的弹簧振子模型，其运动可以和质点的圆周运动做类比，可看做圆周运动在某个方向上的投影运动，这就涉及到射影几何（又一次证明了几何是力学的基础）。这样进行类比的好处是一方面很直观，将质点运动学的知识和经典的振动理论联系起来了，另一方面的好处是在数学上处理的时候，可以使用复数。看起来似乎多引进了一个变量，但是却得到了极大的简化。（把问题联系起来考察，提高一个层次考察，总是能更好的理解问题。）多质点体系的振动也可以使用类似的类比，例如，自由振动时的振型可以看做某种形状的刚体运动在某个方向的投影运动。刚体力学和振动理论是经典力学中非常重要的两个部分，其他还有运动学等等，一直以来都是单独的论述的，没有主动的和固体力学联系起来，这是个缺点。刚才所说的这些可以看作是经典力学中的基础理论，至于弹性稳定理论和结构动力学则可以看作是力学中的应用学科。至于具体的应用范围，则包括航空器、车船潜艇、机械设备，工业与民用的结构物，尤其是金属结构这一块儿。越是重要的设备，对结构的要求越高。结构设计人员的知识库里应该适当的储备机械设计的原理，即有关机构运动学的部分，并要熟悉一些常用的传动装置与电器装置，这样才能发挥更大的作用。
所谓创新，最可靠的方法就是将最基本的概念推广然后再应用。一些最基本的概念有着可怕的应用。例如由垂直可以推出正交分解子空间的概念，这是线性代数的一个基本概念，但是却可以应用在几乎所有的学科中（最常见是矢量的正交分解）；将平行的概念进行推广，livi…civita得出了绝对微分学（同样对平行公设的研究得出了非欧几何学）；三角形的内角和是180度，由此推出了高斯…博内定理；广义斯托克斯公式是牛顿…莱布尼姿公式的推广，再后面还有散度与旋度。这些都是从最基本的出发得到的。所以，我们一定要认真的研究最基本的东西，学习怎么组合提升出复杂的东西。
陈省身的曲面论为什么如此简单？将曲面看成是动点的轨迹，这个观点不新鲜；动点的轨迹是三维空间中的双参数曲面这个观点也不新鲜；给动点固定一个单位正交标架，标架随着动点的运动发生平动和旋转，在任何运动瞬态，都要保证标架的3轴对应曲面的法线。这个观点也不新鲜。但陈省身意识到，动点的运动可正交分解为点在切平面内的平动和单位标架的转动。转动好的标架位置作为下次测量步骤的基准坐标系。所谓活动标架实际是指活动的坐标系统。对一般的抽象曲面而言，不关心标架运动的具体路径，而对具体的特殊的曲面而言，标架的路径可以如果选择合理（一般是正交的参数曲线网，同时最好能不让标架在运动中产生挠曲，这意味着最好是测地线或曲率线）。在标架运动的数量关系的推导中，外微分运算起到了关键的作用。外微分运算的物理意义是什么？微分式相乘或相加的运算规律和矢量运算的相似性如何解释，这些都不明确。
经典的力学模型有：质点，刚体（刚棒，刚片，刚体），理想弹性体（梁与拱，板与壳，弹性体），理想流体。 热学中的温度场，电磁学中的电磁场（真空中的是最简单的情况）。场分为标量场和食量场，对标量场用梯度描述，对矢量场用散度和旋度描述。旋度相当与刚体转动，散度相当与刚体平动。刚体有角速度的绝对性原理，悬度有吗？对场施加的外微分运算如果能从矢量的变化率的角度考虑，或许容易理解。推广后的多维斯托克斯公式不如三维的有意思。我们愿意谈论具体的三维空间，而不愿意谈论抽象的N维或者无限维空间。
所谓刚体和弹性体的区分，最主要的不在于是否有局部变形，或者说是否可忽略该局部的变形。所有只需考虑宏观的平动和转动的物体，且在运动过程中都可以保持其形状基本不变的，都可以使用刚体的概念。只要是小变形的情况，可以利用叠加原理的，我们都可以使用刚体的概念。例如对弹性体的运动来说，如果运动过程中的变形是微小的，则总可以将运动分解为平动（针对质点模型），转动（针对刚体模型）和弹性变形（针对弹性体）。实际的变形可以看成是此三种运动的叠加。飞行器是一个最明显的例子。
在微观上，物质是不连续的。在更宏观一级的层次上，我们用微积分的连续函数来描述，因为用这种方法更能揭示量之间变化的关系。为了能真正的计算这些量，我们必须进行离散的操作，这时离散数学就浮出了水面。从某种意义上说，有限元方法就是这样一种典型体现：实际物质是不连续的，但我们可以把它看作连续的弹性体，由此推出了优美而对称的微分方程。但在解决具体而实际的计算问题时，我们又发明了有限元方法，把连续的结构离散化。连续与离散的辨证关系！
在通常的设计流程中，分析只是仅仅简单的给后续的设计提供所需的力或变形。但是，随着设计规范进化的越来越复杂与琐碎，仅仅提供单独的构件内力与节点变形已不足以完成该任务了。我们前面的论述都是为了在一个比有限元更高的层次上描述结构，这样做的最主要的目的是为了能够在这个比有限元更高的层次上给出力和变形，甚至包括振型等。这需要逻辑性相当好的求和算法。例如对组合柱，我们需要知道柱的整体剪力和弯矩是多少，甚至需要知道分别由哪些构件提供，其各占多大的比重。对多高层结构而言，层间剪力和层间位移的得出是另个类似的问题。在屈曲模态和自由振动模态的求解上，我们需要有某种方法，能够区分出并筛选出结构的“整体”与“局部”振型。在任何时候，这种区分都是非常关键的。
此时，分析的任务进化了：分析的任务更多的是对体系和体系之间的关系作出定性的甚至定量的评估。并且能够在该评估不满足要求是能自动的调整结构形式。这种评估的标准和方式很多，通过内力，变形，振型等等。甚至对楼面体系是否具有足够的刚隔片作用，我们也有足够的方法进行评估。构件检验和节点的细节设计是进行评估的最后一个阶段，也是通常认为掌握的最好的阶段。但很显然，对体系的评估是更具根本性的。
从有限元层次得到的分析结果，经过求和算法的精心包装，再配合以子结构层次系统的定义，将成为无往不至的利器。ALEX曾经说过：In every programming language； there's a need for various data structures； such as vectors； lists； and associative arrays。 Programmers also need fundamental algorithms for sorting； searching； and copying defined for the data structures。显然，结构就是data structure，而一旦一个结构定义好，我们就有作用于其上的许多算法，有进行几何变换的，有进行属性赋值的，有进行拷贝的，还有进行分析求解内力和变形以及振型的，最后当然还包括更加基本的排序，查找，求和等等。这是能让我们实验算法和数据结构的一个最好的研究区域。
从有限元层次得到数据后再进行统计分析已经落后了，更重要的是根据分析的目的，能不计算的就不算，这样会更好些。为了求解稳定问题，必须首先要解算出构件的内力和变形的分布，因此材料力学和弹性力学里的一般方法和结论就是他的基础了。如果稳定问题是所谓的杆件组成的结构系统，则结构力学的也与之发生了关系。再从大的方面来考虑，运动的稳定性问题一直都是物理力学家非常关心的领域，如在天体力学中三体问题，揣流等。这些都是所谓运动的稳定问题；而静止是运动的一个特例。
弹性稳定的通常内容可大致概括为：
典型理想力学模型的理论解；
典型模型的缺陷敏感度（定性的）；
以及物理的或几何的初始缺陷对临界力的影响（定量的）；
实际结构稳定承载力求解的数值手段（包括缺陷的模拟，非线性分析等）。
从比较的观点考虑；通常的材料力学和结构力学以及弹性力学中进行分析时，都仅仅只考虑了所谓的物理刚度，而在弹性稳定理论中进行分析时，则要同时考虑所谓的几何刚度。在只考虑物理刚度的分析时，只要物理刚度阵不奇异（物理上理解是结构的整体或部分不能发生刚体位移变形），则解是唯一的。而在弹性稳定理论中，平衡方程的求解发生了变化； 因为几何刚度是可正可负的，如果负的几何刚度抵消了物理刚度，则显然结构将不能承受任意小的荷载，或者说结构在任意小的荷载作用下将发生无穷大的位移；而几何刚度的计算只能针对变形后的结构几何位形；这就是所谓的二阶理论。通常的数值分析程序可以进行所谓的线性屈曲分析，可以解出所谓的各阶屈曲模态以及对应的临界荷载。通过考察屈曲模态的整体和局部的关联性，我们也可以对结构的整体性做一考察。
如果说在分析时，同时考虑物理和几何刚度，同时也考虑惯性力，则就是所谓的动稳定问题。 此时得出的模态可以认为是〃考虑几何刚度的自由振动模态〃或者认为是〃考虑惯性力的屈曲模态〃。这样，自由振动和线性屈曲的计算就统一了。由此带来的一个问题是；此时算出来的是屈曲模态还是振动模态？按Clough的说法，如果圆频率给定，则计算出来的为屈曲模态；如果屈曲系数给定，则计算出来的为振动的模态。
在自由振动的模态分析中，有所谓的质量参与系数的概念，以此来衡量某些振型的重要性。如果进行类比推广，则在线性屈曲分析中，是否可以按类似的方式定义所谓的“几何刚度参与系数”，以此来判断某些屈曲模态在整个屈曲中的重要性；即究竟是整体屈曲模态还是局部屈曲模态？现在大多数工程师似乎都没有定量的数值判断方法；而这有实际的重要工程应用。
WILSON在SAP中使用了所谓的“荷载相关的RITZ向量”，该向量是由外荷载激发，因此用其进行振型叠加的动力分析比通常的自由振动模态收敛要快很多。如果进行类比推广；则在屈曲分析中，是否有可能计算出由外荷载激发出来的屈曲模态，然后拿这些模态进行“模态叠加稳定分析”。K。J。Bathe曾经提出非线性的振型叠加。
最基本的和最有用连续模型是梁；拱；板；壳 。研究这四种模型在各种作用下的应力；变形构成了弹力，材力以及结构力学的一般内容；这四种基本模型的稳定以及振动问题也是最最基础和有用的。
分析者的主要职责就是判断问题是静力的还是动力的，以及问题是线性的还是非线性的。当然实际的结构响应都是动力的非线性的情况，在工程设计的精度允许的范围内，我们可以将其理想为线性的，静力的情形进行计算。除此之外，还有一个重要的任务，就是对结构的稳定性进行判断，这时就要牵涉到特征值求解了。而特征值问题也直接体现在动力和静力的分析当中。
在应用领域取得突出成就的人士，往往是对基础研究非常重视，通过基础促进应用。例如ALEX（STL之父）的爱好就是研究基本算法与数据结构，而Bathe（ADINA之父）则对有限元分析中的基本数值算法研究的很清楚，他看出来在有限元分析中最有用的三种数值算法是稳态问题，波传播问题和特征值问题，并且稳态问题算法是波传播问题算法的基础。Bathe对最基本的数学概念和方法的使用也显功力，例如对向量，矩阵和张量的概念以及微分方程和变分方法的比较。能看出各个表面上不同的方法的共性，能够结合实际比较完成共同作用的方法的优缺点（个性），这就是大牛比一般人突出的地方。培养对结构的感觉；也要从最基本的力学和数学下手。
一般意义上的力学的作用是什么呢？
首先可以建立简化的抽象的力学模型来模拟实际的力学现象，进而进行计算，预测其运动的情形。这是最典型的应用。自然语言用于定量的描述往往不够精确，这时使用数学语言可能会好些。当然，这就不得不牵涉到很多数学本身的概念。很多最基本的数学事实实际上就是物理事实（例如几何学的一些基本结论）。数学和物理是很难分开的，我们可以简单的将其看作两个方面，数学可能更侧重于形式推导，而物理则更侧重与内容理解上。在力学运用的这一阶段，数学和物理的联系是非常紧密的。这里也是很多数学家能够发挥作用的地方。此时的力学往往是演绎的。
力学的第二个应用是解释现象为什么会这样。比如陀螺的进动和章动，飞去来器的运动等。当然一种常见的方法是根据几个最基本的力学原理进行演绎，得到相应的结论。借助于出色的计算设备和相应的数学计算软件，现在这很容易。还有一种方式是通过物理概念进行演绎，而较少牵涉数学运算。但很多时候，在现在流行的教科书中，此种类型的解释往往有自证之嫌，往往就是用数学证明物理或者用物理证明数学。
对一些看似很常见的情况进行解释并不是象想象的那么容易的，从这里得到了很多重大的发现。例如号称数学女妖的陀螺进动问题，最后被椭圆积分解决掉。
力学的第三个应用，是根据特定的目标，设计特定的装备或结构，使其具有特定的某些功能。这通常是个反问题，但往往和应用的关系最密切。例如设计飞机的机翼，设计潜艇的外形或者某种特殊的转子的叶片等。当然这些最终作品的好坏仍需通过第一和第二种方式进行验证。而且更关键的，只有通过应用，才能更验证理论的正确性。也就是所谓的实践的观点。
现在力学教育的最大问题是，学生在第一时间得到了所谓的最经典和数学上最严密的结论，但是不知道获得此结论的过程，而这是最重要的内容之一。其次，这些结论往往充满了数学符号和数学论述，而且往往是用数学解释物理现象，此种解释很难导致真正的物理理解。再次，实际生活中，在我们身边有很多生动有趣的例子，但教科书中则对其关心的很少，都是一些很陈旧的内容，很显然，学生对此不会有太大的兴趣的。另外，学物理，实验通常是必不可少的一环，如果能将那些有趣的例子体现在书中，将无疑会激发大家的兴趣进行研究。FEYMANN在此带了个好头。象我知道的其他有趣的例子有熟鸡蛋的转动，回旋镖，溜溜球等等。这都是刚体力学最有意思的现象。
在这里不能不提一下牛顿…这个人亲手做望远镜，是当时最好的望远镜，现在还保存在大英博物馆。
什么是动力学？让我们先不考虑字面的意思，先从力学本身谈起。在经典力学的划分，可常常分为静力学，运动学与动力学，其中静力学和运动学几乎都是几何学的内容，而动力学是联系静力和运动学的桥梁。简单来说，这个桥梁对质点运动是F=ma；对刚体的转动有M=I*（dw/dt）；这种比拟可以推广到弹性力学中，典型的是胡克定律，而最有用的应该是用力和弯矩张量表达的胡克定律（或者这样来理解，应力…应变关系的胡克定律是微分形式的，而力…应变或弯矩…曲率关系的是积分形式的）。如果我们继续将其推广到流体力学和场论的领域，那么在电动力学领域（电动力学这个词用的真是太确切了，它告诉了我们什么是“动”“力”学，就是运动和力的关系的学说）描述运动学的量是梯度，散度与旋度，而“力”则变成电场强度和磁场强度。电动力学的复杂性在与电场和磁场之间还有关系。在流体力学中，这种关系更为复杂了，因为描述流体运动的方法和前面的都不太一样，出现了“随体导数”。
在动力学中，“力”和“运动”之间的关系是重要的，一般认为这个关系是有材料的物理特性决定的。这个关系可以是个简单的比例系数（例如m； EI； 或静电常数）。而运动学的描述则更为重要，首先运动学的描述带有几何特性（曲率，向量），而针对空间的微分和积分的典型运算，更始运动学的根本。所以说几何学是最古老的物理学。力学发明了一些概念（最主要的是力）来配合进行几何学的使用，这是一种方便。
由于�